人工智能第2章(知识表示方法3-谓词逻辑)

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{t1λ/x1 ,…, tiλ/xi ,…, tnλ/xn, s1/y1, …, sn/ym }
其中,若yj 是 {x1,…,xn} 之一者消去,对于任何 tjλ=xj 者消去,并记成θλ。
如何求 tiλ : λ={s1/y1 , … , sm/ym}
如果 ti 出现 {y1, …., ym}中的变量 yi , 则用其对 应的项 si 来代替。
例:任何整数或者为正或者为负。
数学表达:对于所有的 x,如果 x 是整数,则 x 或
者为正、或者为负。
记作: I(x):“ x 是整数”。
P(x):“ x 是正数”。
N(x):“ x 是负数”。
谓词公式:
(x)(I(x) (P(x) ∨ N(x)))
2、合适公式的性质 如果 P 和 Q 是合适公式,则由这两个合适公 式构成的合适公式的真值表与前面介绍的真值
ti 是与 vi 不同的项。
例或例子的定义:
设 θ ={ t1/v1 , …, tn/vn }
为一个置换,E是一个原子谓词公式。则Eθ 表
示将E中的 vi 同时用 ti(i=1,…,n)代入后所得 到的结果,Eθ 称为E的一个例子。
例 :表达式(原子谓词公式)P[x,f(y),B]的四个置
换及其对应的四个例子 (B是常量) P[x,f(y),B] s1={z/x, w/y} s2={A/y} P[x, f(y), B]s1=P[z, f(w), B] P[x, f(y), B]s2=P[x, f(A), B]
复合命题。
五个联结词:
① “~” 表示 “非”
复合命题~P为真,当且仅当P为假。
② “∧” 表示 “合取”
复合命题“P∧Q”为真,当且仅当P和Q都为真。
③ “∨” 表示 “析取” 复合命题“P∨Q”为真,当且仅当P、Q两者之 一为真。
④ “” 表示 “蕴含” 复合命题“PQ”为假,当且仅当P为真且Q为假。
如果今天不下雨,我就去你家 命题逻辑 今天没有下雨
﹃P→Q
﹃P Q
我去了你家
命题逻辑核心思想:原子命题不可再分 凡人都会死
x(Man(x)→Mortal(x)) Man(Socrates) Mortal(Socrates)
谓词逻辑
苏格拉底是人
苏格拉底会死
2.3 谓词逻辑法 数理逻辑(符号逻辑)是用数学方法研究形式逻 辑的一个分支。它通过符号系统来表达客观对象 以及相关的逻辑推理。常用的是命题逻辑和谓
⑤ “” 表示 “等价” 复合命题“PQ”为真,当且仅当P、Q同时为真、 或者同时为假。 联接词的优先顺序:非~ 、合取∧ 、析取∨ 、 蕴含 、等价
注:可以用括号表示优先级
真值表
P F F Q F T ~P T T
P∧Q P∨Q PQ PQ
F F
F T
T T
T F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
①原子(谓词)公式是合适公式。
②若 A 是合适公式,则 ~A 也是合适公式。 ③若 A 和 B 是合适公式,则 A∧B 、A∨B 、 AB 、AB 也是合适公式。
④若 A 是合适公式, x 为 A 的自由变元(变量),
则(x)A 和(x)A 都是合适公式。 ⑤只有按上述规则求得的公式才是合适公式。
房间号 颜色 国籍 香烟
1
2
3 英国人
PALLMALL
4
5
挪威人 丹麦人
DUNHILL 混合烟
德国人 瑞典人
PRINCE BLUEMASTER
饮料 宠物
矿泉水 猫
茶 马
牛奶 鸟
咖啡 鱼
啤酒 狗
推理的一般形式
事实一,事实二,… 如果事实一,那么结论一; 如果事实二,那么结论二;… 得到:结论一,结论二,… 已知:
