第九章 应力状态

§9–2 平面应力状态分析的解析法
一、斜截面上的应力
y y
n
x
A
x
x
x x x
x
y
y
t
y y
y
Fn 0; A x A cos cos x A cos sin
y A sin sin y A sin cos 0;
x cos2 y sin2 x sin 2
x
1 cos2
2
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
(
x
2
y
)2
(
x
2
y
cos 2
x
sin
2 )2
2
(
x
2
y
sin
2
x
cos 2 )2
得：
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 x
取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则
上式为一圆方程。
y y
n
x
x x
Biblioteka Baidu
o
C
y
t
( x y ) / 2
2
y
1 cos2
2
x
sin 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
同理，由 Ft 0 得：
x
y
2
sin 2
x
cos 2
任意斜截面的正应力和剪应力为
x y
2
x
x y
2
y cos2
2
sin 2 x c
x sin os2
2
二、主平面的方位
设主平面的方位角为0，有
0
x
tg 2 0
B1D1 CB1
30 40
0.75,
20 36.87,
1 (60 40) 50MPa 2
0 18.43,
[例9－4]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、
并在单元体上标出主应力的方位。
D1
20
20MPa
C B2
o B1
20
D2
解：已知 x 0, y 0, x 20MPa,
第九章 应力状态
沈阳建筑大学 侯祥林 刘杰民
第九章 应力状态
§9–1 §9–2 §9–3
应力状态的概念 平面应力状态分析的解析法 平面应力状态分析的图解法
§9–4 梁的主应力及主应力迹线 §9–5 空间应力状态简介 §9–6 广义虎克定律 §9–7 复杂应力状态下的体积应变、比能
§9–8 平面应力状态下的应变分析
max
1 2
[(54.2
(44.2)]
49.2MPa
3 40MPa
1
20MPa
tg 2 0
2 (20) 50 (40)
4 9
0=11.98° 50MPa
23.96
20 203.96
1
3
0
11.98 101.98
此解在第一象限，为本题解； 此解在第二象限，不是本题解，舍掉。
[练习2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上 标出主应力的方位。
3
1
min
最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面
图示混凝土梁 自重下的主应力迹 线。
混凝土属脆性 材料，抗压不抗拉。 沿拉主应力迹线方 向铺设钢筋，可增 强混凝土梁的抗拉 强度。
q
1 3
§9–5
1、空间应力状态
y
2
空间应力状态简介
1
3
z
x 3
2
1
2、三向应力圆
2 3
1 3
2
2
1
3
3
2
1 3
2 1
1
3、最大剪应力
max
max
1
2
3
3
2
2 1
80MPa 40MPa
解：已知 x 80MPa, y 0, x 40MPa,
' "
80 2
0
( 80 0)2 402 40 56.57 2
1 16.57 MPa, 2 0, 3 96.57 MPa
max
1 2
[(16.57
(96.57)]
56.57MPa
1 3
1 OC r 70 50 120 MPa
2 OC r 70 50 20MPa
95
1
a 30
b 30
§9–4 梁的主应力及主应力迹线
1
m
2
1
2
3
3
4 5
m
4
5
1
2
1 2
3
2
1 2
2
4
2
2 4 2
1 3
3 2 13
3
13
4
1 5 1
梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应
3
1
D2
0=22.5°
50 50
1
OC 50,
100MPa
50MPa
3
r 502 502 70.7
A2 O B2 C 20B1 A1
D1
100
3
1
1 OC r 50 70.7 120 .7MPa, 2 0,
3 OC r 50 70.7 20.7MPa,
max
1 2
(1
取: OB1 0, B1D1 20; OB2 0, B2D2 20; 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。
1
3
D1
20
20MPa
0=45°
C B2 20
A2
o B1
A1
20
3
OC 0, r 20 1 r 20MPa,
1 2 0,
3 D2 1
3 r 20MPa,
圆心坐标为
(
x
y
,0);
半径为
r
2
(
x
2
y
)2
2 x
y y
n
x
x x
y
t
-x x
E
2
A2
o 2
C
y
D2
x
1
D1 A1
圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与
纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆
称为应力圆。
圆上D1点代表x 截面； D2点代表y 截面；
E点代表方位为 角的斜截面；
[练习1]求图示单元体a－b 斜截面上的正应力和剪应力。
n
80MPa 30 40MPa
解：已知 x 80MPa, y 0, x 40MPa,
60
60
80 0 2
80 0 cos120 40 sin120 2
54.64MPa
60
80 0 sin120 40 cos120 2
正，顺时针转为负。
⒉ 求得主应力ˊ、〞与0排序，确定1、2、3的值。 ⒊ 0为主应力ˊ所在截面的外法线与x 轴正向间夹角，
逆时针转为正，顺时针转为负。
tg 2 0
2 x x
y
在主值区间，20有两个解，与此对应的0也有两个解，
其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
[例9－1]求图示单元体a－b 斜截面上的正应力和剪应力。
y y
D1
-x x
x
x
x
y
o
B2 C B1
y
D2
x
证明: OC OB2
B2C
OB2
OB1 OB2 2
y
x
y
2
x
y
2
r CD1
(CB1)2 (B1D1)2
( OB1
2
OB2
)2
( B1 D1 ) 2
(
x
2
y
)2
2 x
[例9－3]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、 并在单元体上标出主应力的方位。
54.64MPa
[例9－2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体
上标出主应力的方位。
40MPa
解：已知 x 50MPa,
20MPa
y 40MPa,
50MPa
x 20MPa,
' "
50
2
40
(50 40)2 (20)2 5 49.2 2
1 54.2MPa, 2 0, 3 44.2MPa
1
30MPa
0=18.43°
50MPa
D2
A2 B2
