2019-2020学年内蒙古包头市高三第一次模拟考试数学(文)模拟试题有答案

普通高等学校招生全国统一考试 （包头市第一次模拟考试）
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{1,2,3}A =，{1,3}B =-，则A B =U （）
A ．{1,1,2,3}-
B ．{3}
C ．{1,2,3}-
D ．{1,1,2}- 2. 设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =
（）
A ．4
B ．
1C ．2D ．3
3.函数
()cos()
3f x x π
=+图象的一条对称轴是（） A ．
6x π
=
B ．x π=
C ．53x π
=
D ．2x π= 4.已知向量(1,2)a =-r ，(,1)b λ=r .若a b +r r 与a r 平行，则λ=（）
A ．5-
B ．52
C ．7
D ．1
2-
5.在平面直角坐标系xoy 中，直线20x y +=为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线，则该双曲
线的离心率为（） A ．2B ．3 C ．5D ．4
6.若,x y R ∈，且
1
230x x y y x ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最小值为（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A ．83
B ．323
C ．163
D ．283
8.已知函数
()ln(2)ln(4)
f x x x
=++-，则错误的是（）
A．
()
f x在(2,1)
-单调递增
B．
()
f x在(1,4)单调递减
C．
()
y f x
=的图象关于直线1
x=对称
D．
()
y f x
=的图象关于点(1,0)对称
9.某学生食堂规定，每份午餐可以在三种热菜中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同的概率为（）
A．1 2B
．
1
3 C．
1
4 D．
1
6
10.执行如图所示的程序框图，如果输入的
1
50
t=
，则输出的n=（）
A．5B．6C．7D
．8
11.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。

现在规定：当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）
A．翻且只翻（1）（4） B．翻且只翻（2）（4）
C．翻且只翻（1）（3） D．翻且只翻（2）（3）
12.过抛物线C：
28
y x
=的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且10
AB=
，则原点到l的距离为（）
A．
5
5B．
35
5 C．
5
5 D．
3
5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若
2 cos()
33
π
α-=
，
(0,)
2
π
α∈
，则
2
cos(2)
3
π
α-=
．
14.已知
()
f x为奇函数，当0
x≤时，2
()3
f x x x
=--，则曲线()
y f x
=在点(1,2)
-处的切线方程为．15.在正方体1111
ABCD A B C D
-
中，E为棱CD的中点，有下列四个结论：①1
A E DC
⊥
；②1
A E AC
⊥
；③1
A E BD
⊥
；④11
A E BC
⊥
.其中正确的结论序号是（写出所有正确结论的序号）．
16.在ABC
∆中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cos2cos2
cos
A C c a
B b
--
=
，则
a
c
=
．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.已知正项等比数列
{}
n
a
的前n项和为n
S
，且235
a a a
=
，42
10
S S
=
.
（1）求数列
{}
n
a
的通项公式；
（2）设
(21)
n n
b n a
=-
，求数列
{}
n
b
的前n项和n
T
.
18.如图，四棱锥H ABCD
-中，HA⊥底面ABCD，//
AD BC，6
AB AD AC
===，8
HA BC
==，E为线段AD上一点，2
AE ED
=，F为HC的中点.
（1）证明：//
EF平面HAB；
（2）求四面体H AFE
-的体积.
19.从某食品厂生产的面包中抽取100个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)
频数82237285
（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种面包质量指标值的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定？”
20.已知1F ，2F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左右两个焦点，124F F =，长轴长为6，又A ，B 分
别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足1
22AF BF =u u u r u u u u r .
（1）求椭圆C 的方程； （2）求四边形
21
ABF F 的面积.
21.已知函数2
()(1)x
f x e mx x =-++. （1）若0m =，求()f x 的单调区间；
（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求m 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x a t y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ=. （1）若2a =-时，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l 距离的最大值为25a . 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数
()12
f x x x =+--，
2
()g x x x a =--. （1）当5a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式
()()
f x
g x
的解集包含[2,3]，求a的取值范围.
普通高等学校招生全国统一考试 （包头市第一次模拟考试） 数学（文科）参考答案 一、选择题
1-5: ABCDC 6-10: DCDBB 11、12：AC 二、填空题
13. 19-
14. 10y x ++= 15. ④ 16.12
三、解答题
17.解：（1）设正项等比数列{}
n a 的公比为q ，若1q =，则
41
4S a =，
21
2S a =，
不符合题意，所以1q ≠.
所以42
1114211(1)(1)1011a q a q a q a q a q q q ⎧=⋅⎪
⎨--=⨯⎪--⎩.
又
n a >，解得
13
a q ==，所以
3n
n a =.
（2）
23133353n T =⨯+⨯+⨯(21)3n
n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯. ①
2343133353n T =⨯+⨯+⨯1
(21)3n n ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯. ②
①-②，得
232132(33n T -=⨯+⨯+3)n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1
(21)3n n +--⨯.
