优化设计-曲柄摇杆机构优化设计
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ri 2 l42 l12 ri 2 24 i arccos[ ] arccos[ ] 2l4ri 10ri
ri l12 l42 2l1l4 cos i 26 10cos i
曲柄摇杆机构的设计
3. 约束条件的确定
① 曲柄存在条件
l1≤l2；l1≤l3；l1+l4≤l2+l3 l2≤（l4－l1）＋l3；l3≤（l4－l1）＋l2 ② 曲柄与机架共线位置时的传动角（连杆BC 和摇杆CD 之 间的夹角） 最小传动角γmin=min∠BCD≥45° 最大传动角γmax=max∠BCD≤135°
ADAMS仿真
检验优化结果
图4 为测量曲柄旋转角和传动角位移图，它表 明主动杆AB 由φ0=26.4738°转到φ0=386.4738°， 杆AB 可以旋转一周，进而说明设计的曲柄正确。 当曲柄旋转一周，传动角的变化范围70°≤γ≤135° ，所以满足传动角45°≤γ≤135°设计要求。
图3 曲柄转角与传动角位移图
用MATLAB 工具箱优化计算结果
④ 运行结果
连杆机构实现函数优化设计最优解 连杆相对长度 a=4.1286 摇杆相对长度 b=2.3226 输出角平方误差之和 f*=0.0076 最优点的性能约束函数值 最小传动角约束函数值 g1*=-7.1214 最大传动角约束函数值 g2*=-0.0000
用MATLAB 工具箱优化计算结果
用MATLAB 工具箱优化计算结果
将输入角分成30 等分（m=30），经过转化为标准形式得
到曲柄摇杆机构优化设计标准数学模型为:
min f ( x) (Ei i ) 2
i 1
m
x [l2 l3 ]T [ x1 x2 ]T
g1 ( x) 1 x1 0 g 2 ( x) 1 x2 0 g ( x) 6 x x 0 3 1 2 s.t. g 4 ( x) x1 x2 4 0 g ( x) x x 4 0 2 1 5 g 6 ( x) x12 x2 2 1.414 x1 x2 16 0 2 2 g 7 ( x) 36 x1 x2 1.414 x1 x2 0
用MATLAB 工具箱优化计算结果
优化方法
此问题为非线性约束优化问题，运用MATLAB 优化工具箱的命令函数fmincon 来处理有约束的非 线性多元函数最小化优化问题。
用MATLAB 工具箱优化计算结果
编写程序求解
① 目标函数M 文件optimfun.m
function f=optimfun（x） s=30；qb=1；jj=5；fx=0； fa0=acos（（（qb+x（1））^2-x（2）^2+jj^2）/（2*（qb+x （1））*jj））； %曲柄初始角 pu0=acos（（（qb+x（1））^2-x（2）^2-jj^2）/（2*x（2） *jj））； %摇杆初始角 for i=1:s fai=fa0+0.5*pi*i/s；
设计时，可在给定最大和最小传动角的前 提下，当曲柄从φ0 转到φ0+90°时，要求摇 杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律f
（φ）。这里假设要求：
2 E =f ()=0 ( 0 )2 3
曲柄摇杆机构的设计
1. 设计变量的确定
① 决定机构尺寸的各杆长度l1、l2、l3 和l4 ② 当摇杆按已知运动规律开始运行时，曲柄所处的 位置角φ0
曲柄摇杆机构的设计
由上面的分析可以算出
l22 l32 (l4 l1 )2 x12 x22 16 rmin arccos[ ]( ) 45 2l2l3 2x1x2
l22 l32 (l1 l4 )2 x12 x22 36 rmin arccos[ ]( ) 135 2l2l3 2x1x2
图4 摇杆实际
由图可知当曲柄旋转90°时，设计的摇杆角位 移与期望角位移运动规律十分接近，其误差曲线如 图6 所示，其中横坐标为曲柄的旋转角度，纵坐标 为连杆的误差角度，由图可知摇杆的最大误差角度 为2.2971°，平均误差角度为0.3685°。
ADAMS仿真
i 1 m
式中 Ei -期望输出角；m-输出角的等分数；
i -实际输出角
曲柄摇杆机构的设计
由图1可知
i i (0 i ) i i i ( i 2 )
ri 2 l32 l22 ri 2 x22 x12 i arccos[ ] arccos[ ] 2l3ri 2x2ri