o C 20 B1 A1
30 30
1
3
D1
OC 10,
30
3
r (CB1)2 (B1D1)2 402 302 50
50
1
1 OC r 10 50 60MPa,
2 0,
max
1 2
( 1
3)
3 OC r 10 50 40MPa,
3
80MPa 0=－67.5°
40MPa
1
tg 2 0
2 40 80 0
1
45
20 225
0
22.5
112.5 67.5
此解在第一象限，不是本题解，舍掉； 此解在第二、四象限，为本题解。
[练习3]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上
标出主应力的方位。
30MPa
解：已知 x 50MPa,
A1、 A2 点代表两个主平面。
y y
D1
-x x
x
x
x
y
应力圆的画法步骤:
o
B2 C B1
y D2 x
⒈ 作横轴为 轴，纵轴为 轴；
⒉ 在横轴上取OB1= x ， 过B1引垂线B1D1=x ； ⒊ 在横轴上取OB2= y， 过B2引垂线B2D2=-x ；
⒋ 连接D1D2交横轴于C ， ⒌ 以C为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为应力圆。
30MPa
y 30MPa,
50MPa
x 30MPa,
' "
50
2
30
(50 30)2 (30)2 10 50 2
1 60MPa, 2 0, 3 40MPa
max
1 2
[(60
(40)]
50MPa
3 30MPa
1
30MPa
tg 2 0
2 (30) 50 (30)
3 4
z
围绕构件内一点截取一无限小正
六面体称为单元体。
x
单元体相对两面上的应力大小相
x 等，方向相反。
若所取单元体各面上只有正应 力，而无剪应力，此单元体称为主
单元体。
三、主平面和主应力
2
只有正应力，而无剪应力的截面
1 称为主平面。
主平面上的正应力称为主应力。
一点的应力状态有三个主应力，
按其代数值排列：
3
1 2 3
⒈ 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称
为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。
P
P
⒉ 若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称 为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。
P
A
B
x
x x
x
x x
⒊ 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向
应力状态是最复杂的应力状态。
0=18.43° 50MPa
36.87
20 216.87
1
3
0
18.43 108.43
此解在第一象限，为本题解； 此解在第二象限，不是本题解，舍掉。
§9–3 平面应力状态分析的图解法
由解析法知，任意斜截面的应力为
x y
2
x
x y
2
y cos2
2
sin 2 x c
x s os2
in
力1和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成
两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主 应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个 主应力的方向。
1234
i
n
主应力迹线的画法：
a
b
c
x
d
1234
i
n
截面截面截面截面 截面 截面
图示为悬臂梁的主应 力迹线
拉力
3 1
压力
实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。
y
2
sin 20
x
cos 20
0
tg 2 0
2 x x
y
三、主应力
将主平面的方位角为0代入斜截面正应力公式，得
' "
x
y
2
x
2
y
2
2 x
四、最大剪应力
max
1
2
3
※解题注意事项：
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先
应写清已知条件。
⑴x、y 以拉为正，以压为负； ⑵x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； ⑶ 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为
40MPa
解：已知 x 50MPa,
b 20MPa
60
a
x 50MPa
n
y 40MPa, x 20MPa,
30
30
50
(40) 2
50 (40) cos(60) (20) sin(60) 2
10.2MPa
30
50
(40) sin(60) (20) cos(60) 2
49MPa
2
b
a
o
C
OC 45 ab 70 2
r Ca (25 3)2 252 50
45 95
245MPa
95MPa 1
b
a
25 3MPa
b b
25 3MPa 25 3
2
a a
2b
2a
o A2
C
A1
OC 45 ab 70 2
2
45
r Ca (25 3)2 252 50
sin 0.5, 30, 180 150,
30MPa
D2
30MPa
50MPa
B2 o C
B1
30 30
D1
30 50
解：已知 x 50MPa, y 30MPa, x 30MPa,
取: OB1 50, B1D1 30; OB2 30, B2D2 30; 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。
3 30MPa
3)
1 2
(120.7
20.7)
70.7MPa
tg 2 0
B1D1 CB1
50 50
1,
20 45, 0 22.5,
[例9－5]已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图
解法求 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力
和主平面的方位。
45MPa
95MPa
b
a
25 3MPa
25 3MPa 25 3
§9–1 应力状态的概念
一、一点的应力状态
mn
P
n m n
P
k
n
m
P
k
p
m
P
N
A
p
N A
N
A / cos
cos
p cos cos2
p sin sin cos sin 2
2
过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状
态。
二、单元体
y
y yz
yx
xz
zx
z zy
xy
max
1 2
(1
3)
1 2
(20
20)
20MPa
20 90, 0 45
[练习4]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并
在单元体上标出主应力的方位。
D2
50 50
100MPa 50MPa
O B2 C
B1
D1 100
解：已知 x 100 MPa, y 0, x 50MPa,
取: OB1 100, B1D1 50; OB2 0, B2D2 50; 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。