解斜三角形综合练习

•知识梳理
1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等, 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 （1） 已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2） 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 .（从而进一步求出其他的边和角）
2. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两
倍，即
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a =
b +
c — 2bc cos A ; b =c +a — 2ca cos B ; c =a +b — 2ab cos C
在余弦定理中，令 C =90°，这时cos C =0,所以c 2=a 2+b 2.
由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得
.2 2 2 2 2.2 2.2 2 cos A =b c a
; cos B =c - — ; cos C= - b -.
2bc
2ca
2ab
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他两个角
3. 三角形解的个数
•点击双基
1. 在厶 ABC 中，若 2cos B sin A =sin 。

，则厶 ABC 的形状一定是（
） A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.
等腰三角形
D.等边
三角形
2. 下列条件中，△ ABC 是锐角三角形的是（
）
1 ------------------------- " --------
A.sin A +cos A =
B. AB • BC >0
C.tan A +tan BHan C > 0
D.b =3 ,
5
c =3 .3 , B=30°
3. △
ABC 中，a 、b 、c 分别为/ A 、/ B / C 的对边，如果 a 、b 、c 成等差数列，/ B=30°,
解斜三角形练习
:已知心、忌衣/U 水H 旳■•应注誰：若aR 升、则H 有一解■一冃.GV ；円 肚八好 uWf 八则13 可雷区有两解—即 = b = c sin A sin B
sin C
△ ABC的面积为3，那么b等于( )
2
A. 1__3
B.1+ .. 3
C. 2__3
D.2+、3
2 2
4. 已知(a+b+c) ( b+c- a) =3bc,则/ A= ________ .
5. 在锐角△ ABC中，边长a=1, b=2，则边长c的取值范围是_______ .
6. (重庆理6)若厶ABC的内角A、B C所对的边a、b、c满足(a b)2c24，且C=60°, 则ab的值为
•典例剖析
【例1] △ ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b (b+c)，求证：
A=2B.
【例2］已知锐角厶ABC中, sin (A+B) =3, sin (A- B)=丄.
5 5
(1) 求证：tan A=2tan B;
(2) 设AB=3,求AB边上的高.
【例3]在厶ABC中, a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2- c2=ac- be,求/ A的大小及bsin B的值.
c
4
•闯关训练
1. 在厶 ABC 中, “ A > 30° ”是“ sin A > - ”的（ 2
A.充分而不必要条件
C.充分必要条件
则b (
)
A.2
B. . 6
,2
C. 4 2 .、3
D. 4 2 3
4.在厶ABC 中,角A B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,且cos 2-
2
A (
0, 6]
6. 在厶ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（
）
A. b =20, A =45° , C =80°
B.a =30, c =28, B=60°
C.a =14, b =16, A =45°
D. a =12, c =15, A =120°
7. 在厶ABC 中，角A 、B C 所对的边分别是a 、b 、c ,若三角形的面积S =-
（a 2+b 2-c 2）,贝
）
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.在厶 ABC 中, A= 300, a
8, b 83，则△ ABC 勺面积为（
A. 32 3
B. 16
C.32 .、3 或 16
D. 32、3 或 16.3
3.（广东）已知△ ABC 中,角A 、B C 所对的边分别是 a 、b 、c ,右 a c , 6
.. 2，且 A 75° ,
b c 2c
,则厶ABC 勺形状（
A.直角三角形
B. 等腰直角三角形
C.等腰或直角三角形
D. 等边三角形
5.（四川理6） 在
ABC 中.sin 2 A sin 2 B sin 2C
sinBsinC .贝y A 的取值范围是
c. (
o ,-]
C 的度数是 _______
8. 在厶 ABC 中，若/ C =60。

