结构力学第10章矩阵位移法c
结构力学10第十章.矩阵位移法
2
6 EI F 2 l
1e 1 e M e 2 EI y 2
l
x
19
F EA / l 1
e x1
EI l
Fxe2 EA / l 2
y
e
x u 1
e 2
12 EI M e 6 EI 1 Fye1 3 l2 l l EI 1
2
e 2
12 EI F 3 l
F
e
M 1e e M 2
e
1e e 2
连续梁单元的杆端无线位移。
6
2）平面刚架单元
F
e x1
Fye 1
F
e y1
Fxe 1 1e M 1e M 1
x
e
2
v1e 1
1
u1e
v
e 1
x
e 2
y
y
单元杆端力
同理有
{}e [T ]{}e
[T ]称为单元坐标转换矩阵。14对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：
cos sin [T ] 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos
单元局部坐标系
结构整体坐标系
8
3）桁架单元
F
e
Fxe 1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e
u1e e v1 e u2 v e 2
F
e
Fxe1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e e e e Fxe , Fye1 , u1 , v2 , Fxe2 , Fye2 , u2 , v2 1
结构力学-矩阵位移法-PPT
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
结构力学第五版第十章矩阵位移法ppt课件
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
1 2 3
6 3 P3
3 (P3 01 4 2 ) /(8 N ) 3 0
六.非结点荷载
(1).等效结点荷载
PE
PPEE12
PE3
PE1
PE 2
PE 3
---结构等效结点荷载
“等效”是指等效结点荷载引起的结点 位移与非结点荷载引起的结点位移相同
(2).等效结点荷载的计算
1
4
6/ 1.5
8
1.5 1 1
3
2
2
EI1 6 EI 2 24
4m 4m 12m
1
2
1
2
EI1 6
8m
34
3
2
3
1
2
k 2
4
24 4
/12
4 1 2 8 2 3
34
12
k
3
3 1.5
1.5 1 3
3
2
4
3 1.5 0 0
k 1.5 11
4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
1 2
Fq
2
ql 2 /12 ql2 /12
结构力学 矩阵位移法
e
1
e
K 2） 是对称矩阵 K 的对称性是指其元素有如下关系：
e e
k
e ( i )( j )
k
e ( j )(i )
（11－7）
这实际上是根据反力互等定理得 出的结论。
3）K 一般单元的是奇异矩阵 K的奇异性是指其行列式等于零，即
e e
K 0
e
（11－8）
直接计算式（11－6）的矩阵行列 式，便可验证上述结论。
（11－9）
此时单元刚度矩阵为
4 EI l e K 2 EI l 2 EI l 4 EI l
（11－10）
返回
在结构矩阵分析中，我们着眼于计 算过程的程序化、标准化和自动化。 因此只采用一种标准化形式—一般 单元的刚度矩阵（11－6），关于 单元刚度矩阵的各种特殊形式将由 计算机程序去自动形成。
图11—4
返回
u1 v1 u 2 v2 0
（a）
将式（a）代入式（11－4），即自动得出此特 殊单元的刚度方程如下：
M 1 M 2
e
4 EI 2 EI e l l 1 2 EI 4 EI 2 l l
K 由此可知， 不存在逆矩阵。也就是 说，根据单元刚度方程（11－5）， e 可以由杆端位移 推算出杆端力 F 且 F 的解是唯一解；但不能由杆端 力 F 反推出杆端位移 ， 可能无解， 如有解，则为非唯一解。
e e e e e e
为了避免混淆，我们把正反两个问 题再从数学提法、力法模型、解的 性质等方面作一对比。见下表：
首先，由杆端轴向位移 u1
e EA e F (u 1 u 2 ) l e e EA e F x2 (u 1 u 2 ) l e x1
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第10章 矩阵位移法【圣才出品】
二、单元刚度矩阵（见表 10-1-2） ★★★★★ 表 10-1-2 单元刚度矩阵
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三、单元刚度矩阵的坐标转换（见表 10-1-3） ★★★★★ 表 10-1-3 单元刚度矩阵的坐标转换
6．结构的总刚度方程的物理意义是什么？总刚度矩阵的形成有何规律？其每一程的物理意义：尚未进行支承条件处理的表示所有结点外力与 结点位移之间的关系的平衡方程。
（2）总刚矩阵的形成规律：把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码逐一
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台
4．为何用矩阵位移法分析时，要建立两种坐标系？
答：在利用矩阵位移法分析结构的时候，要进行单元分析和整体分析，单元分析是为
