1991考研数二真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2
x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)
21
ln x
dx x
+∞
=⎰
＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,
则从时刻1t =
2t =
过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.
(5) 1
10
1lim x x x
e
x e
+
→-=+＿＿＿＿＿＿.
二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )
(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-
(2) 设函数2 , 01,
()2,12,
x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0
()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )
(A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) 32
, 013
()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩
(C) 3
22 , 013()2,12
3
2x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D) 32
, 013
()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩
(3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( )
(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点
(C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x 都有0()()f x f x ≤ (4) 曲线2
2
11x x e y e
--+=
- ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距
离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )
(A)
2()l km dx a x μ
--⎰ (B) 20()l km dx a x μ-⎰
(C) 0
22
2()l km dx a x μ-+⎰ (D) 2
2
02()l
km dx a x μ+⎰
三、(每小题5分,满分25分.)
(1) 设cos sin x t t y t t
=⎧⎨=⎩,求22d y dx .
(2) 计算
4
1
⎰
(3) 求 20
sin lim
(1)
x
x x x
x e →--. (4) 求 2
sin x xdx ⎰
.
(5) 求微分方程x
xy y xe '+=满足(1)1y =的特解.
四、(本题满分9分)
利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x
x x
+>+成立.
五、(本题满分9分)
求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.
六、(本题满分9分)
曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.
七、(本题满分9分)
如图,A 和D 分别是曲线x y e =和2x y e -=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且
:2:1AB DC =,1AB <,求点B 和C 的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.
八、(本题满分9分)
设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx π
π
⎰.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 3
31
x
dx -
+ 【解析】由复合函数求导法则,即(())y f x ϕ=的微分为(())()dy f x f x dx ϕ''=,有
1ln 33ln 3(1)1331
x
x x
dy dx dx --=
⋅⋅-=-++. (2)
【答案】( 【解析】求函数()y f x =的凹凸区间,只需求出y '',若0y ''>,则函数图形为上凹,若
0y ''<,则函数图形为上凸,由题可知
22
(2)2,x x y e x xe --'=⋅-=-
22221
2(2)(2)4()2
x x x y e x e x e x ---''=-+-⋅-=-.
因为2
40x e
->,所以当2102x -
<时0y ''<,函数图像上凸,
即21,2x x <<<, 函数图像上凸.
故曲线上凸区间为(. (3)【答案】1
【解析】用极限法求广义积分.
221
11ln ln 1
lim lim ln ()b b b b x x dx dx xd x x x
+∞
→+∞→+∞==-⎰
⎰⎰ 11ln 11lim ()b
b b x dx x x x →+∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤=---⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰分部
1ln ln11ln 1lim lim ()111b
b b b b b x b b →+∞→+∞⎧⎫⎪⎪
⎡⎤=-
++-=-++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
. (4)【答案】
1
2
【解析】这是定积分的应用.
设在t t dt →+时刻的速度为2sin()t t ,则在dt 时间内的路程为2
sin()ds t t dt =,所以
从时刻1t =
2t =
2
1
2sin()t t s t t dt =⎰
2221sin())2t dt t dt =
=
2
1111cos((cos cos )(10)2
2222
t ππ=-=--=---=.
(5)【答案】1-
【解析】这是一个∞
∞
型未定式,分子分母同乘以1
x e -,得
1
1
110
11lim lim 1
x x x x x
x
e
e
x e xe
+
+
-
→→-
--=++.
为简化计算,令1t x =-
,则1
x t
=-,原式可化为 1
101
101lim
lim 101
11
t x t t x x
e
e e xe
t
+
-
→-∞→-
---===-+-++.
二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)
【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对x 求导,得
2y x a '=+,则该曲线在点(1,1)-处的导数为12x y a ='=+,
3
2
23y y xy y ''=+,即3
2
23y y xy
'=-,则曲线在点(1,1)-处的导数为 3
2
1(1)1231(1)
x y =-'==-⋅⋅-, 两导数相等,有21a +=,即1a =-.
又因为曲线2
y x ax b =++过点(1,1)-,所以有1111,1a b b b b -=++=-+==-. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B)
【解析】这是分段函数求定积分.
当01x ≤≤时,2
()f x x =,所以2330
011
()()33
x
x
x
F x f t dt t dt t x ⎡⎤=
===⎢⎥⎣⎦⎰
⎰.
当12x <≤时,()2f x x =-, 所以
1
2
1
()()(2)x
x
F x f t dt t dt t dt =
=+-⎰
⎰⎰
132201111112(2)(2)32322x
t t t x x ⎡⎤⎡
⎤=+-=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦ 271
262
x x =-
+-. 所以3
2
,013
()72,126
2x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩,应选(B).
(3)【答案】(B)
【解析】方法一：用排除法.
由于不可导点也可取极值,如()1f x x =--,在01x =处取极大值,但是01x =不是
()1f x x =--的驻点,所以(A)不正确；
注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；
对于()|1|f x x =--,在01x =处取极大值,但01x -=-并非是()|1|f x x -=-的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).