，则
b
= ________ .
b c a c
9. 在厶 ABC 中，有 a 2 c 2 b 2 ab ，则 sinC _____________ .
10. (全国高考)在厶 ABC 中, D 为 BC 边上一点，BC=3BD,AD=2 , ADB 135°，若 AC= 2 AB, 贝y BD = ______ .
的取值范围
12. 已知△ ABC 中, 2 . 2 ( sin 2A —sin 2C ) = ( a - b ) sin B,外接圆半径
为..2 .
(1) 求/ C;
(2) 求厶ABC 面积的最大值•
13. 在厶ABC 中, BC=a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求 些 的取值
AC 范围.
14. 若厶ABC 三边长为a 、b 、c ,面积为S,且S c 2 (a b)2 , a b 2 ,求面积S 的最大值。

15 (湖北理16)设厶ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知a 1,b 2,cosC -
4
(1)求厶ABC 的周长
11.在厶ABC 中，角A B C 所对的边分别为a 、b 、c ,依次成等比数列，求
sin2B sin B cos B
(n)求cos(A C)的值
解斜三角形(教师版)
•知识梳理
1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a = b = c
sin A sinB sinC
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)
2. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2—2bc cos A；b2=c2+a2—2ca cos B；c2=a2+b2—2ab cos C
在余弦定理中，令C=90°，这时cos C=0,所以c2=a2+b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.
由①②③可得
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题: （1） 已知三边，求三个角；
（2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3. 三角形解的个数
特别提示
两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，
通过向量的数量积把三角
形和三角函数联系起来， 用向量方法证明两定理， 突出了向量的工具性， 是向量知识应用的 实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边 对大角定理及几何作图来帮助理解”
^
•点击双基
1. （上海）在厶ABC 中，若2cos B sin A =sin C,则厶ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
2
2
b 2
解析：由 2cos Bs in A =sin C 得 a ---- c ------- x a =c ,「. a =b .
ac
答案：C
2. 下列条件中，△ ABC 是锐角三角形的是（ ）
1
A.sin A +cos A =-
5
1 解析：由 sin A +cos A =- 5
得 2sin A cos A =-
v 0,「. A 为钝角.
25
由 tan A +tan BHan C > 0，得 tan (A +B ) • (1 — tan A tan B ) +tan C > 0. • tan A tan B tan C > 0, A 、B 、C 都为锐角.
.2 2 2
cos A =b
--;
2bc
2 2 , 2
cos B =c_a_b_ ； 2ca 2 , 2 2
cos C = _b_c_ 2ab B. AB • BC > 0 C.tan A +tan B +tan C > 0
D.b =3, c =3 3 , B =30°
由 AB • BC >0，得 BA • BC v 0,「. cos 〈 BA , BC > v 0. ••• B 为钝角.
■A 力喪Qj
A 为止和
"I I "nr TH- A- 'rr ir JU-KHi
0 握示:巴知两边观其中一边騎对角•烫；5—边蓟对篦，如| ：巴知 口上观>1 ■承 B 时*应洼逢r 簿a*打则 B 有—解，甲0<^8） ?兰4；碧“VS 则 H 可能有两解.且满足 AVikV iao° —A 或J 注解. \
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由旦二亠，得sin G 三，••• C=壬或2n
. si nB si nC 2 3 3
答案：C
3.(全国W,理 ")△ ABC 中，a 、b 、c 分别为/ A Z B 、/ C 的对边，如果 a 、b 、c
成等差数列，/ B =30°，A ABC 的面积为3，那么b 等于(
)
2
A. 1
3
B.1+ ■. 3
C.
-
-
D.2+•. 3
2
2
解析：••• a 、b 、c 成等差数列，• 2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2— 2ac .又厶ABC 的面积为？,
2
且Z B=30°,故由 &ABC = - ac sin B =」ac sin30 ° =— ac =-,得 ac =6. • a 2+c 2=4b 2— 12.由余弦 2 2
4 2 2 2 2 2 2 2
定理，得 cos B =a
c b =4b 12 b
=b 仃3，解得 b 2=4+2 3 .又b 为边长，
