第九章 应力状态

30MPa
D2
30MPa
50MPa
B2 o C
B1
30 30
D1
30 50
解：已知 x 50MPa, y 30MPa, x 30MPa,
取: OB1 50, B1D1 30; OB2 30, B2D2 30; 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。
3 30MPa
3
1
min
最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平面
A1、 A2 点代表两个主平面。
y y
D1
-x x
x
x
x
y
应力圆的画法步骤:
o
B2 C B1
y D2 x
⒈ 作横轴为 轴，纵轴为 轴；
⒉ 在横轴上取OB1= x ， 过B1引垂线B1D1=x ； ⒊ 在横轴上取OB2= y， 过B2引垂线B2D2=-x ；
⒋ 连接D1D2交横轴于C ， ⒌ 以C为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为应力圆。
3
80MPa 0=－67.5°
40MPa
1
tg 2 0
2 40 80 0
1
45
20 225
0
22.5
112.5 67.5
此解在第一象限，不是本题解，舍掉； 此解在第二、四象限，为本题解。
[练习3]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上
标出主应力的方位。
30MPa
解：已知 x 50MPa,
3)
1 2
(120.7
20.50 50
1,
20 45, 0 22.5,
[例9－5]已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图
解法求 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力
和主平面的方位。
45MPa
95MPa
b
a
25 3MPa
25 3MPa 25 3
y
2
sin 20
x
cos 20
0
tg 2 0
2 x x
y
三、主应力
将主平面的方位角为0代入斜截面正应力公式，得
' "
x
y
2
x
2
y
2
2 x
四、最大剪应力
max
1
2
3
※解题注意事项：
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先
应写清已知条件。
⑴x、y 以拉为正，以压为负； ⑵x 沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； ⑶ 为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为
80MPa 40MPa
解：已知 x 80MPa, y 0, x 40MPa,
' "
80 2
0
( 80 0)2 402 40 56.57 2
1 16.57 MPa, 2 0, 3 96.57 MPa
max
1 2
[(16.57
(96.57)]
56.57MPa
1 3
§9–1 应力状态的概念
一、一点的应力状态
mn
P
n m n
P
k
n
m
P
k
p
m
P
N
A
p
N A
N
A / cos
cos
p cos cos2
p sin sin cos sin 2
2
过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的应力状
态。
二、单元体
y
y yz
yx
xz
zx
z zy
xy
取: OB1 0, B1D1 20; OB2 0, B2D2 20; 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。
1
3
D1
20
20MPa
0=45°
C B2 20
A2
o B1
A1
20
3
OC 0, r 20 1 r 20MPa,
1 2 0,
3 D2 1
3 r 20MPa,
1
30MPa
0=18.43°
50MPa
D2
A2 B2
o C 20 B1 A1
30 30
1
3
D1
OC 10,
30
3
r (CB1)2 (B1D1)2 402 302 50
50
1
1 OC r 10 50 60MPa,
2 0,
max
1 2
( 1
3)
3 OC r 10 50 40MPa,
y y
D1
-x x
x
x
x
y
o
B2 C B1
y
D2
x
证明: OC OB2
B2C
OB2
OB1 OB2 2
y
x
y
2
x
y
2
r CD1
(CB1)2 (B1D1)2
( OB1
2
OB2
)2
( B1 D1 ) 2
(
x
2
y
)2
2 x
[例9－3]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、 并在单元体上标出主应力的方位。
2
y
1 cos2
2
x
sin 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
同理，由 Ft 0 得：
x
y
2
sin 2
x
cos 2
任意斜截面的正应力和剪应力为
x y
2
x
x y
2
y cos2
2
sin 2 x c
x sin os2
2
二、主平面的方位
设主平面的方位角为0，有
0
x
[练习1]求图示单元体a－b 斜截面上的正应力和剪应力。
n
80MPa 30 40MPa
解：已知 x 80MPa, y 0, x 40MPa,
60
60
80 0 2
80 0 cos120 40 sin120 2
54.64MPa
60
80 0 sin120 40 cos120 2
2
b
a
o
C
OC 45 ab 70 2
r Ca (25 3)2 252 50
45 95
245MPa
95MPa 1
b
a
25 3MPa
b b
25 3MPa 25 3
2
a a
2b
2a
o A2
C
A1
OC 45 ab 70 2
2
45
r Ca (25 3)2 252 50
sin 0.5, 30, 180 150,
40MPa
解：已知 x 50MPa,
b 20MPa
60
a
x 50MPa
n
y 40MPa, x 20MPa,
30
30
50
(40) 2
50 (40) cos(60) (20) sin(60) 2
10.2MPa
30
50
(40) sin(60) (20) cos(60) 2
49MPa
3
1 2 3
⒈ 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称
为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。
P
P
⒉ 若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称 为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。
P
A
B
x
x x
