振动力学2简谐振动

对于任一瞬时若 0 ，则对应无摆动，不是我们所求的。于 是必有括号内部分为零，又因微摆动，sinθ ≈θ ， 故有
2g 0 3( R r )
n
2g 3( R r )
解（2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率ω n，则设
Asin( n t )
Hale Waihona Puke Baidu 2.3瑞利法
前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量
较大，忽略它会导致频率偏高。 瑞利提出，用能量法对分布质量系统简化为一个单自 由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考
虑进去，得到相对准确的频率。
具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振
动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，计
则
2g n 3( R r )
例2.2-2 杆AB是无质量刚性杆，静平衡时水平，又 知k0及尺寸a，l，质量块m，求振动微分方程及周期。 解法：设刚性杆，向下有微小 转角φ 时，弹簧伸长aφ , 质量块的位移： lφ 质量块的速度： l
a
k0
B
φ
m
)2 m ( l 系统的动能：T 1 2 2 1 系统的势能： U 2 k0 (a )
算其动能和势能，利用能量法，即得到等效质量和固 有频率，这种近似计算方法称作瑞利法。
计算弹簧的等效质量 设弹簧的长度为l，
单位长度质量为ρ，
假定弹簧的变形与离固定点
的距离ξ 成正比，弹簧端点的位移为x。
2 微元长度dξ 的动能： 1 d ( x ) 2 l 整个弹簧的动能T1：
于是 max A
则
A cos( t ) n n
A max n
在最低点O处势能为零，动能最大
Tmax 1 2 1 2 3w 2 3 w ( R r ) 2 A 2 2 m v I (R r) 2 max n 2 2 4g 4g
T U 常数
（1）
其中 T——系统中运动质量所具有的动能 U——系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作 功而产生的重力势能。 （1）式对时间求导：
d (T U ) 0 dt
（2）
将具体能量代入（ 2 ）式，化简后可得保守系统的 振动微分方程。
我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势 能为零，而动能达到最大值Tmax；
2 2 l 3 1 l 2 1 m1 2 1 l x 1 x ( )x T1 ( ) d ( ) （ )x 2 0 l 2 l 3 2 3 2 3
1 2 1 m 2 T1 (m 1 ) x T mx 2 2 3 1 m1 2 max (m ) x 2 3
设：当t＝0时
v0 x x0 , x
v0
把初始条件代入上式，可得
C1 x0 , C2
∴
x x0 cosnt
n
v0
sin nt A sin(nt )
n
〔注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正
弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。〕 其中
A x (
悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有
3EJ k 3 c l 3EJ 物体的振动方程： m y 3 y l
k c P
P
y
3EJ y0 3 ml
3EJ ml 3
3EJ 固有频率： n ml 3
n 1 f 2 2
2. 2 能量法
对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系 统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个 振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：
§2.1 线性系统的自由振动
我们看一个简单的振动模型
弹簧质量系统在光滑平面上的振动。
0
x
弹簧质量不计；质体m当作刚体（或 一个质点）；并假设弹簧的恢复力与 变形成正比，即：F＝－kx〔注：k的 单位N/m〕 其中k——刚性系数（产生单位位移 所需的力）。加负号是因为：弹性恢 复力永远与位移x方向相反。（始终 指向静平衡位置）
其中m1=ρl为弹簧质量，则系统总动能为：
Tmax
弹簧的势能与忽略弹簧质量的情形一样：
1 U kx 2 2
U max 1 2 kx max 2
n k m m1 3
由
d (T U ) 0 dt
m1 kx 0 (m ) x 3
或设简谐振动： x Asin(nt ), xmax A, x max An
2 0
v0
n
)
2
x0 n tg v0
讨论：
1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其 振幅 A 和初相位 φ 由初始条件决定。从这里可以看 到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或初 速度v0或两者都有才有振动 x＝Asin(ω nt＋φ)，否 则x＝0，——无振动
2、自由振动的圆频率（或角频率）
亦称梁的 弯曲刚度
x
B
P
B点绕x轴转动方向施加扭矩M， 轴产生转角θ ， 则 B端：
B
l GJ M
亦称轴的 扭转刚度
M
GJ
B点绕x轴转动方向的等效刚度： k l B
几个弹性元件联合使用时的等效刚度： 两弹簧串联
c 1 2
k k2 P P 1 1 P( ) P 1 k1 k 2 k1 k 2 k1 k 2
n
k （弧度/秒） m
频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有 的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振 动无关）故把ω n称为固有频率。一座建筑物，一台机器， 一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了， 于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念， 在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。
一、阻尼的分类
1、粘性阻尼 2、材料阻尼 3、干摩擦阻尼
1、粘性阻尼 当质量在磁场或流体质中振动时，阻尼力一般表 ) 现速度的函数：R R( x 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻尼与 速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运 动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以认为阻尼与 R cx 速度成正比，即： 其中c——粘性阻尼系数 这种阻尼(由于阻尼力与速度成正比)又称为线性 阻尼（这种阻尼与介质的粘性有关，故称为粘性阻尼 ）。它使计算大为简化,我们将着重研究这种情况， 对于非粘性阻尼也得引进等效粘性阻尼系数计算。
由
d (T U ) 0 dt
l
2 2 (注：平衡位置为势能零 点，U 1 k ( 1 2 ) mgl 2 0
得 k0 a 2 ( ) 0 m l
1 a 2 , 平衡时 k0 2a mgl )
a k0 n l m
2 l T a m k0
解：设θ 为坐标，圆柱体同时作两 种运动——移动和转动。移动时， 圆柱体质心线位移为 ( R r ) 线速度为 v ( R r )
转动时，圆柱体绕质心轴转动， 由于无滑动，角速度为：