2ac
2 6 4 2
• -b=1+ ； 3.
答案：B
4.已知(a +b +c ) (b +c — a ) =3bc ,则Z A = _________
答案：n
3
5.在锐角△ ABC 中，边长a =1, b =2,则边长c 的取值范围是
解析：若c 是最大边，则
2 2 2
cos C >0. • ---------------- -- >0,二 c v . 5 .又 c >b — a =1,「. 1
2ab
v c v .5 .
答案：(1,
5 )
6.(重庆理6)若厶ABC 的内角A 、B C 所对的边a 、b 、c 满足(a b)2 c 2 4，且C=60°,
则ab 的值为
答案：4 •典例剖析
【例1】△ ABC 勺三个内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ,如果a 2=b
(b +c ),求证：
A =2B.
剖析：研究三角形问题一般有两种思路
.一是边化角，二是角化边.
证明：用正弦定理，a =2R sin A , b =2R sin B, c =2Rs in C,代入 a 2=b(b +c )中，得 sin 2A =sin B 2
2
(sin B +sin C )
sin A — sin B =sin B sin C
解析：由已知得
b +
c ) 2— a 2=3bc ,
2 2 2 .
b +
c — a =bc .
b 2
2bc 2
• Z A =上.
3
1 cos2A
— 1 cos2B =sin B sin (A +B )
2 2
sin (A +B ) sin (A — B ) =si n B sin (A +B), 1
(cos2 B- cos2 A ) =sin B sin (A +B ) 2
因为A B C 为三角形的三内角，所以 sin ( A +B )M 0.所以sin (A — B ) =sin B.所以只
能有 A- B=B,即 A =2B
评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系， 从而全部利用三角公式变换
求解.
思考讨论
(1)该题若用余弦定理如何解决 解:利用余弦定理，由a 2=b(b +c )，得cos A =b
2 2 b 2 cos2 B=2cos 2B — 1=2 ( - ----- c ------- 2ac 所以cos A =cos2B.因为A 、B 是厶ABC 的内角，所以 A =2B
(2)该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决 解：由题设a 2=b (b +c ),得
作出△ ABC 延长CA 到D,使AD=AB=c ,连结BD ①式表示的即是匹=些
DC BC 所以△ BCDh ^ ABD .所以/仁/ D.
又AB=AD 可知/ 2= / D,所以/ 仁/ 2. 因为/ BA(=Z 2+Z D=2 / 2=2/ 1, 所以A =2B 评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目重点考查正弦、余弦定理，考查的侧 重点还在于三角转换.这是命题者的初衷
3 1
【例2】(全国H, 17)已知锐角厶ABC 中, sin (A +B ) =- , sin (A- B)=丄.
5 5
(1) 求证：tan A =2tan B ； (2) 设AB=3,求AB 边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以( 1)为铺垫，解
决(2).
(1)证明：
•••
sin (A +B ):
_3 sin (A — B )= _1
5
5
3
2
sin Acos B cos As in B
sin Acos B —
tan A
=2. ••• tan A =2tan B.
5
5
1
1
tan B
sin Acos B cosAsin B
cosAsin B
5
5
(2)解：n V A +B<n,「・
sin (A +B )=-.
tan (A +B )=—-,
2
5
4
即tan A tan B = — 3 .将上玄门A =2tan B 代入上式整理得 2tan 2B — 4tan B — 1=0，解得
1 tan Atan B 4 tan B = —— (负值舍去).得 tan B = ——,二 tan A =2tan B =2+、、6.
2 2
设 AB 边上的高为 CD 贝U AB=A[>DB=-C ^ ^CD = 3CD .由 AB=3 得 CD=2+ .. 6，所以 tan A
tan B 2 <6
2
c 2 a 2 =( b 2 c 2) b ( b c ) _ c
2bc 2bc 、2 (b c)2c 2 c b
)—1= 2 — 1= .
2b (b c ) c 2 2b
b
2b
①,
A
c 2 1
AB 边上的高为2+.. 6.
评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力
.
【例3】（春季北京）在厶 ABC 中, a 、b 、c 分别是/ A 、/ B / C 的对边长，已知 a 、 b 、c 成等比数列，且a 2— c 2=ac — be ,求/ A 的大小及bsin B 的值.
c
剖析：因给出的是 a 、b 、c 之间的等量关系，要求/ A ,需找/ A 与三边的关系，故可
2
.
用余弦定理.由b 2=ac 可变形为 L=a ,再用正弦定理可求 bsinB 的值.
c c
解法一：••• a 、b 、c 成等比数列，••• b 2=ac .又 a 2 — c 2=ac — bc ,「. b 2+c 2— a 2=bc .
在厶ABC 中，由正弦定理得sin 亠空吐,
a
•/ b 2=ac ,/ A =60°,A
b 2si n60 =sj “6。