x
x x
⒊ 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向
应力状态是最复杂的应力状态。
力1和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形成
两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主 应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个 主应力的方向。
1234
i
n
主应力迹线的画法：
a
b
c
x
d
1234
i
n
截面截面截面截面 截面 截面
图示为悬臂梁的主应 力迹线
拉力
3 1
压力
实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。
2
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
(
x
2
y
)2
(
x
2
y
cos 2
x
sin
2 )2
2
(
x
2
y
sin
2
x
cos 2 )2
得：
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 x
取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则
上式为一圆方程。
y y
n
x
x x
o
C
y
t
( x y ) / 2
max
1 2
(1
3)
1 2
(20
20)
20MPa
20 90, 0 45
[练习4]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并
在单元体上标出主应力的方位。
D2
50 50
100MPa 50MPa
O B2 C
B1
D1 100
解：已知 x 100 MPa, y 0, x 50MPa,
取: OB1 100, B1D1 50; OB2 0, B2D2 50; 连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。
§9–2 平面应力状态分析的解析法
一、斜截面上的应力
y y
n
x
A
x
x
x x x
x
y
y
t
y y
y
Fn 0; A x A cos cos x A cos sin
y A sin sin y A sin cos 0;
x cos2 y sin2 x sin 2
x
1 cos2
0=18.43° 50MPa
36.87
20 216.87
1
3
0
18.43 108.43
此解在第一象限，为本题解； 此解在第二象限，不是本题解，舍掉。
§9–3 平面应力状态分析的图解法
由解析法知，任意斜截面的应力为
x y
2
x
x y
2
y cos2
2
sin 2 x c
x s os2
in
3
1
D2
0=22.5°
50 50
1
OC 50,
100MPa
50MPa
3
r 502 502 70.7
A2 O B2 C 20B1 A1
D1
100
3
1
1 OC r 50 70.7 120 .7MPa, 2 0,
3 OC r 50 70.7 20.7MPa,
max
1 2
(1
圆心坐标为
(
x
y
,0);
半径为
r
2
(
x
2
y
)2
2 x
y y
n
x
x x
y
t
-x x
E
2
A2
o 2
C
y
D2
x
1
D1 A1
圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与
纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆
称为应力圆。
圆上D1点代表x 截面； D2点代表y 截面；
E点代表方位为 角的斜截面；
正，顺时针转为负。
⒉ 求得主应力ˊ、〞与0排序，确定1、2、3的值。 ⒊ 0为主应力ˊ所在截面的外法线与x 轴正向间夹角，
逆时针转为正，顺时针转为负。
tg 2 0
2 x x
y
在主值区间，20有两个解，与此对应的0也有两个解，
其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
[例9－1]求图示单元体a－b 斜截面上的正应力和剪应力。
54.64MPa
[例9－2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体
上标出主应力的方位。
40MPa
解：已知 x 50MPa,
20MPa
y 40MPa,
50MPa
x 20MPa,
' "
50
2
40
(50 40)2 (20)2 5 49.2 2
1 54.2MPa, 2 0, 3 44.2MPa
第九章 应力状态
沈阳建筑大学 侯祥林 刘杰民
第九章 应力状态
§9–1 §9–2 §9–3
应力状态的概念 平面应力状态分析的解析法 平面应力状态分析的图解法
§9–4 梁的主应力及主应力迹线 §9–5 空间应力状态简介 §9–6 广义虎克定律 §9–7 复杂应力状态下的体积应变、比能
§9–8 平面应力状态下的应变分析
图示混凝土梁 自重下的主应力迹 线。
混凝土属脆性 材料，抗压不抗拉。 沿拉主应力迹线方 向铺设钢筋，可增 强混凝土梁的抗拉 强度。
q
1 3
§9–5
1、空间应力状态
y
2
空间应力状态简介
1
3
z
x 3
2
1
2、三向应力圆
2 3
1 3
2
2
1
3
3
2
1 3
2 1
1
3、最大剪应力
max
max
1
2
3
3
2
2 1
1 OC r 70 50 120 MPa
2 OC r 70 50 20MPa
95
1
a 30
b 30
§9–4 梁的主应力及主应力迹线
1
m
2
1
2
3
3
4 5
m
4
5
1
2
1 2
3
2
1 2
2
4
2
2 4 2
1 3
3 2 13
3
13
4
1 5 1
梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应
max
1 2
[(54.2
(44.2)]
49.2MPa
3 40MPa
1
20MPa
tg 2 0
2 (20) 50 (40)
4 9
0=11.98° 50MPa
23.96
20 203.96
1
3
0
11.98 101.98
此解在第一象限，为本题解； 此解在第二象限，不是本题解，舍掉。
[练习2]求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上 标出主应力的方位。
tg 2 0
B1D1 CB1
30 40
0.75,
20 36.87,
1 (60 40) 50MPa 2
0 18.43,
[例9－4]试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、
并在单元体上标出主应力的方位。
D1
20
20MPa
C B2
o B1
20
D2
解：已知 x 0, y 0, x 20MPa,