函数的零点_优秀课件

向 透
析
[a，b]时，a＜f(x)＜b，g(a)＝f(a)－a＞0，g(b)＝f(b)－b＜0，
感
悟
经
g(a)g(b)＜0，因此方程g(x)＝0，即f(x)＝x在[a，b]上有且仅有一个
典 考
题
实根，选B.
课
时
规
【答案】 B
范 训
练
2．(2013·广州模拟)函数f(x)＝
x2＋2x－3，x≤0， －2＋ln x，x＞0
规 范
训
练
基
础
知
1．函数零点的概念
识 梳
理
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其
聚 焦
考
函数值等于零；
向 透
析
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐
感 悟
经
标；
典 考
题
(3)一般我们只讨论函数的实数零点；
课 时
规
(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
础 知
识
梳
解析：设函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和函数y＝
理
聚
x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两
焦 考
向
透
个零点，就是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝
析
感
x＋a有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，
悟 经
典
考
不符合；如图所示，当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点
规 范
训
练
【解】 由题意得，f(x)－g(x)＝xln x＋x2－ax＋2＝0在(0，＋
基 础
知
识
∞)上有且仅有一个根，
梳 理
即a＝ln x＋x＋2x在(0，＋∞)上有且仅有一个根．
聚 焦 考 向
透
令h(x)＝ln
x＋x＋
2 x
，则h′(x)＝
1 x
＋1－
2 x2
＝
x2＋x－2 x2
＝
1 x2
(x＋
范 训
练
D．有无数个不同的实数根
【审题视点】 首先确定函数的单调性再根据零点定理判定． 基
础
知
【解析】 依题意得，当x＞y时，有|f(x)－f(y)|＜|x－y|＝x－
识 梳
理
y，－(x－y)＜f(x)－f(y)＜x－y，即有f(x)－f(y)＜x－y，f(x)－x＜f(y) 聚
焦
考
－y，令函数g(x)＝f(x)－x，则g(x)是[a，b]上的减函数；又当x∈
悟 经 典
考
题
课 时 规 范 训 练
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
基 础
知
识
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
梳 理
二次函数y＝
聚 焦
考
ax2＋bx＋c(a
向 透 析
＞0)的图象
感 悟
经
典
与x轴的交点 (x1,0) ， (x2,0) (x1,0)或(x2,0) 无交点
考 题
零点个数
两个
础
知
识
因为函数 f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)
梳 理
上的增函数，且当 x≥－a 时，有 f(x)≥e－a(－a)＞－a，又 f(0)＝－a.11
聚 焦
考
向
分
透 析
所以要使方程 f(x)＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k
感 悟
经
典
的取值范围是ae＋a＋24，－a.13 分
的零点个数
基 础 知 识
梳
为( )
理
聚
焦
A．3
B．2
考 向
透
C．1
D．0
析
感
悟
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x＝－3(x＝1舍去)；
经 典
考
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2，所以函数有2个零点，故 题
课
时
选B.
规 范
训
答案：B
练
基
础
考向三 由函数零点的存在情况求参数值
考
解不等式确定参数范围；
向 透
析
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解
感 悟
经
决；
典 考
题
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，
课 时
规
画出函数的图象，然后数形结合求解．
范 训
练
3．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的
基
取值范围是________．
考 向
透
析
程即为lg(x＋2)＝1x，在同一直角坐
感 悟
经
典
标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝1x
考 题
课
时
的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－
规 范
训
练
2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.
(2)∵f(12)＝log212－2＝－3＜0，
考 题
课 时
规
范
训
练
【思维流程】
基
求导，及 k＝f′(1)．
础 知
识
梳
利用点斜式写切线方程．
理
聚
讨论两极值点的大小，当－(a＋2)≤0，确定 f(x)在[0，＋∞)
焦 考
向
上的单调性，从而判断 f(x)＝k 的根的情况．
透 析
感
当－(a＋2)＞0 时，f(x)在[0，＋∞)上先减后增．
悟 经
典
考
求 f(x)在[0，＋∞)上的最小值 f(－(a＋2))．
范 训
练
基 础 知 识 梳 理
2．对函数零点存在的判断中，必须强调：
聚
焦
考
(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)＜0；(3)在(a，b)内存在零
向 透
析
点．
感
悟
经
这是零点存在的一个充分条件，但不必要．
典 考
题
课 时 规 范 训 练
基 础 知 识 梳 理
聚 焦 考 向 透 析
感 悟 经 典 考 题
基 础 知 识 梳 理
函数与方程
聚 焦 考
向
——函数的零点
透 析
感
悟
经
典
考
题
课 时 规 范 训 练
基 础 知 识 梳 理
聚
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，
焦 考
向
透
判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
析
感
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似
悟 经
典
考
解．
题
课 时 规 范 训 练
课 时 规
范
表：
训 练
基
础
x
0 (0，－(a＋2)) －(a＋2) (－(a＋2)，＋∞)
知 识
梳
f′(x) 0
－
0
＋
理
聚
焦
f(x) －a
a＋4 ea＋2
考 向 透 析
感
由上表可知函数 f(x)在[0，＋∞)上的最小值为 f(－(a＋2))＝
悟 经
典
a＋4 ea＋2 .10
分
考 题
课
时
规
范
训
练
基
课 时 规 范 训 练
考向一 确定函数零点所在区间
基
础
(1)(2013·山东淄博模拟)若方程 xlg(x＋2)＝1 的实根在区间(k，
知 识
梳
k＋1)(k∈Z)上，则 k 等于( )
理
聚
A．－2
B．1
焦 考 向
透
C．－2 或 1
D．0
析
感
(2)(2013·北京海淀模拟)函数 f(x)＝log2x－1x的零点所在区间为
训
y＝f(x)有 零点 ．
练
基
础
知
识
梳
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
理
聚
焦
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲
考 向
透
线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点， 析
感
即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是f(x)＝0的根．
知 识
梳
理
3x－3的零点的是( )
聚
焦
A．[－1,0]
B．[1,2]
考 向
透
析
C．[0,1]
D．[2,3]
感
悟
解析：由于f(0)＝－3＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)在区间[0,1]上存
经 典
考
题
在零点，故选C.