° =仝.
c
ac
2
解法二：在△ ABC 中，由面积公式得 -bc sin A == ac sin B.
2 2 ••• b 2=ac ,/ A =60°,「. bc sin A =b 2sin B. • bsin B =sin A =-^ .
c 2 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理， 找两边两角之间的关系常用
正弦定理.
•闯关训练 夯实基础
1.（浙江，8）在厶 ABC 中, “ A > 30°” 是“ sin A > - ”的
2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：在厶ABC 中, 1 A > 30°
0 v sin A v 1sin A >
1 sin A >
30 ° v A v 150°
2
2
A > 30° .
答案：B
2.在厶 ABC 中, A=3O 0, a 8, b 83，则△ ABC 的面积为（
)
A. 32 3
B. 16
C. 32 .、3 或 16
D. 32、. 3 或 16.3
解析：由正弦定理得，sinB 寸，• B 600或1200,再由面积公式得323或16 3。

答案：D
在厶ABC 中，由余弦定理得:
.2 2
cos A =
b -—
2bc
= bc = 1
2bc 2，
a 、
b 、
c , 若 a 则b (
)
A.2
B. ,6
,2
C. 4 2、、3
D. 4 2.3
3.广东）已知△ ABC 中，角A B 、C 所对的边分别是
解析: 由 S=- 4
/ 2 i 2
(a +b -c 2
)得
1
1 -ab sin C=— • 2ab cos C •- tan C=1. •
• C= n
4 答案: 45
o
8.在厶 ABC 中,
若/ C =6°° ，则a
b =
b
c a c 解析: a
b = a 2 ac
b 2 bc
b c a c (b c ) (a c )
2
=a b 2 ac bc
ab
ac bc c 2
(*)
答案：A
A. (°, 6]
B. [ 6 , )
C. (°, 3 ]
D. [ 3 ,)
【答案】C
【解析】由题意正弦定理
6.在厶ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
A. b =2°, A =45° , C=8°°
B.a =3°, c =28, B=6°°
C.a =14, b =16, A =45°
D.a =12, c =15, A =12°°
解析：由a =14, b =16, A =45°及正弦定理，得 色哇=sin A ，所以sin B =±2 .因而B
16 14 7
有两值•
答案：C
7.在厶ABC 中，角A 、B C 所对的边分别是a 、b 、c ,若三角形的面积S =- （a 2+b 2-c 2）,贝U/
4
C 的度数是 _______ .
・ 2.2. 2
…a +b =ab +c .
解析：sin A
sin 75° sin(45° 30°)
6
； 2
，由a c , 6
、2可知， C 75°，所以
B 30°, sin B
故由正弦定理得，b 2
4.在厶ABC 中,
A B 、 C 所对的边分别是 a 、b 、 A.直角三角形 C.等腰或直角三角形 B. D.
c ，且cos 2-丄上，则厶ABC 的形状（
2 2c
等腰直角三角形 等边三角形
解析: 2
A 1 cos - 2 b c
2c ，
理，得c 2
答案: b 2
-。

