三角形五心的证明

三角形五心

内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点。重心：三条中线的交点。

注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。内心：三条角平分线的交点

证：过点O 作三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F 。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF ，OF=OE

∴ OD=OE

∴AO 为角BAC 的平分线

外心：三条中垂线的交点

证：连结OA 、OB 、OC ，并过O 点作OF⊥BC 于点F 。

由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB ，OA=OC.

∴OB=OC

∴点O 在线段BC 的中垂线上∴OF 为线段BC 的中垂线

旁心：

证：过点O 作三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F 。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF ，OD=OE

∴ OF=OE

∴BO 为角ABC 的平分线

垂心：三条高的交点

证：连结DE ，连结AO 交BC 于F 点。

∵角BDC=角BEC=90°

∴B、D 、E 、C 四点共圆（以BC 为直径的圆）。∴角FBO=角CDE ······① （同弦(弧)所对圆周角相等）又∵角ODA=角AEO=90°

∴O、D 、A 、E 四点共圆（以AO 为直径的圆）。∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）且 角AOE=角BOF

∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF 为BC 边上的高。

重心：三条中线的交点方法一：

证：连结AO 交BC 于点F 。

∵D 为AB 的中点

∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）

（底相等(AD=BD),高相同(都为点C 到AB 的距离)）

S△AOD=S△BOD

∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得：

S△BOC=S△AOB ······② 由①②得，S△AOC=S△AOB

又∵△AOC 与△AOB 底都为AO

∴它们高相等，即：点B 和点C 到AF 的距离相等。对于△AFB 和△AFC，底相同（为AF ），高相等（分别为点B 和点C 到AF 的距离）。

∴S△AFB=S△AFC

又对于△AFB 和△AFC，高相同（为点A 到BC 的距离）。∴它们底相等，即：BF=CF ∴AF 为三角形的中线。

方法二：

证：连AO 交BC 于点F ，连DE 交AF 于点N ，

G ，H 分别为OB 、OC 的中点，连DG ，EH 。连GH 交AF 于点M 。∵DE 为△ABC 的中位线

∴DE#1/2BC （#表示平行且等于）同理，可得：GH#1/2BC

∴DE#GH 即：四边形DEHG 为平行四边形。易证，△ODN≌△OHM，得HM=DN ∵DG 为△ABO 的中位线

∴DG∥NM,即四边形DGMN 为平行四边形

∴DN=GM

∴HM=GM,再由三角形中位线定理得，BF=CF。

∴AF为三角形的中线。

三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．

重心

三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．

外心

三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．

垂心

三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.

内心

三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好。