了建立每个单元的单元刚度矩阵，整体分析是为了建立整体结构的刚度方程。在单元分析
的过程中，以各单元的轴线为局部坐标系的 x 轴，以垂直轴线的方向为局部坐标系的 y 轴，
台
送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上去，就可得到结构原始刚度矩阵，即各单
刚子块“对号入座”形成总刚。
（3）每一元素的物理意义：当其所在列对应的结点位移分量等于 1（其余各结点位移
分量均为零）时，所引起的其所在行对应的结点外力分量的数值。例如 Kij 表示第 j 号位置
3．矩阵位移法中，杆端力、杆端位移和结点力、结点位移的正负号是如何规定的？ 答：杆端力沿局部坐标系的、的正方向为正，杆端弯矩逆时针为正；杆端位移的正负 号规定同杆端力和弯矩。结点力沿整体坐标系 x、y 的正方向为正，结点力偶逆时针为正； 结点位移的正负号规定同结点力和力偶。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
结构力学课件 结构力学课件矩阵位移法nm
k 1 3 k 2 3 k 3 3 k 4 3 k 5 3 k 6 3
k 1 4 k 2 4 k 3 4 k 4 4 k 5 4 k 6 4
1 , k k 1
0 0 0 0 0 1
α=90°
k
e
T
0 1 T 0 0 0 0
T
k T
e
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
§10-4 整体分析
本节的整体分析是在单元分析的基础上，综合考虑静力、几何和物理三方面
6 EI l
2
i i
uj
12 EI l
3
vj vj
6 EI l
2
j
Mi X
6 EI l
2
4 EI l EA l
6 EI l
2
2 EI l
j
j
EA l
3
ui
Yj M
12 EI l
2
vi
6 EI l
2
i
12 EI l
2 3
vj
6 EI l
2
j
6 EI l
j
vi
2 EI l
i
6 EI l
vj
4 EI l
j
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
F 1 e F 2 F 3 F 4 F 5 F 6
EA l 0 0 EA l 0 0
F
ke
(完整)结构力学(二) 教案
第十章、矩阵位移法授课题目：第一节概述第二节单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵教学目的与要求：1．掌握整体刚度矩阵中的位移矩阵和结点力矩阵 2．掌握局部坐标系中刚度矩阵教学重点与难点：重点：结构的离散化，自由式杆件的单元刚度矩阵难点：无教学方法：讲授法教学手段：多媒体、板书教学措施：理论分析与实际工程相结合讲解讲授内容:第十章、矩阵位移法第一节概述结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。
它是以传统结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。
1.结构的离散化由若干根杆件组成的结构称为杆件结构.使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。
为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。
只要确定了杆件结构中的全部结点,结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。
(a)(b)2。
结点位移和结点力由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形,因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。
对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正,转角以顺时针转向为正,反之为负.结点荷载是指作用于结点上的荷载.本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。
结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负.()()N 1Q 23N 4Q 56e e i i e i i ee j j j j Ff F f M f F f F f M f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F F F()()123456e e i i e i i ee j j j j u v u v δδθδδδθδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦δδδ3。
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 分别绘在结上，如图b 所示。
图17-12 返回 下一张 上一张 小结
• 第六节 矩阵位移法解题步骤
• 具体步骤如下：
• 1）将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。 • 2）选择结构坐标系及局部坐标系。 • 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
e
j
• 结点的杆端力列向量为：