v 1 ( R r ) r r

d ( ) dt
0′ θ
(R-r)
R
A, J , J l , E, G
B点沿x方向施加力F，位移xB，则
xB F E l A
等效刚度：
F kx xB
EA kx l
x
B
B点沿y方向施加力P，位移yB，则
Pl 3 yB 3EJ
O
y
A, J , J l , E, G
B点沿y方向的等效刚度：
P 3EJ ky 3 yB l
由 Tmax U max
1 m 1 2 得 (m 1 ) A2n kA 2 2 3 2
也可导出固有频率。
我们将弹簧的1/3质量定义为弹簧的等效质量。
2.4
等效刚性系数
弹簧刚度系数就是使弹簧产生变形所需要的力或力矩
任何弹性体都可以看成弹簧
设指定方向的位移为x，所施加的力为F，则等效刚度系数： O F k x 研究的振动方向不同，刚度系数也不同
在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象 为上述单自由度质量- 弹簧系统，而具有相同的动 力学方程和运动规律，书上有些具体例子。
例2.1-1 均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自 由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率. 解：由材料力学知：
Pl 3 c 3EJ
l y
m
c
x
F＝＋kx
由牛顿第二定律：
kx m x
kx 0 m x
这里令
n x x 或写成：
2
0
k m
2 n
上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。 这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：
x C1 cosnt C2 sin nt
其中常数C1 ，C2由初始条件确定。
k1
k
P
c
k1k 2 k1 k 2
g
k2
P
（等效刚度）
固有频率
gk1k2 k1k2 n c P(k1 k2 ) m(k1 k2 )
n个弹簧串联
n 1 1 1 1 1 k k1 k2 kn i 1 ki
两弹簧并联(两弹簧伸长相同) 解：重量P分配在两个弹簧上， 分别为P1，P2，则
当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零， 即动能为零，但势能达到最大值Umax，我们取之为 第二瞬时位置。
由（1）式得：Tmax＋0＝0＋Umax， 即：
Tmax＝Umax (2)
对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有 频率，有时更为方便。
例2.2-1 一半径r重W的圆柱体在一个半径为R的圆柱面 内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处O左右微幅摆动 为简谐振动，求摆动固有频率。
固有频率的求法：
a、 n b、 n
k m
k m kg g p c
k
p 其中 c ——静伸长（cm） k g——重力加速度（cm/s2）
δ
P
c
固有（自然）频率及周期为
n 1 fn 2 2
k 1 m 2
g
c
c 1 m Tn 2 2 fn k g
max位置时动能为零，势能最大
2 w( R r ) max
在摆动到θ
U max w( R r )(1 cos max )
2

由Tmax＝Umax 有： 3w 1 2 ( R r ) 2 A 2 n w( R r ) A 2 4g 2
1 w( R r ) A 2 2
第二章
单自由度系统的自由振动
§2.1 简谐振动 §2.2 能量法
§2.3 瑞利法 §2.4 等效刚度系数
§2.5 有阻尼系统的自由振动
自由振动—受初始扰动激发所致振动，没有 外界能量补充。
无阻尼自由振动—保守系统，机械能守恒， 动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不 存在，但可作为某些振动的近似处理。 （有）阻尼自由振动—非保守系统，衰减， 本章讨论单自由度的自由振动。
圆柱体的势能以最低位置O为零，在转角为θ 的瞬时，圆 柱体质心升高为(R－r)(1-cosθ ),则U＝w(R-r)(1-cosθ ) 由
d (T U ) 0 得： dt d 3w 2 w( R r )(1 cos )] [ 3 w ( R r ) 2 w( R r ) sin ] 0 [ (R r) 2 dt 4 g 2g
r
φ
0
R d ( r ) dt Rr r
〔注： r R ,
）
任一瞬时位置，圆柱体动能为：
2 1 2 1 2 1w 1 w r 1 3w 2 2 2 T mv I [(R r ) ] [ ( R r ) ] (R r) 2 2 2 2g 2g 2 r 4g w r2 〔注： I 为圆柱体绕质心的转动惯量〕 g 2
PP 1P 2 k1 c k2 c (k1 k2 ) c
P
k1
等效刚度
n
k
g
c
k1 k 2
P
k2
c

g (k1 k 2 ) P
n个弹簧并联：
k k1 k 2 k n ki
i 1
n
2.5 有阻尼系统的自由振动
前面讲的无阻尼自由振动是一种理想状态，按 照阻尼为零的假设，遵循机械能守恒定律，振动中 没有能量消耗，因而可以无休止地振动下去。但事 实上阻尼总是存在的，它使振动能量不断减少，于 是自由振动逐渐衰减直至停止。我们首先讲阻尼的 类型。