% 使用多维约束优化命令 fmincon [x,fn] = fmincon(@optimfun,x0,a,b,[],[],lb,ub,@confun); disp '连杆机构实现函数优化设计最优解' fprintf('连杆相对长度 a=%3.4f \n',x(1)) fprintf('摇杆相对长度 b=%3.4f \n',x(2)) fprintf('输出角平方误差之和 f*=%3.4f \n',fn) % 计算最优点x*的性能约束函数值 g = confun(x); disp '最优点的性能约束函数值' fprintf('最小传动角约束函数值 g1*=%3.4f\n',g(1)) fprintf('最大传动角约束函数值 g2*=%3.4f\n',g(2)) exitflag output
ADAMS仿真
检验优化结果
因为摇杆的期望旋转角度运动规律为 ，由四杆杆长可知当曲柄的初始角φ0=26.4738°时 ，摇杆的初始角为Φ0＝100.1474°，当曲柄移动到 φ=φ0+90°=116.4738°时，根据前面公式可知摇杆 移动到的角度为Φ=130.1474°。图5 为曲柄旋角位 移和仿真设计摇杆角位移与期望摇杆角位移图，其 中点划线代表曲柄角位移、虚线代表仿真设计连杆 的角位移，实线代表连杆期望角位移。
ADAMS仿真 检验优化结果
由上面的设计可设置曲柄摇杆机构的四杆长度为 ：l1=100mm、l2=412.86mm、l3=232.26mm、 l4=500mm，设曲柄初始角为φ0=26.4738°，则知摇 杆的初始角Φ0=100.1474°，在Adams 中所建的模 型如图3 所示。
图2 Adams中的曲柄摇杆建模 LOGO
用MATLAB 工具箱优化计算结果
pui=pu0+2*（fai-fa0）^2/（3*pi）； %摇杆期望角 ri=sqrt（qb^2+jj^2-2*qb*jj*cos（fai））； alfi=acos（（ri^2+x（2）^2-x（1）^2）/（2*ri*x（2）））； bati=acos（（ri^2+jj^2-qb^2）/（2*ri*jj））； if fai>0 & fai<=pi psi=pi-alfi-bati； elseif fai>pi & fai<=2*pi psi=pi-alfi+bati； end fx=fx+（pui-psi）^2； end f=fx； %输出角平分误差之和
exitflag = 5 output = iterations: 12 funcCount: 40 lssteplength: 1 stepsize: 1.4087e-004 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, linesearch' firstorderopt: 3.1020e-005 constrviolation: -3.2219e-006 message: [1x778 char]
用MATLAB 工具箱优化计算结果
② 编写非线性约束函数M 文件confun.m
function ［c，ceq］=confun（x） qb=1；jj=5；m=45*pi/180；n=135*pi/180； c（1）=x（1）^2+x（2）^2-（jj-qb）^2-2*x（1）*x（2） *cos（m）； %最小传动角约束 c（2）=-x（1）^2-x（2）^2+（jj+qb）^2+2*x（1）*x（2） *cos（n）； %最大传动角约束 ceq=［］；
即x=［l1 l2 l3 l4 φ0］T
曲柄摇杆机构的设计
设定曲柄长度l1=1.0，而在这里可给定l4=5.0，其 他杆长则按比例取为l1 的倍数。若取曲柄的初始位 置角为极位角，则φ 及相应的摇杆l 位置角Φ均为 杆长的函数，其关系式为
(l1 l2 )2 l42 l32 (1 l2 )2 25 l32 0 arccos[ ] arccos[ ] 2(l1 l2 )l4 10(1 l2 )
检验优化结果
图4
摇杆实际转角与期望转角对比图
用MATLAB 工具箱优化计算结果
③ 优化设计主程序
% 铰链四杆机构实现函数的优化设计的主程序 % 调用目标函数optimfun和非线性约束函数confun x0 = [6;4]; %设计变量的初始值 qb = 1;jj = 5; % 设计变量的下界与上界 lb = [1;1]; ub = []; a = [-1 -1;1 -1;-1 1]; b = [-6;4;4];
(l1 l2 )2 l42 l32 (1 l2 )2 25 l32 0 arccos[ ] arccos[ ] 2l3l4 10l3
曲柄摇杆机构的设计
2. 目标函数的确定
根据已知的运动规律与机构实际运动规律之间的 偏差最小为指标来建立，即
min f ( x) (Ei i ) 2
曲柄摇杆机构 优化设计
LOGO
设计目标
使曲柄摇杆机构满足预定的运动规
律要求
设计思路
期望函数设计思想
要求曲柄与摇杆转角之间按照期望函数的 关系运动
期望函数 Φ＝f（φ）