表相同。
如果两个合适公式的真值表相同,则我们称这
两个合适公式是等价的,可以用“”来表示。
对于命题合适公式和谓词合适公式有下列等价关系: ①否定之否定:
~(~P) 等价于 P
② P∨Q 等价于 ~PQ ③狄.摩根定律 ~(P∨Q)等价于 ~P∧~Q ~(P∧Q)等价于 ~P∨~Q
④分配律 P∧(Q∨R) 等价于 (P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R) 等价于 (P∨Q)∧(P∨R)




Artificial Intelligence (AI)
第2章 知识表示方法
2.1 状态空间法
2.2 问题归约法
2.3 谓词逻辑法
五房间问题:
1、有5栋5种颜色的房子 2、每一位房子的主人国籍都不同 3、这5个人只喝一个牌子的饮料,只抽一个 牌子的香烟,只养一种宠物 4、没有人有相同的宠物,抽相同牌子的香 烟,喝相同的饮料
T
F
T
F
T
命题变元:用符号P、Q等表示的不具有固定、具
体含义的命题。它可以表示具有“真”、“假”含
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义的各种命题。
命题变元可以利用联结词构成所谓的合适公式。
合适公式的定义 ①若 P 为原子命题,则 P 为合适公式,称为原子公
式。
②若P是合适公式,则~P也是一个合适公式。
③若P和Q是合适公式,则P∧Q、 P∨Q 、PQ 、 PQ都是合适公式。 ④经过有限次使用规则1、2、3,得到的由原子公 式、联结词和园括号所组成的符号串,也是合适 公式。
⑩ (x)P(x) 等价于 (y)P(y)
(x)P(x) 等价于 (y)P(y)
注释:这两个关系说明,在一个量化的表达式中 的约束变量是一类虚元,它们可以用任何不在表
达式中出现的其它变量来代替。
2.3.3 置换与合一
1、置换
置换的定义:形如
{ t1 / v 1 , … , tn / v n } 的集合,称为一个置换,其中 vi 是不同的变量,
例:
雪是白的。(陈述句,T) 雪是蓝的。(陈述句,F) 雪是黑的。(陈述句,F) 他是学生。(陈述句,他泛指,无法判断真假)
你今天上课没有?(疑问句)
去北校区,请坐校车!(祈使句)
命题逻辑是研究命题及命题之间关系的符
号逻辑系统。 在命题逻辑中,表示单一意义的命题,称之为原
子命题。
原子命题通过 “联结词” 构成
② 存在量词 ,记作“ x”,含义是 “存在某个
x” 、“有一个x” 或者 “某些x”。 Exist
E
例1:“所有的机器人都是灰色的”,用谓词逻辑
可以表示成:
(x)[ROBOT(x) COLOR(x,gray)]
例2: “一号房间里有一个物体”,可以表示成 (x)INROOM(x , r1)
s3={q(z)/x, A/y}
s4={c/x, A/y}
P[x, f(y), B]s3=P[q(z), f(A), B]
P[x, f(y), B]s4=P[c, f(A), B]
置 换 的 合 成 : 设 θ={t1/x1,
换:
…,tn/xn} 和 λ=
{s1/y1, …,sm/ym}是两个置换,则θ和λ的合成是如下置
作为一个不可分割的整体。
例如:雪是黑的 命题逻辑具有较大的局限性,不合适于表达 比较复杂的问题。
例:
所有科学都是有用的(假设1)。
数理逻辑是科学(假设2)。 所以,数理逻辑是有用的(结论)。 很明显,我们无法用两个假设推断出结论。
谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。它将一个原
子命题分解成客体和谓词两个组成部分。 例如: 雪 是黑的
谁养鱼?