e
F
i
e
Xi
Y
e i
e
M i
e
X j
F
e
j
e Y j
e
M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
• 2）在 B、C 两点没有附加约束的情况
• 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
• 大小相等方向相反的力和力矩，如图
• 7-10（c）所示。
• 3） （a）=（b）+（c）
• 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
• 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
• 和，但方向相反。
•
图7-10
返回 下一张 上一张 小结
x
(完整word版)有限元分析中《结构力学》矩阵位移法C语言程序(附例题)
程序：＃include ”stdafx。
h”#include ”stdio。
h"＃include ”math。
h"#include ”stdlib。
h”void main（）｛int loc[3］［2]={0｝,ifix［6]=｛0}；float area[3]={0.0｝，fint[3］={0.0｝,cx［4]={0。
0}，cy［4]={0.0｝，f［12]=｛0。
0},fr[12]=｛0.0｝，fe［3][6］={0.0｝;int nn,ne,nd,nfix;float ea;int i，j，k;FILE *shuru，*shuchu;shuru=fopen（"shuru.dat"，”r")；shuchu=fopen（"shuchu。
dat”，”w”）；fscanf（shuru，"%d％d％d％d％f”,&nn，&ne，&nd，&nfix,＆ea）;fprintf(shuchu，"nn ne nd nfix e\n%d ％d ％d %d %f\n”,nn，ne，nd,nfix,ea）;i=0；while（i〈=ne-1){fscanf(shuru，"％d%d％f%f"，&loc[i][0],&loc［i][1］，＆area[i]，＆fint［i]);i++；｝fprintf(shuchu，"element node1 node2 area fint\n”);i=0;while（i<=ne—1）｛fprintf（shuchu，”%d ％d ％d ％f %f\n”,i+1,loc[i］［0］,loc［i][1］，area［i],fint[i］）; i++；｝j=0；while（j〈=nn-1)｛fscanf(shuru，"％f％f”,&cx[j］,&cy[j］）;j++；｝fprintf(shuchu,"node x—coord y-coord\n”)；j=0；while（j<=nn-1）｛fprintf(shuchu，”％d %f %f\n",j+1，cx[j］，cy［j]);j++;｝k=0；while(k〈=nfix-1){fscanf(shuru,"％d",＆ifix[k]）；k++；｝fprintf（shuchu,”ifix=”）；k=0；while(k<=nfix-1）{fprintf(shuchu，"%d ”,ifix［k］);k++；｝fprintf(shuchu，”\n"）；void cst（int (*loc）［2］,int *ifix，float *area，float ＊fint，float ＊cx，float *cy,float ＊f，float *fr,float （*fe)[6］，FILE *shuru，FILE ＊shuchu,float ea）；cst（loc,ifix,area，fint,cx,cy，f，fr，fe,shuru,shuchu,ea)；fprintf(shuchu,”node x-disp y-disp thita\n”);i=0;while(i〈=3）｛fprintf（shuchu,”%d %f %f %f\n"，i+1,f[3*i]，f[3*i+1］，f[3*i+2])；i++;}fprintf(shuchu,”reaction nodal forces from the equations\n"）;fprintf（shuchu，”node x-load y-load moment\n"）;i=0；while（i<=3）｛fprintf(shuchu,”％d ％f ％f %f\n",i+1，fr［3＊i］,fr[3*i+1],fr［3*i+2］);i++;｝fprintf（shuchu，”element axi—f shear—q moment—m\n”）；i=0;while(i〈=ne—1){fprintf(shuchu，"％d %f ％f ％f ％f %f ％f\n”,i+1,fe［i］［0］，fe[i]［1］,fe[i］［2]，fe［i］[3］，fe[i］[4］,fe[i］［5]）；i++；｝fclose（shuru）；fclose（shuchu);}void cst(int （＊loc)［2］,int ＊ifix，float ＊area，float ＊fint，float *cx，float ＊cy，float ＊f,float ＊fr,float (*fe)[6]，FILE *shuru，FILE *shuchu，float ea）｛int np，nvd；float p1［3］［6]=｛0.0｝，p2［3］[6］=｛0.0｝,gk［12］[12]=｛0。
结构力学第10章矩阵位移法c.