又 c ••• C 90°,故厶ABC 为直角三角形。

cos A cosA
b 2
c 2 a 2 2bc
，联立以上两式并整
5.（四川理6）
ABC 中.
.2
sin A sin 2
B sin 2
C sin Bsi nC
A 的取值范围是
2 2
b c bc
bc
,2 2 2
b c a *
1 bc
cos A -
° A —
2 3
2 2 2
'// C =6°°,「. a +b - c =2ab cos C =ab .
2 2
代入(*)式得-一b aC bc =1.
ab ac be c2
答案：1
9. 在厶ABC中，有a2 e2 b2 ab，则sinC •迴
2
10. (全国高考)在厶ABC中, D为BC边上一点，BC=3BD,AD=2 , ADB 1350，若AC= 2 AB, 则BD= ______ . 2庐
培养能力
11.在厶ABC中，角A B C所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列，求y= 1 sin 2B
sin B cos B
的取值范围.
2 2.2 22
2解：••• b
a c
b a
• • cos B= =—
c ac=1( a + c)- 1> 1 .
2ac2ac 2 c a22
0v B< n,
3
y= 1 sin2B =(^!2^ eosB)=si n B+cos B=、2s in (B+ n) . T n v B+n< 匕，sinB cosB sinB cos B 4 4 4 12 .—v sin (&■ n )< 1.故 1 v y w . 2 .
2 4
12. 已知△ ABC中, 2 2 (sin2A—sin 2C) = (a- b) sin B,外接圆半径为,2.
(1) 求/ C;
(2) 求厶ABC面积的最大值
解: (1)由2 2
2 2
(sin 2A—sin 2C) = (a—b) • sin B得2 2 ( -^ ——N ) = (a—b)
4R24R2
b
2R
2 .2 2 .
又•R= 2 , 2
• a
-c2=ab—b2. 2.2 2 a b c 1
--a +b —c =ab. - - cos =.
2ab 2
又••• 0°v C v 180°,. C=60°.
(2) S=1ab sin 0=丄x —3ab=2、3 sin A sin B=2 . 3 sin A sin (120 °—A)
2 2 2
——2
=2 . 3 s in A (sin 120 ° cos A—cos120 ° si nA) =3si n A cos A+. 3 s in A
=3 sin2 A ------- sin2 A cos2A+ —3— 3 sin (2A—30°) +—3 .
2 2 2 2
•••当2A=120°，即卩A=60° 时，S maF3^.
2
13. 在厶ABC中, BGa，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求△旦的取值
AC
范围.
4
15 2
8
解：令 AB=kx , AC=x (k > 0, x >0),则总有 sin B=2 , sin C=£ (图略)，且由正弦定 kx x
理得 sin B = ? sin A ,所以 a 2=kx 2 • sin B sin C =kx 2
sin A ,由余弦定理，可得 a _ = 1 (k +丄—sin A),所以 k +1 =sin A +2cos A w
2kx 2 2 k k 2— ■. 5 k +1< 0，所以 5 1 w k w 5 1 . 2 v 5 1 弱 1 n
, 」. 2 2
面积为S,且S 2ab 2ab (a 2 b 2 .2 2 cos A = k x 所以的取值范围为［ AC
14.若厶ABCE 边长为 解: T S c 2 (a b)2 a 2 c , b 2 一 12 22 =、、5.所以 b)2 2ab(1 cose),即 S 2ab(1 2 2 c (a b) , a b 2, c 2),又由余弦定理得 口 1 cosC)，又 S — absinC , • sin C 2
求面积S 的最大值。

2 2 2 a b c 2abcosC
4(1 cosC), ■/ sin 2C cos 2C 1 , • 17 cos 2 C 32 cosC 15 15 0，得 cosC 17 或 cosC 1 (舍),• sin C ^absinC 4a(2 a) 4 (a 1)2 2 17 17 4 17
，
•••当 a 1
时,
S max
15.
4 - 。

17
(湖北理16) ABC 的内角A B 、C 、所对的边分别为 a 、b 、c ,已知 1.b 2.cosC
）求 ABC 的周长 （n ）求cos A C 的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识， 分10分） 同时考查基本运算能力。