实际的函数 再现函数 Φ＝F（φ） 在设计时应使机构再现函数尽可能逼近所
要求的期望函数
曲柄摇杆机构的设计
曲柄摇杆机构简图
曲柄摇杆机构的设计
ri l12 l42 2l1l4 cos i 26 10cos i
曲柄摇杆机构的设计
3. 约束条件的确定
① 曲柄存在条件
l1≤l2；l1≤l3；l1+l4≤l2+l3 l2≤（l4－l1）＋l3；l3≤（l4－l1）＋l2 ② 曲柄与机架共线位置时的传动角（连杆BC 和摇杆CD 之 间的夹角） 最小传动角γmin=min∠BCD≥45° 最大传动角γmax=max∠BCD≤135°
ADAMS仿真
检验优化结果
图4 为测量曲柄旋转角和传动角位移图，它表 明主动杆AB 由φ0=26.4738°转到φ0=386.4738°， 杆AB 可以旋转一周，进而说明设计的曲柄正确。 当曲柄旋转一周，传动角的变化范围70°≤γ≤135° ，所以满足传动角45°≤γ≤135°设计要求。
图3 曲柄转角与传动角位移图
用MATLAB 工具箱优化计算结果
④ 运行结果
连杆机构实现函数优化设计最优解 连杆相对长度 a=4.1286 摇杆相对长度 b=2.3226 输出角平方误差之和 f*=0.0076 最优点的性能约束函数值 最小传动角约束函数值 g1*=-7.1214 最大传动角约束函数值 g2*=-0.0000
用MATLAB 工具箱优化计算结果
用MATLAB 工具箱优化计算结果
将输入角分成30 等分（m=30），经过转化为标准形式得
到曲柄摇杆机构优化设计标准数学模型为:
min f ( x) (Ei i ) 2
i 1
m
x [l2 l3 ]T [ x1 x2 ]T
g1 ( x) 1 x1 0 g 2 ( x) 1 x2 0 g ( x) 6 x x 0 3 1 2 s.t. g 4 ( x) x1 x2 4 0 g ( x) x x 4 0 2 1 5 g 6 ( x) x12 x2 2 1.414 x1 x2 16 0 2 2 g 7 ( x) 36 x1 x2 1.414 x1 x2 0
用MATLAB 工具箱优化计算结果
优化方法
此问题为非线性约束优化问题，运用MATLAB 优化工具箱的命令函数fmincon 来处理有约束的非 线性多元函数最小化优化问题。
用MATLAB 工具箱优化计算结果
编写程序求解
① 目标函数M 文件optimfun.m
function f=optimfun（x） s=30；qb=1；jj=5；fx=0； fa0=acos（（（qb+x（1））^2-x（2）^2+jj^2）/（2*（qb+x （1））*jj））； %曲柄初始角 pu0=acos（（（qb+x（1））^2-x（2）^2-jj^2）/（2*x（2） *jj））； %摇杆初始角 for i=1:s fai=fa0+0.5*pi*i/s；
设计时，可在给定最大和最小传动角的前 提下，当曲柄从φ0 转到φ0+90°时，要求摇 杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律f
（φ）。这里假设要求：
2 E =f ()=0 ( 0 )2 3
曲柄摇杆机构的设计
1. 设计变量的确定
① 决定机构尺寸的各杆长度l1、l2、l3 和l4 ② 当摇杆按已知运动规律开始运行时，曲柄所处的 位置角φ0
曲柄摇杆机构的设计
由上面的分析可以算出
l22 l32 (l4 l1 )2 x12 x22 16 rmin arccos[ ]( ) 45 2l2l3 2x1x2
l22 l32 (l1 l4 )2 x12 x22 36 rmin arccos[ ]( ) 135 2l2l3 2x1x2
图4 摇杆实际
由图可知当曲柄旋转90°时，设计的摇杆角位 移与期望角位移运动规律十分接近，其误差曲线如 图6 所示，其中横坐标为曲柄的旋转角度，纵坐标 为连杆的误差角度，由图可知摇杆的最大误差角度 为2.2971°，平均误差角度为0.3685°。
ADAMS仿真
i 1 m
式中 Ei -期望输出角；m-输出角的等分数；
i -实际输出角
曲柄摇杆机构的设计
由图1可知
i i (0 i ) i i i ( i 2 )
ri 2 l32 l22 ri 2 x22 x12 i arccos[ ] arccos[ ] 2l3ri 2x2ri
% 使用多维约束优化命令 fmincon [x,fn] = fmincon(@optimfun,x0,a,b,[],[],lb,ub,@confun); disp '连杆机构实现函数优化设计最优解' fprintf('连杆相对长度 a=%3.4f \n',x(1)) fprintf('摇杆相对长度 b=%3.4f \n',x(2)) fprintf('输出角平方误差之和 f*=%3.4f \n',fn) % 计算最优点x*的性能约束函数值 g = confun(x); disp '最优点的性能约束函数值' fprintf('最小传动角约束函数值 g1*=%3.4f\n',g(1)) fprintf('最大传动角约束函数值 g2*=%3.4f\n',g(2)) exitflag output
