线性代数行列式计算总结

11
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故 An - An－1 是以 为公比的等比数列(n 3, 4,L ).
A2 ( )2 2 2 ,
即 归纳可得，
同理,
A2 ( ) 2
A2 A1 2，
An An1 n，
An An1 n.

x3 x1

x3( x3 x1)


xn x1 xn ( xn x1)

x2n2 ( x2 x1) x3n2 ( x3 x1) xnn2 ( xn x1)
1 1 1
( x2 x1)( x3 x1)
( xn x1)
x2
x3 xn

y)n
1
ny x y


(x

y)n1 x

(n
1) y.
6
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1 a1 a2 an
例13. 计算 Dn
a1
1 a2
an
a1 解. 法一：加边法
a2 1 an
1 a1
a2
0 1 a1 a2
Dn 0 a1 1 a2
1
0
x2 x1
Vn 0 x2 ( x2 x1)


0 x2n2 ( x2 x1)
x3 x1

xn x1
x3 ( x3 x1) xn ( xn x1)



x3n2 ( x3 x1) xnn2 ( xn x1)
x2 x1 x2 ( x2 x1)
c2
c3
L
cn
0
Dn
0
a2 a3

n i2
ai a1

n i2
bi ai
ci

M
O
0
4 an
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3. 各行（列）相加法，“加边”法。
适用于各行（或列）的和相等；或各行（列）元有相同规 律，而主对角线元与众不同的情况。
例12. 计算 解. 法一
x y y y x y Dn y y x
二. 行列式的计算
方法多，技巧多。基本思路：化零，降阶， 灵活运用性质、公式和特殊行列式。常用 方法：
1. 化成三角形行列式； 2. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶 法； 3. 各行（列）相加法，“加边”法； 4. 递推公式法，数学归纳法； 5. 利用特殊行列式（范德蒙行列式）法。
1
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1. 化成三角行列式（基本方法）
ai
1 L
1 a2 L
L L
an L

1
n i1
ai
1 L
1 L
L L
0 L
1 a2 L 1 an
1 0L 1
n
1 ai.
i1
9
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例14
x12 1
计算Dn
x2 x1 M
xn x1 解：哪种方法呢？
x1x2 L x22 1 L
ML
x2x2 L
利用行列式初等变换，把行列式化为上三角形行列 式。对于由有限个具体数字构成的行列式尤其适用。
例9. 设
A
1 2
3 4
7 3
，求 detA.
3 7 2
解. 1 3 7 1 3 7
det A 0 10 17 0 10 17 196
0 2 23
b3 c3
b4 abcd 1 b
c4
1c
b2 c2
b3 c3
d d2 d3 d4
1 d d2 d3
1 1 11
a b c1 abcd a2 b2 c2 1
a3 b3 c3 1
abcd d cd bd ac bc ab a .
15
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x (n 1) y y y
1 y y
x (n 1) y x y
1 x y
Dn

( x (n 1) y)


x (n 1) y y x
5
1 y x
返回
1 y y
0 xy (x (n 1)y)
0
பைடு நூலகம்
[x (n 1) y](x y)n1
8
返回
法二：
1 a1 a2 L
Dn
a1 L
1 a2 L LL
a1
a2 L
n
1 ai
a2
L
an
i 1
n
an L
1 i1 ai 1 a2 L
L
LL
1 an
n
1 ai
a2
L
i 1
an
an L 1 an
1 a2 L an
1 0L 0

1
n i1
n
1 xi2.
i1
10
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4. 递推公式法，数学归纳法

OO
例15.计算 An
OO
.


解 按第1行展开， L 0
An
( )
An－1 －
0 M
An2
0
( ) An－1 － An2
An An－1 ( An－1 An2 )
x2n2 x3n2 xnn2
n-1阶范德 蒙行列式
Vn ( x2 x1)( x3 x1) ( xn x1) ( xi x j ) ( xi x j )
2 jin
14
1 jin
返回
例17
a a2 a3 a4
1 a a2 a3
D b c
b2 c2
00
196 10
2
返回
2. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶 法（基本方法）1 4 1 4
例10. 计算
2 D
1
4
3
4 2 3 11
解.
30 9 2
7 0 17 8
7 17 8
21 4 D
3 (1)22 0 5 5
0 0 5 5
392
30 9 2
7 25 8
n
若 ，由上面方程解出，An

n
1

n1 n1 .
1
若 ，则 A1 2, A2 3 2，归纳可得 An (n 1) n.
12
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5. 利用特殊行列式(范德蒙行列式)法
例16. 证明范德蒙行列式(n≥2)
1 1 1 1
7 25
0 0 5 5
10
3 11
3 11 2 3
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例11. 计算爪型（箭型）行列式
a1 c2 c3 L cn
b2 a2
Dn b3
a3
M
O
n
,（其中 ai 0） i2
bn
an
解. 将2至n列的
bi ai
倍全加到第1列，得到
a1

n i2
bi ai
ci
x1 x2 x3 xn Vn x12 x22 x32 xn2 ( xi x j ),
1 jin
x1n1 x2n1 x3n1 xnn1
证. n = 2:
1 x1
1 x2

x2

x1,
结论成立。
设对于n-1阶结论成立，对于n阶：
13
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1
1
1

x1xn x2xn .
M xn2 1
Dn
1 x1
x2 L
0 x12 1 x1x2 L
0 x2x1 x22 1 L
MM
ML
xn
1
x1 x2 L xn
x1xn
x1 1 0 L 0
x2xn x2 0 1 L 0
M M M ML M
0 xn x1 x2x2 L xn2 1
xn 0 0 L 1

an
1 a1 a2 an
an
1 1 0 0
an 1 0 1 0

0 a1
a2 1 an 1 0 0 1
7
返回
n
1 ai
i1
0 0

0
a1 a2 an
1 0 0
n
0
1
0
1 ai
i1

0 0 1
能否用各行（列）相加法？

0 0 xy
法二(加边法)：
1 y y L y 1y y L y
x yL y
0 x y L y 1 x y 0 L 0
y xL y
Dn L
L
L
0 y L
xL
y 1 0
xy L
0
LL L y yL x
LL L
0 y y L x n1 1 0 0 L x y

(x