1 1
4 3
图10-6 例1题图
K
3 K 23 k 122 k 2 k 22 23 2 2 3 K 33 k 32 k 33 k 33
我们把引入边界条件后缩减的刚度矩阵[K]称为结构刚度矩阵。 为简化书写常略去下标简记为[K] 。 仔细分析容易发现，在原始结构刚度矩阵[K]0中，把结点位移分 量为已知的那些行列划掉，紧缩原始结构刚度矩阵，即可得结构刚度 矩阵 [K] 。
用一个充分大的数N 乘以上式中主对角线上的第r个元素Krr，并 用N .Krr.代替荷载分量Fr , 则上式变为
K11 K 21 K r1 K n1
K12 K 22 Kr2
K1r K 2r
N K rr K nr
K n2
K1n u1 F1 u F K 2n 2 2 K rn u r N K rr r K nn u n Fn
2、乘大数法 为了把位移分量已知的分量从原始结构刚度方程中去掉，可以采 用乘大数法。设第r个位移分量已知，且ur=r ，原始结构刚度方程为 （改写成分量的形式）
K11 K 21 K r1 K n1
K12 K1r K 22 K 2 r Kr2 K rr
10kN 10kN l
y 2 ① 1 ⑤ ④ ② ⑥ ③ 3
l 图10-9 例3题图
4
x
图（a）
解： (1) 结构离散化， 6 个单元， 4 个结点，整体坐标系如图示。
(2)建立结构的位移和结点力列向量
0
T 1 T 2 T 3
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1 11 1 21
031
041
k
e 22
e1,2
k
2
32
042
对称
k
e
33
e2,3
k
3 43
加单元
e1,4
k
e 11
④
k
1 21
031
k
3 44
k
4 41
k
e 22
e 1, 2
k
2 32
042
对称
k
e 33
e2,3
k
3 43
k
e3,4
e 44
e1,4
k
e 11
k
1 21
M2 Y2
①2 1
X2
x
Y3
②
2 3
M3 X3
③
4 3
图10-6 例1题图
F1 FF32 F4
k k
1
11
1
21
0
0
k
1
12
k
1
22
k
2
22
k
2
32
0
0
k
2
23
k
2
33
k
3
33
k
3
43
0 1
0
k
3
34
k
ห้องสมุดไป่ตู้
3
44
32 4
通过互换行列后调整后的原始结构刚度方程为
F2 FF13 F4
对称u2 10
EA 0.35
l 1
0
1.35 0 0
1.35 0.35
1.35uvv323
10
0
0
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
1
④
4x
图（a）
解之得
u2
1.35
对称 1 10
26.94
uv23
v3
l 0.35
EA 1
0
1.35 0 0
1.35 0.35
1.35
10
k
1
12
k
1 22
EA 0 l 0
1 0
0
0 1 0 1
单元②，i=2，j=3，=0
1
对称
k 2
k k
2 22
2
32
k k
2 23
2
33
EA
0
l 1
0 0
1
0 0 0 0
单元③，i=4，j=3，=/2
k 3
k k
3
44
3
34
0
k k
3
43
3
33
EA 0 l 0
0
1 00 1 0
(5)引入边界条件
采用静力凝聚法，因结点1、4的位移为零，则
1T T4 T 0 0 0 0T
T2 T3 T u2 v2 u3 v3 T
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
1
④
4x
图（a）
F FT2
F
T 3
T
10
10
0
0T
F F1T FT4 T X1 Y1 X 4 Y4 T
1.35
k
1
22
k
k
1
32
k
1
12
0
2
22
k
2
23
k
2
33
k
3
33
0
k
3
43
k
1
21
0
k
2
33
k
3
33
0
0 2
k
3
34
0
k
3
44
13 4
为了清楚起见。令：
F
F
