非平稳时间序列的随机分析

d
xt t t
tj j (B)at
j0
式中，d ；1,2,,d为常数系数；{at} 为一个
零均值白噪声序列，(B)为算子多项式。
由此可以看出，根据Cramer分解定理，理论 上，任何一个序列，都可以利用适当阶数的差分提 取其确定性信息。也就是说，从理论上讲，任何一 个非平稳序列，通过适当阶差分都可以转化为平稳 序列。
任何一个时间序列 xt 都可以分解为由多项式
决定的确定性趋势成分与平稳的零均值误差成分之
和。即
xt t t
d
tj j (B)at
j0
式中， d ；1,2,,d 为常数系数； {at }为一个
零均值白噪声序列，(B) 为算子多项式。
d
E(xt) tj j
j0
反映 {xt } 受到的确定性的影响。 t (B)at
kt
t
例如，若
xt a bt t
则对序列 xt 做一阶差分
xt b t
就提取了序列中的确定性趋势信息。
若 xt a bt ct2 t ，则对 xt 做二阶差分
2 x 2c 2
t
t
即可提取序列中的确定性趋势信息。
第一节 时间序列的分解
一、 Wold分解定理 1938年，Wold 在他的博士论文中研究了平 稳时间序列分解定理，他将平稳序列分解为两个 不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的， 另一个为随机性的，这种研究思路对于非平稳时 间序列也有借鉴意义。
Wold分解定理：对于任何离散平稳过程xt
它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，其 中一个为确定性的，另一个为随机性的，记作
一、差分运算的作用
为什么差分运算是提取序列趋势的有效工具 呢？因为非平稳时间序列通常会受到某些确定性 或不确定性因素的影响，导致时间序列各期值存 在时间上强的自相关性，从而导致序列有长记忆 性。而非平稳时间序列的趋势（包括确定性趋势 和随机性趋势）也是由序列的强自相关性所导致 的。
ห้องสมุดไป่ตู้
注意到时间序列 xt 的 d 阶差分为：
所以 2v(q) 的大小可以衡量历史信息对现 时值 yt 的预测精度， v(2q) 越小说明预测精度 越高，2v(q) 越大说明预测精度越差。
（1）如果 lqim2v(q) 0 ，说明序列发展的规律 性强，历史数据可以很好地预测将来，这时称序
列 yt是确定性序列。
（2）如果
lim
q
v(2q)
Var(
y
)t
，说明序列发展的
随机性强，历史信息对现值估计效果差，这时称
序列 yt是随机序列。
例如，对于平稳的ARMA(p,q) 模型：
xt
(B)
(B)
t
t , t T-------确定性平稳序列
((BB)),t
t
T
-------随机平稳序列
二、 Cramer分解定理
1961年，Cramer证明了如下结论：
差分运算EViews命令：
一阶差分： xt (1 B)xt ，EViews命令：d(x)
n阶差分： n x (1 B)n x ，EViews命令：d(x,n)
t
t
k步差分： x (1 Bk )x ， EViews命令：d(x,0,k)
kt
t
n次1阶差分和1次k步差分：
n x (1 B)n(1 Bk )x EViews命令：d(x,n,k)
前面我们介绍了平稳时间序列分析，对于 平稳时间序列来讲，我们有一套比较成熟的分 析理论方法。但是，在实际问题中我们碰到的 时间序列数据大多是非平稳序列。由于非平稳 序列的发展极不稳定，很难直接找到其变化发 展规律。因此，非平稳时间序列分析方法与平 稳时间序列会有很大的不同。
为了找到分析非平稳时间序列的理论与方 法，我们有必要了解非平稳序列的结构。下面 我们将介绍一个时间序列是怎样构成的，这方 面的工作是由Wold和Cramer给出的。
反映的是 {xt } 受到的随机影响。
对于一个随机时间序列来说，只要其确定性 的影响和随机影响这两方面中有一方面不稳定， 就会导致时间序列非平稳。
Cramer分解定理是现代时间序列分析理论 的灵魂，它表明任何一个序列的波动都可以视为 同时受到了确定性影响和随机性影响的作用。平 稳序列要求这两方面的影响都是稳定的，而非平 稳序列产生的机理就在于它所受到的影响至少有 一方面是不稳定的。
Cramer分解定理为我们研究非平稳时间序列 奠定了理论基础。
第二节 差分运算
对于随机非平稳序列来说，我们难以直接找 到其变化发展规律，主要是因为非平稳序列通常 都具有某种不稳定的趋势。所以，分析非平稳序 列的第一步是采取有效的手段提取其趋势使序列 变为平稳序列，然后利用平稳序列分析方法来处 理。提取序列趋势的工具主要是差分运算。
d
d xt (1)i Cdi xti
将上式改写为：
i0
d
xt
(1)
i
1C
i d
xt
i
d xt
i1
这个式子可以看成是 xt 关于 xt1 , xt2 ,, xtd 的一
个 d 阶自回归过程，其中d x 度量了自回归过程产 t
生的随机误差的大小。
所以，差分运算正是通过自回归的方式提取
了序列的确定性信息。
实际上，时间序列中的差分运算类似于函数的 求导运算，如果一个时间序列的确定性趋势是时间 的 d 次多项式，则 d 阶差分后的序列的确定性趋势 就一定是常数，将不会再蕴含时间趋势，从而实现 序列的平稳化。
d
d
tj
j k,
（ k 为常数）
j0
而由Cramer分解定理知，方差齐性非平稳序 列都可以分解为如下形式：
yt 01yt q 2yt q1 vt
式中，vt 为残差序列。如果我们基于历史信息： ytq , ytq1, 预测 yt 的值，则 vt 可以理解为预测
误差，记 Var(v ) 2(q) ，显然有 2(q) Var( y ) ，
t
v
v
t
且滞后期 q 越大，意味着预测的步长越长，预测
的误差就越大，即2v(q) 越大。
xt Vt t
式中，Vt 为确定性序列，t 为随机性序列，且
满足：
t jt j
j0
（1） 0 1,
2j
j0
（2） WN(0,2)
t
（3） cov(Vt,s) 0, t s
这里我们解释一下什么是确定性序列，什么 是随机序列。
设 yt 是任一序列，将序列 yt 关于滞后 q 期 之前的序列 ytq , ytq1, 进行回归，即