研究生组合数学复习要点..
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h n m (m 1 )n 1 h n 1(n 2 )
从而
11
hnm (m 1)n1hn1 m (m 1)n1m (m 1)n2(1)2hn2
m ( m 1 ) n 1 m ( m 1 ) n 2 ( 1 ) n 3 m ( m 1 ) 2 ( 1 ) n 2 h 2
8
3、 n个 完 全 一 样 的 球 ， 放 到 r个 有 标 志 的 盒 子 ， nr， 要 求 无 一 空 盒 ， 试 证 其 方 案 数 为 n r--1 1.
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余
的nr个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球
方案数为
(nr)+r-1
nr
nn1r nr 11.
9
4、 用 m (m2)种 颜 色 去 涂 1n(n2)棋 盘 ,每 个 方 格 涂 一 种 颜 色 , 使 得 相 邻 方 格 颜 色 相 异 的 涂 色 方 案 有 多 少 ?
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色,于是其余的每个方格都有m1种涂 法.故所求的涂色方案有m(m1)n1种.
解（ 1） 男 士 有 n!种 排 法 ,女 士 也 有 n!种 排 法 ,男 女 相 间 又 分 男 在 前 或 女 在 前 两 种 ,所 以 共 有 2 (n!)2 种 .
(2)先 安 排 男 士 ， 有 (n1)!种 ,然 后 在 这 n位 男 士 所 形 成 的 n个 间 隔 中 安 排 n位 女 士 ,有 n!种 ,所 以 共 有 (n1)!(n!)种 .
6
练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时 间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排 方案？
解 问题相当于不定方程
xx1 ix52,i
x7 1, 2,
50 ,7
即
xx1ix02,i1,2x,7
15 ,7
解 得 C ( 7 1 5 1 ,1 5 ) C ( 2 1 ,6 )
7
2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有 多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
10
若 题 目 改 成 ： 用 m (m2)种 颜 色 去 涂 1n(n2) 棋 盘 ,每 个 方 格 涂 一 种 颜 色 ， 使 得 相 邻 方 格 颜 色 相 异 ， 首 末 两 格 也 异 色 的 涂 色 方 案 有 多 少 ?
解 用 h n 表示所求方法数.易知 h2 m(m1). 用m种颜色去涂 1n(nm) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m1)n1种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 h n 1 种, 所以
(m1)n1(1)n2 m(m1)
(m1)1
( m 1 ) [ ( m 1 ) n 1 ( 1 ) n 2 ] ( m 1 ) n ( 1 ) n ( m 1 )
另一解法参见教材P87例3.5.7
12
5、 安 排 n(n2)女 人 和 m 个 男 人 围 圆 桌 而 坐 (nm 个 座 位 已 编 号 ),使 得 任 何 两 个 女 人 之 间 至 少 有 k(mnk)个 男 人 ， 求 不 同 的 安 排 座 位 方 法 数 .
m ( m 1 ) n 1 m ( m 1 ) n 2 ( 1 ) n 3 m ( m 1 ) 2 ( 1 ) n 2 m ( m 1 )
m ( m 1 ) [ ( m 1 ) n 2 ( m 1 ) n 3 ( 1 ) n 3 ( m 1 ) ( 1 ) n 2 ]
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 nm
种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人
之间至少有k个空座位：
用 a1,a2, ,an表 示 n个 女 人 的 一 种 坐 法 ， 并 设 ai与 ai1(i1,2, ,n1)之 间 有 xi个 空 座 位 ， an与 a1 之 间 有 xn个 空 座 位 ， 则
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质 2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3.
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系 3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题 4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之
关系
2
三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型) 3.列递推关系解应用题 4. 一般递推关系的线性化 5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
3
Baidu Nhomakorabea
四、容斥原理
1. 容斥原理的基本形式(容斥原理、逐步淘汰原理) 2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排
列问题、保位问题)
4
五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
5
六、波利亚(Pólya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积 3.Burnside引理计数公式 4. Pólya定理计数公式 5.Pólya定理的应用
13
xx1i
x2 xn k(i 1,2,
m ,n)
此不定方程的解的个数为
n(m m n n k k)1 nm n n 1k1
于是完成此步骤的方法有
(n1)!nmnn1k1
种.
14
(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法. 由乘法原理，所求的安排座位方法数为
(nm )nm n n 1k1m !(n1)!
15
6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
解 设 有 a n 种 不 同 的 编 排 方 法 , 则 { a n } 相 应 的 母
函数为 G (x)(x6x7x8)6
从而
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hnm (m 1)n1hn1 m (m 1)n1m (m 1)n2(1)2hn2
m ( m 1 ) n 1 m ( m 1 ) n 2 ( 1 ) n 3 m ( m 1 ) 2 ( 1 ) n 2 h 2
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3、 n个 完 全 一 样 的 球 ， 放 到 r个 有 标 志 的 盒 子 ， nr， 要 求 无 一 空 盒 ， 试 证 其 方 案 数 为 n r--1 1.
证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余
的nr个相同的球放到r个不同的盒子里，其放球
方案数为
(nr)+r-1
nr
nn1r nr 11.