T 2
FT3 T X 2
Y2
M2
X3
Y3
M3 T
代表自由结点上的荷载列向量，为已知值；
F
F
T 1
F
T2 u2 v2 T
T3 u3 v3 T T4 u4 v4 T 0 0T
F1T X1 Y1 T
FT2 X 2 Y2 T 10 10T FT3 X3 Y3 T 0 0T
FT4 X 4 Y4 T
(3)单元分析
单元①，i=1，j=2，=/2
0
对称
k 1
k k
1
11
1 21
031
k
4 41
k
e 22
e 1, 2
k
2 32
042
对称
k
e 33
e2,3
k
3 43
k
e3,4
e 44
加单元
⑤
e1,4
k
e 11
k
1 21
031
k
4 41
k
e 22
e 1, 2 , 5
k
2
32
k
5 42
对称
k
e
33
e2,3
k
3 43
k
e3,4,5
e 44
y ②
2 ⑥
例3计算图示桁架各杆的内力，设各杆的EA=常数。
10kN 10kN l
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
l
1
④
4x
图10-9 例3题图
图（a）
解：(1)结构离散化，6个单元，4个结点，整体坐标系如图示。
(2)建立结构的位移和结点力列向量
0 1T T2 T3 T4 T
F0
F
T 1
FT2
FT3
FT4 T
其 中 ，1T u1 v1 T 0 0T
对称
K
K
EA 0.35 l 1
1.35 0
1.35
0
0 0.35 1.35
0
K
EA
0
l 0.35
0.35
0 1 0.35 0.35
0.35 0.35
0 0
0.35
0.35
0
1
(6)解方程组求结点位移及约束反力
结构刚度方程为[K]{} ={F} ，代入数据得
1.35
对称
1
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
1
④
4x
图（a）
单元④，i=1，j=4，=0
1
对称
k 4
k k
4
11
4 41
k k
4
14
4 44
EA
0
l 1
0 0
1
0 0 0 0
单元⑤，i=4，j=2，=3/4, l5 2l
k 5
k k
5
44
5
24
2
4
k k
5
42
5
22
EA
l
2 4
2 4
2 4
2 4
e 3, 4,5
e 44
1.35
对称
0.35
1.35
0
0 1.35
K 0
EA
0
l 0.35
1 0.35
0.35 1
1.35 0
1.35
0.35 0.35 0
0 0.35 1.35
1
0 0.35 0.35 0 0 1.35
0
0
0.35 0.35 0 1 0.35 1.35
0
l EA
14.42
21.36
0
5.58
求约束反力 因为{F} =[K] {} ，即
X1
0
Y1 X4
Y4
EA
0
l 0.35
0.35
0 1 0.35 0.35
0.35 0.35
0 0
0.35u2 5.5
0.35
0
1
uv23 v3
149..49kN
1、静力凝聚法
这是一种比较适用于手算的边界条件引入方法。其过程是通过互
换行列的方法重新排列原始刚度方程，使得待求结点位移分量位于方
程中位移向量的前面，结点位移分量为已知的位于方程中位移向量的
后面。
如在例1中1、4号结点的位移分量已
知为0，2、3号结点的位移分量为待求量。 调整前的原始结构刚度方程为
y 1
10
(7)求各杆的杆端力
单元①，i=1，j=2，=/2
1 u1
v1
u2
v2 T
l 0
EA
0
26.94 14.42T
F1 T1 k1 1
0
对称
k 1
EA 0
1
l 0 0 0
0 1 0
1
y ②
2 ⑥
①⑤
1
④
3 ③ 4x
图（a）
cos sin 0
0
0 1 0 0
T
1
s in
则把调整后的原始刚度矩阵分块后可得
F F
K K
K
K
上式可得 F K
4 T
y 1
M2 Y2
①2 1
X2
x
Y3
②
2 3
M3 X3
③
4 3
图10-6 例1题图
对于例1
K
K K
22 32
K 23 K 33
k
1 22
k
k