数学实验教程_实验25(RLC电路的定性分析)

实验25 RLC 电路的定性分析

考虑图25-1中的电路图。电路是由一个电容，一个电阻和一个电感器构成一个简单闭路。电路中每个元件的作用由在这个回路中的电流和电压之间的关系表示。一个理想的物理模型给出这个关系

电容：c c

dv dt

C

i = 电阻：()R R v f i = 电感：L L d i d t

L

v =

L

图25-1 问题2中的RLC电路图

其中 Vc 表示电容上的电压，i R 表示经过电阻的电流，L 表示电感等等。称函数f(x)为电阻的v-i 特征。在古典的RLC 电路理论中我们假设()f i i R =⋅，其中R 表示电阻。基尔霍夫电流律说明进入一个节点的电流值和等于流出电流之和。基尔霍夫电压率说明闭路上所有电压差之和为零。请对L=1，C=1/3和3()4f i i i =+确定这个电路随时间变化的行为。

一、建立模型

这是一个典型的RLC 电路图，可以利用微分方程组来描述该系统的行为。其数学模型为：

343R R c R R c d i d t

d v d t

i i v

i ⎧=---⎪⎨⎪=⎩ (25-1) 其中c v : 电容上的电压，R i : 通过电阻的电流。

二、求解模型

1. 构造向量场（用Mathematica 画出微分方程组的向量场）

图 25-2 该模型的向量场

2. 寻找平衡点

（1）求解平衡方程340

30R R c R R c d i d t

d v d t

i i v i ⎧=---=⎪⎨⎪==⎩，可得平衡点为：（0，0）。

（2）判断该平衡点是否稳定

令343R R

c R f i i v g i ⎧=---⎨=⎩，可得(0,0)

(0,0)

(0,0)(0,0)4130R c R

c

f f i v

g g i v A ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛

⎫

--⎛⎫

⎪== ⎪

⎪⎝⎭

⎪⎝

⎭

， 方阵A 的特征值为3,1λ=--，特征值均小于0，因此，平衡态是稳定的。 3. 求解近似的线性系统

为了获得在平衡态附近更多的信息，我们将求解线性微分方程组

R R c c i i A v v ⎛⎫'⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭

(25-2) 利用特征值和特征向量方法求解此方程组。

对应于3λ=-的特征向量为(1,1)T -，因此上述方程组的一个解为31()1t

u t e --⎛⎫=

⎪⎝⎭， 对应于1λ=-的特征向量为(1,3)T -，因此上述方程组的一个解为1()3t

v t e --⎛⎫= ⎪⎝⎭

。 因此，该线性系统的一般解可以写成

1212()(),,R c i c u t c v t c c R v ⎛⎫

=+∈ ⎪⎝⎭

(25-3)

图25-3 近似问题的向量场

4．相图

依此，可以画出该线性系统的相图，用以逼近原非线性系统在平衡点附近的相图。相图的获得方式是通过选择几对常数值c 1，c 2画出解曲线(3)而获得，并且用一个线性向量场以确定解的曲线的方向。其结果如下：

图25-4 相图

5. 回答问题

本问题是描述RLC 电路的行为，全体的性质可以用两个量描述：通过电阻的电流和电容上的电压降。无论电路的初始状态如何，这两个量最终将趋于零。

三、灵敏性分析

下面我们将进行灵敏性分析，以便确定架设中的微小变化对我们的结论的影响。首先考虑电容C 。在前面，C=1/3，现在让C 未定来推广我们的模型，此时模型为

34R R c

R

R c d i d t

d v

d t

i i v

i C ⎧=---⎪⎨⎪=⎩ 对于C=1/3附近的C 值，新系统的平衡点仍为（0，0），新的矩阵4

11/0A C

--⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，A 的

特征值为2λ=-±，如果C>1/4，则有两个不同的都具有负实部的特征值，因此平

衡态仍是稳定的。

四、稳健型分析

前面我们假设RLC 电路具有特征

3

()4f i i i =+

更一般地，假设(0)0f =且f 是严格增加的。现在的动态系统方程是

()R c R R c d i d t

d v d t

f i v

i ⎧=--⎪⎨

⎪=⎩ 平衡点仍然为（0，0），又设(0)R f '=，可得

13

0R

A --⎛⎫=

⎪⎝⎭

特征值为

2

R λ-±=

只要R >，我们就有两个不同的负实特征值，仍然是稳定的。这个系统的行为和原系

统的行为不可能有太大差别。

因此，RLC 电路关于v-i 的特征假设是稳健的。

附录 1 绘制向量场程序