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4、 用 m (m2)种 颜 色 去 涂 1n(n2)棋 盘 ,每 个 方 格 涂 一 种 颜 色 , 使 得 相 邻 方 格 颜 色 相 异 的 涂 色 方 案 有 多 少 ?
解 第一个方格可涂m种颜色之一，有m种 涂色方法；为使相邻方格颜色相异，只须使其 余n1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色,于是其余的每个方格都有m1种涂 法.故所求的涂色方案有m(m1)n1种.
解（ 1） 男 士 有 n!种 排 法 ,女 士 也 有 n!种 排 法 ,男 女 相 间 又 分 男 在 前 或 女 在 前 两 种 ,所 以 共 有 2 (n!)2 种 .
(2)先 安 排 男 士 ， 有 (n1)!种 ,然 后 在 这 n位 男 士 所 形 成 的 n个 间 隔 中 安 排 n位 女 士 ,有 n!种 ,所 以 共 有 (n1)!(n!)种 .
6
练习题
1、一位学者要在一周内安排50个小时的工作时 间，而且每天至少工作5小时，问共有多少种安排 方案？
解 问题相当于不定方程
xx1 ix52,i
x7 1, 2,
50 ,7
即
xx1ix02,i1,2x,7
15 ,7
解 得 C ( 7 1 5 1 ,1 5 ) C ( 2 1 ,6 )
7
2、n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有 多少种不同的方案.若围成一圆桌坐下，又有多少种 不同的方案？
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若 题 目 改 成 ： 用 m (m2)种 颜 色 去 涂 1n(n2) 棋 盘 ,每 个 方 格 涂 一 种 颜 色 ， 使 得 相 邻 方 格 颜 色 相 异 ， 首 末 两 格 也 异 色 的 涂 色 方 案 有 多 少 ?
解 用 h n 表示所求方法数.易知 h2 m(m1). 用m种颜色去涂 1n(nm) 棋盘,每格涂一种颜色, 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m(m1)n1种, 其中使得首末两格同色的涂色方法有 h n 1 种, 所以
(m1)n1(1)n2 m(m1)
(m1)1
( m 1 ) [ ( m 1 ) n 1 ( 1 ) n 2 ] ( m 1 ) n ( 1 ) n ( m 1 )
另一解法参见教材P87例3.5.7
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5、 安 排 n(n2)女 人 和 m 个 男 人 围 圆 桌 而 坐 (nm 个 座 位 已 编 号 ),使 得 任 何 两 个 女 人 之 间 至 少 有 k(mnk)个 男 人 ， 求 不 同 的 安 排 座 位 方 法 数 .
m ( m 1 ) n 1 m ( m 1 ) n 2 ( 1 ) n 3 m ( m 1 ) 2 ( 1 ) n 2 m ( m 1 )
m ( m 1 ) [ ( m 1 ) n 2 ( m 1 ) n 3 ( 1 ) n 3 ( m 1 ) ( 1 ) n 2 ]
解 (1) 先任意选定一个女人入座，有 nm
种方法； (2) 再安排其他女人入座，使得任何两个女人
之间至少有k个空座位：
用 a1,a2, ,an表 示 n个 女 人 的 一 种 坐 法 ， 并 设 ai与 ai1(i1,2, ,n1)之 间 有 xi个 空 座 位 ， an与 a1 之 间 有 xn个 空 座 位 ， 则
组合数学复习要点
一、排列组合
1. 排列和组合的基本性质 2. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合
数的求法 3.
1
二、母函数
1. 母函数与数列的关系 2. 母函数与排列数、组合数的关系 3. 用普通型母函数解决多重集的组合问题 4. 用指数型母函数解决多重集的排列问题 5. 用母函数解递推关系式 6. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之
关系
2
三、递推关系
1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的
特解(前两种类型) 3.列递推关系解应用题 4. 一般递推关系的线性化 5. Fibonacci数列及其模型 6. 第二类Stirling数的组合意义 7. Catalan数列及其解法
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Baidu Nhomakorabea
四、容斥原理
1. 容斥原理的基本形式(容斥原理、逐步淘汰原理) 2. 容斥原理的应用(比如解决多重集排列组合问题) 3. 有限制条件的排列(比如错排问题、相邻禁位排
列问题、保位问题)
4
五、抽屉原理
1. 抽屉原理的几种基本形式 2. 抽屉原理的简单应用
5
六、波利亚(Pólya)定理
1.置换在研究等价类计数中的作用 2.将置换表为轮换之积 3.Burnside引理计数公式 4. Pólya定理计数公式 5.Pólya定理的应用
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xx1i
x2 xn k(i 1,2,
m ,n)
此不定方程的解的个数为
n(m m n n k k)1 nm n n 1k1
于是完成此步骤的方法有
(n1)!nmnn1k1
种.
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(3) 最后安排m个男人入座，有m!种方法. 由乘法原理，所求的安排座位方法数为
(nm )nm n n 1k1m !(n1)!
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6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？
解 设 有 a n 种 不 同 的 编 排 方 法 , 则 { a n } 相 应 的 母
函数为 G (x)(x6x7x8)6