方法二：证明(B)是正确的,因为00x ≠,不妨设00x >,则0()f x 为极大值,则在0x 的某个领域内有00()()f x f x x >±∆；
函数()y f x =--与函数()y f x =关于原点对称,所以必有00()()f x f x x --<--±∆,即在0x -的某个领域内0()f x --为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D)
【解析】函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,
2
2
2
2
11lim lim
lim
11
x x x x x x x e e y e
e --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,
2
2
2
2
11lim lim
lim
111
x x x x x x x e e y e
e --→∞
→∞
→∞
++====--,所以1y =为水平渐近线.
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0
lim ()x x f x →=∞,则
0x x =是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞
=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.
(5)【答案】(A)
【解析】如图建立坐标系,则x x dx →+中,dx 长度的细杆的质量为dx μ,与质点的距离
为a x -,故两点间的引力为2
()km dx dF a x μ=-,积分得02()l km F dx a x μ-=-⎰,故选(A). 同理应用微元法可知,若以l 的中点为原点,则质点的坐标为(,0)2
l
a +
,故 22
2
()
2
l
l km F dx l a x μ
-=+-⎰
；
若以l 的左端点为原点,则质点的坐标为(,0)a l +,故20()l
km F dx a l x μ
=+-⎰.
故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).
三、(每小题5分,满分25分.)
(1)【解析】这是个函数的参数方程,
/sin cos /cos sin dy dy dt t t t dx dx dt t t t
+==-, 221sin cos 1
()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t t
dt
+=⋅=⋅-- 2
(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1
(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t
--+++=
⋅-- 222223
2(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t t
t t t +++-+=- 2
3
2(cos sin )
t t t t +=-. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：
如果 ()()
x t y t φϕ=⎧⎨
=⎩,则 ()
()dy t dx t ϕφ'='.
(2)【解析】用换元法求定积分.
令t =
则2,2x t dx tdt ==,则
4
2221
1111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰
⎰⎰
2
1
2142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡
⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.
当0x →时,有sin ,1x x x e x + ,所以
2
2232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim
(1)3336
x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)【解析】用分部积分法求不定积分.
2
1cos 21
sin (cos 2)22
x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰
⎰⎰ 21111
cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111
sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111
sin 2cos 2448
x x x x C =--+. (5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1x
y y e x
'+=.通解为
11
1()()dx dx x x x
x y e e e dx C xe dx C x
-
⎰⎰=+=+⎰⎰
111
()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x
=
+=-+=-+⎰⎰. 代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11x
x y e x x
-=+
. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解为
()()(())p x dx p x dx
y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.
四、(本题满分9分)
【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.
当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有
1
()ln(1)1ln 1ln(
)x f x x x x
+'=++--=.
因1x >,故
1
1x x
+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,
故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式
ln(1)ln 1x x
x x
+>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令
()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,
故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.
所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x x
x x
+>+成立.
五、(本题满分9分)
【解析】微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为2
10r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.
方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos x e x x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解
2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得1
0,2
A B ==
. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2
x
Y Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121
cos sin sin 2
y C x C x x x x =+++. 【相关知识点】关于微分方程特解的求法:
如果()()x
m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()
y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k x m y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按
λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.
如果()[()cos ()sin ]x
l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程
()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为
*(1)(2)
[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,
其中(1)()m R x 与(2)
()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
六、(本题满分9分)
【解析】利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =
22x =,顶点坐标为31
(,)24
-.
方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周,
环柱体的体积为
222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+
其中2
dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得
22
231
1
2(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰
2
3421
1122(0)442x x x πππ⎡⎤
=--=+=⎢⎥⎣⎦.
方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕
y 轴旋转一周后的体积差,即 2221dV x dy x dy ππ=-
其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >, 把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得
12x x =
=, 故旋转体体积为0
221
214
()V x x dy π-=
-⎰
.把12,x x 的值代入化简,得
3
2
1144
32323(14)43432V y πππ--
⎡⎤==⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.
七、(本题满分9分)
【解析】可以利用函数的极值求解.
设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设
:2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =-
而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->,
所以梯形ABCD 的面积为
122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=
+-=+-23(3ln 2)2
x x e -=-. 求函数23(3ln 2)2
x S x e -=-,(0x >)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有
23(362ln 2)02
x S x e -'=-+=, 得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223
x =+是极大值点. 又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2
x S x e -=-最大值点. 此时11ln 223x =+,11ln 213
x =-时,梯形ABCD 面积最大, 故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.
八、(本题满分9分)
【解析】这是个抽象函数求定积分,由题知
()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈,
(2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈, 而
3232()()()f x dx f x dx f x dx ππππππ=+⎰⎰⎰, 对于2()f x dx ππ⎰,令t x π=-,则,x t dx dt π=+=,所以
200()()(sin )f x dx f t dt t t dt πππππ=+=-⎰⎰⎰; 对于32()f x dx ππ⎰,令2t x π=-,则2,x t dx dt π=+=,所以
3200()(2)f x dx f t dt tdt πππππ=+=⎰⎰⎰; 所以 3232()()()f x dx f x dx f x dx πππππ
π=+⎰⎰⎰ 00(sin )t t dt tdt ππ
=
-+⎰⎰ 002sin tdt tdt π
π=-⎰⎰
[]2200cos 2t t πππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。