ADAMS仿真
检验优化结果
因为摇杆的期望旋转角度运动规律为 ，由四杆杆长可知当曲柄的初始角φ0=26.4738°时 ，摇杆的初始角为Φ0＝100.1474°，当曲柄移动到 φ=φ0+90°=116.4738°时，根据前面公式可知摇杆 移动到的角度为Φ=130.1474°。图5 为曲柄旋角位 移和仿真设计摇杆角位移与期望摇杆角位移图，其 中点划线代表曲柄角位移、虚线代表仿真设计连杆 的角位移，实线代表连杆期望角位移。
ADAMS仿真 检验优化结果
由上面的设计可设置曲柄摇杆机构的四杆长度为 ：l1=100mm、l2=412.86mm、l3=232.26mm、 l4=500mm，设曲柄初始角为φ0=26.4738°，则知摇 杆的初始角Φ0=100.1474°，在Adams 中所建的模 型如图3 所示。
图2 Adams中的曲柄摇杆建模 LOGO
用MATLAB 工具箱优化计算结果
pui=pu0+2*（fai-fa0）^2/（3*pi）； %摇杆期望角 ri=sqrt（qb^2+jj^2-2*qb*jj*cos（fai））； alfi=acos（（ri^2+x（2）^2-x（1）^2）/（2*ri*x（2）））； bati=acos（（ri^2+jj^2-qb^2）/（2*ri*jj））； if fai>0 & fai<=pi psi=pi-alfi-bati； elseif fai>pi & fai<=2*pi psi=pi-alfi+bati； end fx=fx+（pui-psi）^2； end f=fx； %输出角平分误差之和
exitflag = 5 output = iterations: 12 funcCount: 40 lssteplength: 1 stepsize: 1.4087e-004 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, linesearch' firstorderopt: 3.1020e-005 constrviolation: -3.2219e-006 message: [1x778 char]
用MATLAB 工具箱优化计算结果
② 编写非线性约束函数M 文件confun.m
function ［c，ceq］=confun（x） qb=1；jj=5；m=45*pi/180；n=135*pi/180； c（1）=x（1）^2+x（2）^2-（jj-qb）^2-2*x（1）*x（2） *cos（m）； %最小传动角约束 c（2）=-x（1）^2-x（2）^2+（jj+qb）^2+2*x（1）*x（2） *cos（n）； %最大传动角约束 ceq=［］；
即x=［l1 l2 l3 l4 φ0］T
曲柄摇杆机构的设计
设定曲柄长度l1=1.0，而在这里可给定l4=5.0，其 他杆长则按比例取为l1 的倍数。若取曲柄的初始位 置角为极位角，则φ 及相应的摇杆l 位置角Φ均为 杆长的函数，其关系式为
(l1 l2 )2 l42 l32 (1 l2 )2 25 l32 0 arccos[ ] arccos[ ] 2(l1 l2 )l4 10(1 l2 )
检验优化结果
图4
摇杆实际转角与期望转角对比图
用MATLAB 工具箱优化计算结果
③ 优化设计主程序
% 铰链四杆机构实现函数的优化设计的主程序 % 调用目标函数optimfun和非线性约束函数confun x0 = [6;4]; %设计变量的初始值 qb = 1;jj = 5; % 设计变量的下界与上界 lb = [1;1]; ub = []; a = [-1 -1;1 -1;-1 1]; b = [-6;4;4];
(l1 l2 )2 l42 l32 (1 l2 )2 25 l32 0 arccos[ ] arccos[ ] 2l3l4 10l3
曲柄摇杆机构的设计
2. 目标函数的确定
根据已知的运动规律与机构实际运动规律之间的 偏差最小为指标来建立，即
min f ( x) (Ei i ) 2
曲柄摇杆机构 优化设计
LOGO
设计目标
使曲柄摇杆机构满足预定的运动规
律要求
设计思路
期望函数设计思想
要求曲柄与摇杆转角之间按照期望函数的 关系运动
期望函数 Φ＝f（φ）
实际的函数 再现函数 Φ＝F（φ） 在设计时应使机构再现函数尽可能逼近所
要求的期望函数
曲柄摇杆机构的设计
曲柄摇杆机构简图
曲柄摇杆机构的设计