（满
Qc 2 a 2 解: (i) b 2 2abcosC 1 4
c 2. ABC 的周长为a c 1 2 2 5. Q cosC — (n)
4
si nC • 1 cos 2
C
1
(〉2
asin C
sin A -----------
c
15
探究创新
9.某城市有一条公路，自西向东经过
A 点到市中心 O 点后转向东北方向 O
B 现要修建
一条铁路L , L 在0A 上设一站A,在0B 上设一站B,铁路在AB 部分为直线段，现要求市中 心O 与
AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心 O 多远处才能使| AB 最短？并 求其最短距
离•（不要求作近似计算）
B
因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以/ AOB 135
则 |AB 2=a 2+b 2— 2ab cos135 ° =a 2+b 2+、、2 ab 》2ab +.. 2 ab = (2+2 ) ab ，当且仅当 a =b 时,
sin (45 )
ab =
10
•
sin
10 = 100 =
100
sin (45 )sin sin (45
)
sin
(丘
cos 2 厶in ) 2
100
= 400
>
400
2
sin 2 二(1
cos2 ) 2sin (2
45
) 、2
2 .2，
—si n2 — 4
4
当且仅当 a =22° 30'时，“=”成立•所以 |AB 2》40（
2 ' 2）
=400 （ •.. 2 +1） 2,
2 （2
当且仅当a =b , a =22° 30'时，“=”成立•
所以当a =b =一10—=10^2（2 运）时，I AB 最短，其最短距离为 20 （应+1）,即当
sin 22 30
AB 分别在OA OB 上离O 点10^2（2 v'2） km 处，能使|AB 最短，最短距离为20 （ V2 — 1）.
•思悟小结
1. 在厶 ABC 中, ■/ A +B +C =n,二 sin —__B =cos C
, cos —__B
=sin
C ,tan —__B
=cot C . 2 2 2 2 2 2
2. / A / B / C 成等差数列的充分必要条件是/
B=60° .
3. 在非直角三角形中， tan A +tan B4an C=tan A - tan B • tan C
4. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边
.并常
Q a c, A C
cos A
，故A 为锐角,
cos(A C) cos AcosC sinAsinC
7 1 15 15 11
8 4 可〒 16
解：在△ AO 沖，设 OA =a ，OB=b .
成立•又 O 到 AB 的距离为 10,设/ OAB a ，则/ OBA 45
a .所以 a =』
sin
用正弦(余弦)定理实施边角转化 •
5. 用正(余)弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的 模求三角形的边长•
6. 用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补 •教师下载中心 教学点睛
1. 一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用， 另一方面要让学生体会解三角
形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题
的能力.
2. 要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练 拓展题例
故当 A =B =C =n
时，y min =、、3 .
3
评述：本题的第(1)问是一道结论开放型题，
y 的表达式的表面不对称性显示了问题
【例2】 在厶ABC 中, sin A =sinB sinC ，判断这个三角形的形状.
cos B cosC
分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定
.采
用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
a = ——2 c
2 2——T ，所以 b
(a 2-b 2) +c (a 2-c 2) =bc ( b +c ).所以(b +c )
cab a b c
2ca
2ab
a 2= (
b 3+
c 3) +bc (b +c ).所以 a 2=b 2- bc +c 2+bc .所以 a 2=b 2+c 2.所以△ ABC 是直角三角形.
评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键 .若考虑三内角的关系，本题
可以从已知条件推出 cos A =0.
【例1】已知A B 。

是厶ABC 的三个内角,
y =cot A + 2sin A cos A cos ( B C ) (1)若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？试证明你的结论 (2)求y 的最小值.
解:
(1 )••• y =cot A +
2sin n (B C
)
-
cos n (B C ) cos( B C )
=cot A +
2sin( B C ) cos B C ) cos( B C )
sin B cosC cos BsinC
=cot A+ —
sin Bsin C =cot A +cot 申cot C,
•••任意交换两个角的位置， y 的值不变化
y > cot A + 2si nA
1 cos A
1 tan 2-
2 A 2ta n
2
+23拦(冷吋彳心严;cot ；=3
的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题：在△
ABC 中，求证：cot A +cot B^cot C > . 3 .。