课
时
答案：C
规 范
训
练
考向二 判断函数零点的个数
(2013·豫东、豫北十校)已知f(x)是定义在[a，b]上的函数，其 基
知 识
梳
理
＝0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0， 聚
焦
则方程的根落在区间________．
考 向
透
析
答案：(1.25,1.5)
感
悟
5．若函数 f(x)＝2x2－ax＋3 有一个零点是 1，则 f(－1)＝
经 典
考
题
________.
课
时
答案：10
题
课
利用数形结合，y＝k 与 y＝f(x)有两个交点时 k 的上限值．
时 规
范
写出答案．
理
聚
x＋2 1
2
3
4
5
焦 考
向
透
A.(－1,0)
B．(0,1)
析
感
C．(1,2)
D．(2,3)
悟 经
典
考
解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，
题
课
则由题设知f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，
时 规
范
训
故有一个根在区间(1,2)内．
练
答案：C
基
础
3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
一个
零个
课 时
规
范
训
练
基
【基础自测】
础 知
识
梳
1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的 理
聚
是( )
焦 考
向
透
析
感 悟 经 典 考 题
答案：C
课 时
规
范
训
练
2．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在
的区间为( )
基
x
－1
0
1
2
3
础 知
识
梳
ex
0.37
1 2.72 7.39 20.09
基 础 知 识
梳
理
f(1)＝log21－1＝－1＜0，
聚
焦
f(2)＝log22－12＝12＞0，
考 向 透 析
∴函数f(x)＝log2x－1x的零点所在区间为(1,2)，
感 悟 经 典
考
题
故应选C.
课
时
【答案】 (1)C (2)C
规 范
训
练
基
础ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．(2013·北京东城区模拟)在以下区间中，存在函数f(x)＝x3＋
基
础
【知识梳理】
知 识
梳
1．函数的零点
理
聚
焦
(1)函数零点的定义
考 向
透
对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数 x 叫做函数 y 析
感
悟
＝f(x)(x∈D)的零点．
经 典
考
(2)几个等价关系
题
课
时
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数
规 范
基 础 知
识
解得 x＝－(a＋2)或 x＝0.6 分
梳 理
当－(a＋2)≤0，即 a≥－2 时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，
聚 焦 考
向
所以 f(x)是[0，＋∞)上的增函数，
透 析
感
所以方程 f(x)＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根.8
悟 经
典
分
考 题
当－(a＋2)＞0，即 a＜－2 时，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下
悟 经 典 考
题
() A.0，12
课
时
B.21，1
规 范 训 练
C．(1,2)
D．(2,3)
【审题视点】 (1)将方程的根转化为两个函数图象交点问题，
基
础
结合图象以及单调性进行求解．
知 识
梳
(2)根据区间(a，b)上的零点存在定理．f(a)f(b)＜0判定．
理
聚
焦
【解析】 (1)由题意知，x≠0，则原方
题
课
(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两
时 规
范
训
个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
练
答案：(1，＋∞)
函数与方程思想的综合应用 基
(2013·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是
础 知
识
梳
常数．
理
聚
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
础
知
图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
识
梳
理
①f(x)的值域为G，且G⊆(a，b)；
聚
焦
考
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f(x)－f(y)|＜|x－y|.那么，关于x
向 透
析
的方程f(x)＝x在区间[a，b]上根的情况是( )
感
悟
经
A．没有实数根
典 考
题
B．有且仅有一个实数根
课
时
规
C．恰有两个实数根
础
知
识
梳
【解】 (1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得
理
聚
焦
f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x].2分
考 向
透
当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.4分
析
感
悟
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，
经 典
考
即y＝4ex－3e.5分
题
课
时
规
范
训
练
(2)令 f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，
析
感 悟 经
典
2)(x－1)，
考 题
易知h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
课 时
规
范
所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.
训 练
【方法总结】 已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的
基 础
知
方法和思路
识 梳
理
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过
聚 焦
知 识
梳
理
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
聚
焦
C．(0,1)
D．(1,2)
考 向
透
析
解析：f(－1)＝2－1－3＝－52，f(0)＝1，
感 悟 经
典
则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有零点．
考 题
课
答案：B
时 规
范
训
练
基
础
4．(教材改编)设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8
焦 考
向
透
(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个 析
感
不相等的实数根，求k的取值范围．
悟 经
典
考
【解题指南】 (1)直接求导，求斜率，利用点斜式建立直线方 题
课
程．
时 规
范
训
(2)在[0，＋∞)上求f(x)的单调变化及最值，利用函数与方程的 练
思想求k的变化范围．
基
知 识
梳
(2013·浙江十二校二次联考)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2 理
聚
焦
＋ax－2.
考 向
透
若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的
析
感
悟
值．
经 典
考
【审题视点】 y＝f(x)与y＝g(x)图象恰有一个公共点，即f(x) 题
课
时
－g(x)＝0恰有一根，转化为a的函数．