13-信号的功率谱密度要点

第 4 章随机信号与线性系统

陈明

东南大学移动通信国家重点实验室

chenming@

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随机过程和随机信号的概念

当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。

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4.1 随机信号的功率谱密度

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确定性信号的频谱

信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。对于确定性信号，其Fourier 变换可以反映其频谱特性。

()cos2n n s t a nt

p ¥

==

å

j2ˆ()()d ft

s

f s t e

t

p ¥-?

=ò

Fourier分解的物理意义

各种频率成份的振动

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频谱与光谱进行对比

光谱

红

橙

黄

绿

青

蓝

紫

频谱

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如何反应随机信号的频谱？

由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。

4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度

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若()X t 是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[,]T T -上的平均功率为

{

}2

1()

d 2T

T T

P E X t t

T

-=

ò

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利用Fourier 变换的Parseval 等式，可以得到()X t 在(),

-ゥ上的平均功率为

2

j2lim 1lim ()e d d 2T

T

T ft

T

T P P E X t t f

T ¥

-

p -?

=

殪镲镲犏=

睚犏镲犏镲镲

腩

蝌

从上式可以看出，下式所定义的关于频率

f 的函数

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2

j21()lim ()e d 2T

ft

X T

T S f E X t t

T -

p -禳镲镲=睚镲镲镲铪

ò

反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数()X S f 为连续时间随机过程()X t 的功率谱密度。

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功率谱密度的性质

性质4.1 设()X t 是定义于¡上的连续时间随机过程，()X S f 是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，

也即()d X P S f f ¥

-?

=

ò。

② ≥()0X S f ,也即()X S f 是一个非负实函数。 ③ 实随机信号的功率谱密度是偶函数

图4.1 实随机信号的功率谱密度是非负偶函数

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对于宽平稳过程来说，有下列Wiener-Khinchin 定理

定理 4.1(Wiener-Khinchin 定理) 若()X t 为¡上的宽平稳过程，且其自相关函数

()X R t 满足()

R t t ¥-?

ò

d t

，则有

j2()()e d f X X S f R t

t t

¥

-

p -?

=

ò

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证明 由功率谱密度的定义式知

{}

(){

}

{}12

121212j2j21122j21212

j2()

12

12j2()

12

1()lim

()e d ()e d 21

lim

()()e d d 21lim

()()e d d 21lim

()e 2T T ft ft X T

T T T f t t T

T T T f t t T T T T T f t t X T

T T S f E X t t X t t T E X t X t t t T

E X t X t t t T R t t T -p -p --*-p --*-p ----p ---轾轾=犏犏臌臌

===-蝌ò蝌蝌

12d d t t

如图4.2所示，对积分区域作变换

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122,t t t t s =-=，则

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{}

{}

02j2j220

02j2j2202j221

()lim

()e

d d ()

e d d 21

lim ()e

(2)d ()e (2)d 2||1

lim ()e 1d 22()e T T

T f f X X

T T

T

T T f f X

T

T T f X T

T X S f R

R T

R

T R T T

R T

T R t t

t

t

t

t

t t

s t t

s

t t t t t t

t t t t --p -p ----p -

p --p -¥

-

-?

=+

=++-戽鳇镲镲÷ç÷=-ç睚÷

÷ç镲桫镲铪=

蝌蝌蝌òòj2d f t

t

p

于是定理得证。