4.函数的拐点问题

4.函数的拐点问题

1.若关于x 的不等式(x — 1)(X 2— bx —2)>0对一切x € (0,+8 )成立，则实数 a 的取值集合为

_ —_}. 解法一：当 x = 1时，b € R ;

2 当 x >

3 时，x2- bx -2>0,即 b w x -2.

因为函数f(x) = x — 2在(0 , +8 )上是单调增函数，所以，

x

当 x > 1 时，b

当 0 v x v 1 时，x 2— bx — 2w 0, 即卩 b > x —-,所以，b > f(1) = — 1; x

综上，b = — 1.

解法二：函数y = x — 1与函数y = x 2 — bx — 2图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在 所

以函数y = x 2 — bx — 2的图象经过函数 y = x — 1图象与x 轴的交点(1, 0), 所以 1 — b — 2=

0，解得 b = — 1. 此时，原不等式为(x — 1)(x 2+ x — 2)> 0,即(x — 1)2(x + 2) > 0, 满足对一切x € (0, +8 )成立.

所以 b = — 1.

解法三：当x = 1时，b € R ；

2 当 x > 0 ,且 X M 1 时，不等式(x — 1)(x 2— bx — 2) > 0，即(x — 1)( x — - — b) > 0. x

2

所以，函数y = x — 1与y = x — 2— b 的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在 x

由 1 — 2 — b = 0,得 b =— 1.

综上，b = — 1.

解法四：因为函数 x 2— bx — 2的判别式厶=b 2 + 8>0，所以存在X 1, X 2€ R(其中X 1V X 2)，使得 x 2— bx — 2=

(x — X 1)(x — X 2).

若X 1, X 2都不为1，则(x — 1)(x — X 1)(X — X 2)在x = 1的两侧函数值异号，不满足条件， 所以x 1, X 2

中有一个为1,所以b = — 1 .

此时(X — 1)(x 2— bx — 2) = (x — 1)2(x + 2) > 0,满足条件.

2.如果关于x 的不等式(a|x|— 1)(x 2 — aX|— 2)>0对一切的x € R 成立，那么实数a 的取值集合为{」__}. 解法一：显然a > 0.

1 2 当凶》1时，a w |x| — Rj 恒成立， 1 2 当|x|w 1时，a > |x|—函恒成立，

综上，a = -3.

解法二：函数 y = 1与函数y = x 2— 2图象在 函数y = a|x|图象的同侧，即函数 y = a|x|的图象经过函数 y = 1 与y = x 2— 2图象的交点.x 2— 2= 1,得x =± 3，所以a = j.

, _ 解法三：当凶=0时，a € R ;

1 2

当|X|M 0 时，(a — |^|)(a — |x|+ 函)€ 0.

1 2

令t = |x|,即函数y =1与y = t — 2的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在直线

由£ = t — 2，得 t = 3，故 a = ~33. t t 3

所以曲线y = f(x)在点P(1, 1)处的切线I 的方程为y =— x + 2. ...................................... 6分

2

x 3 一

3. 设函数f(x) = 2m(x — 1)2 — 2x + 3 + Inx , m >0.在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线y = f(x)在点P(1, 1)处

的切线I 与该曲线有且只有一个公共点，求 m 的值.

解 由 f(x) = ^m(x - 1)2— 2x + 3+ Inx ,得 f(x) = mx — m — 2 + -, x > 0,所以 f ⑴=—1,

x 轴的同侧,

x 轴的同侧. 即 a w — — 2a ,得 0v a w 3； a 3 即 a >1— 2a ,得 a > 3. a 3 y = a 的同侧.

曲线y= f(x)在点P(1, 1)处的切线I与该曲线有且只有一个公共点，即关于x的方程f(x)=—x+ 2有且

仅有唯一解，即关于x的方程2m(x—1)2—x+ 1 + lnx= 0有且仅有唯一解.

1

令g(x)= qm(x—1)2—x+ 1 + Inx,贝y

1 mx2—(m+ 1)x+ 1 (x—1)(mx —1)

g'(x) = m(x—1) —1 + x=x = x ，x>0.........................................

1

因为m> 0,所以，当x= 1或二时，g'(x)= 0. ①若0v m v 1，贝U

1 1

当0v x v 1 或x>m时，g'(x)>0;当 1 v x v石时，g'(x) v 0,

1 1

所以函数g(x)在区间(0, 1]和【m，+s)上为增函数，在区间[1,祁上为减函数.

1

因为g(1) = 0,所以g(m)< 0.

2 1 1

又当x> 1 + m时，2m(x—1)2—x+ 1 = 2(x—1)[m(x—1) —2] >0, lnx>0,从而g(x)>0,所以曲线y= g(x)

与x轴有两个公共点，不满足题意.

②若m= 1,贝U g'(x)>0，当且仅当x= 1时，g'(x)= 0,所以g(x)在区间(0, +^ )上为增函数，且g(1) =0，满足题意.

③若m> 1,则

1 1

当0v x v 帚或x> 1 时，g'(x)>0;当x v 1 时，g'(x) v 0,

1 1

所以函数g(x)在区间(0,和和［1, +m)上均为增函数，在区间馬,1］上为减函数.

1

因为g(1) = 0,所以g(m)>0.

1

又当0v x v min｛十,e 2m 1｝时，^m(x—1)2—x+ 1v *m(x—1)2+ 1 v 1 + ^m,且Inx v —^m—1，从而g(x) v 0,所以曲线y= g(x)与x轴有两个公共点，不满足题意.

综上，实数m的值为m = 1.

4. 定义：对于定义在集合D上的函数y= f(x)，设其在在平面直角坐标系xOy中的图象在x= X0处的切线

方程为I: y= g(x)，当x€ D，且X M X°时，若血一g^x)v0恒成立，则称x°为函数y= f(x)的“拐点”.

x—X0

设函数f(x)=—4x2+ 3x—2lnx,试问函数y= f(x)是否存在“拐点”？若存在，请求出“拐点”；若不存在，说明理由.

1 3 1 3 2

解由f(x) = —4x2+ 4x—2Inx,得f(x) = —?x + 4 —x‘ x>0.

设函数y= f(x)存在“拐点” X0，则x0> 0.

1 3

2 1 3

因为f(X0) = —2x0 + 4—x0, f(X0)=—4x0+4x0 —2lnx0,所以，函数y= f(x)图象在点x= X0处的切线方程为

1 3

2 12 3

y = (—2x o+ 4 —X0)(x —X O) —4x0+4x°—2lnx o, x o>0.

令g(x) = (—1X0 + 4 —2)(x—X0)—1X02+ 4X0 —

X0> 0,

2Inx。,

2 4 X0 4 4

F(x)= f(x) —g(x), x>0,