333213n -⨯=⨯-1
3(21)3n n +---⨯ 1(22)36n n +=--⨯-，
所以
1(1)33
n n T n +=-⨯+.
18.解：（1）由已知得
2
43AE AD =
=，
取BH 的中点G ，连接AG ，GF ， 由F 为HC 的中点知//GF BC
，
1
42GF BC =
=，
又//AD BC ，故
//GF AE
，
所以四边形AEFG 为平行四边形，于是//EF AG ，
AG ⊂平面HAB ，EF ⊄平面HAB ，
所以//EF 平面HAB
.
（2）四面体H AFE -的体积H AFE F AEH
V V --=.
取BC 的中点T ，连接AT .
由AB AC =得AT BC ⊥，从而AT AD ⊥，且22AT AB BT =
-22
6425=-=.
所以点C 到平面AEH 的距离为25.
而F 为HC 的中点，所以F 到平面AEH 的距离为5.
又12AEH S AE AH ∆=⋅⋅1
4816
2=⨯⨯=. 所以
116516533F AEH V -=⨯⨯=
. 19.解：（1）画图.
（2）质量指标值的样本平均数为
800.08900.22x =⨯+⨯1000.371100.28+⨯+⨯1200.05100+⨯=.
所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为100. （3）质量指标值不低于85的面包所占比例的估计值为
0.220.370.280.050.92+++=，
由于该估计值大于0.9，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定.”
20.解：（1）由题意知26a =，24c =，所以3a =，2c =.
所以222
5b a c =-=，椭圆C 的方程为22
195x y +=.
（2）设
11(,)
A x y ，
22(,)
B x y ，又
1(2,0)
F -，
2(2,0)
F ，
所以1
11(2,)AF x y =---u u u r ，222(2,)BF x y =--u u u u r
， 由
122AF BF =u u u r u u u u r
，得1222(2)x x +=-，122y y =. 延长AB 交椭圆于H ，
因为1
22AF BF =u u u r u u u u r
，所以12//AF BF ，且122AF BF =. 所以线段
2
BF 为
1AF H
∆的中位线，即
2
F 为线段
1F H
的中点，
所以(6,0)H .
设直线AB 的方程为6x my =+，
代入椭圆方程得，225(6)945my y ++=，即
22
(59)601350m y my +++=. 所以
122260359m y y y m +=-
=+，21222
135
259y y y m ⋅==+，
消去2y ，得
22
9325m ⨯=
，依题意取m =. 1221AF H BF H
ABF F S S S ∆∆=-四边形112211
22F H y F H y =
- 12222
42826y y y y y =-=-
=212059m m =-
=
+.
21.解：（1）若0m =，()1x f x e x =--，
'()1x
f x e =-. 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 故()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.
（2）
'()21x
f x e mx =--. 由（1）知1x
e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立，
故'()2(12)f x x mx m x ≥-=-， 从而当120m -≥，即
1
2m ≤
时，'()0(0)f x x ≥≥.
所以()f x 在[0,)+∞上单调增加. 而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥.
由1(0)x e x x >+≠，可得1(0)x
e
x x ->-≠，
从而当
1
2m >
时，'()12x f x e mx =--12(1)x x e m e -<-+-(1)(2)x x x
e e e m -=--，
令
(1)(2)0x x x e e e m ---<，得12x e m <<，故0ln 2x m <<. 故当(0,ln 2)x m ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln 2)m 上单调减少. 而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x m ∈时，()0f x <，不符合要求.
综上可得m 的取值范围为
1
(,]
2-∞. 22.解：（1）曲线的普通方程为
224x y +=， 当2a =-时，直线l 的普通方程为20y x +=，
由22
20
4x y x y +=⎧⎨+=⎩
，解得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，或5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 从而C 与l
的交点坐标为
(
，.
（2）直线l 的普通方程为220x y a +--=，
设C 的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩（θ为参数）
，
则C 上的点(2cos ,2sin )θθ到l 的距离为
d
=
=
.
当2a ≥-时，d
=
=
，所以8a =- 当2a <-时，d
，
=
，所以12a =，
综上，8a =-
12a =.
23.解：（1）当5a =时，不等式()()f x g x ≥等价于12x x +--25
x x ≥--，①
当1x <-时，①式化为2
20x x --≤，无解；
当12x -≤≤时，①式化为2340x x --≤，得12x -≤≤；
当2x >时，①式化为2
80x x --≤
，得
122x +<≤
.
所以()()f x g x ≥
的解集为
1[1,
2+-.
（2）当[2,3]x ∈时，()3f x =，
所以()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，等价于[2,3]x ∈时()3g x ≤.
又
2
()g x x x a =--在[2,3]上的最大值为(3)6g a =-. 所以(3)3g ≤，即63a -≤，得3a ≥. 所以a 的取值范围为[3,)+∞.。