已知条件:
1、英国人住在红房子里 2、瑞典人养了一条狗 3、丹麦人喝茶 4、绿房子在白房子左边 5、绿房子主人喝咖啡 6、抽PALLMALL烟的人养了一只鸟 7、黄房子主人抽DUNHILL烟 8、住在中间那间房子的人喝牛奶 9、挪威人住在第一间房子 10、抽混合烟的人住在养猫人的旁边 11、养马人住在DUNHILL烟的人旁边 12、抽BLUEMASTER烟的人喝啤酒 13、德国人抽PRINCE烟 14、挪威人住在蓝房子旁边 15、抽混合烟的人的邻居喝矿泉水
例: θ= {t1/x1 , t2/x2}={f(y)/x , z/y} λ= {s1/y1 , s2/y2 , s3/y3} = {a/x , b/y , y/z}
2、瑞典人养了一条狗 7 DUNHILL烟 4、黄房子主人抽 、绿房子在白房子左边
3 3 、丹麦人喝茶 1、丹麦人喝茶 、英国人住在红房子里
12 、抽 烟的人喝啤酒 12 、抽BLUEMASTER BLUEMASTER 烟的人喝啤酒 5 11、绿房子主人喝咖啡 、养马人住在 DUNHILL 烟的人旁边 13、德国人抽PRINCE烟
③其它表达式都不是原子公式
原子公式的例子 1、原子公式:P(原子命题)
2、项:x, a, f(x, a),谓词:P
原子公式:P(x, a, f(x,a))
2、连词和量词
联结词(连词)就是命题逻辑中的五个,它们的
含义也是一样的。
两个量词:
①全称量词,记作“x”,含义是 “对每一个x” All A 或“对一切x”。
如果将事实和规则抽象出来,不涉及具体内容,借 助一些符号来表示,推理过程可形式化为: P:某已知事实 P→Q:如果P,则Q 结论:Q
自然语言不适合计算机推理
如:小王不方便接电话,他方便去了。 需要一种无歧义,方便存储和表达的形式化符号表征体系
经典逻辑: 命题逻辑、谓词逻辑 逻辑 非经典逻辑: 不确定性推理、非单调性推理
谓词是指个体(客体)所具有的性质或者若干个体
之间的关系。用大写字母来表示。
个体是可以具体的(如: 小张、3、5)也可以是抽 象的(如: x, y)。
例: 小明是学生, A 表示是“是学生”, x 表示“小
明”,记作A(x)。
x大于y,G表示“大于”,记作G(x, y)。
论域:由个体组成的集合。
(个体)变量:定义在某一个论域上的变量。用 x, y, z 来表示。
函数(或函词):以个体为变量,以个体为值的
函数。一般用小写字母来表示,例如 f(x), f(x,a)。
如果谓词有 n 个变量,称之为 n 元谓词,并约定
0 元谓词就是命题(谓词的特例)。
如果函数有 n 个个体,称之为 n 元函数,并约定 0 元函数就是常量。常量习惯上用小写字母来表 示,如a, b, c。
我们称 x 是被量化了的变量,称为约束变量。 否则称之为自由变量。
一阶谓词 :只允许对 变量 施加 量词 ,不允许对
谓词和函数施加量词。
2.3.2 谓词公式
1、谓词公式的定义 利用连词和量词可以将原子(谓词)公式组成复
合谓词公式,称之为分子谓词公式、谓词合适公
式、谓词公式、合适公式。
(谓词)合适公式 的(递归)定义:
项的定义:
①常量是项 ②变量是项
③如果 f 是n元函数,且t1 ,…, tn(n≥1)是项,则
f (t1 ,…, tn)也是项 ④所有的项都必须是有限次应用上述规则产生的
项的例子:
常量:a
变量:x 函数:f(x,a)
g(f(x,a))
原子(谓词)公式的(递归)定义:
①原子命题是原子公式
②如果t1,…,tn(n≥1)是项,P是谓词,则P(t1,…,tn) 是原子公式
客体
谓词
本课程主要介绍一阶谓词逻辑。
2.3.1 谓词演算
1、语法与语义
谓词逻辑的基本组成部分
谓词 变量 函数 常量 圆括号、方括号、花括号和逗号
例 “机器人(Robot)在第一个房间(Room1)内”, 可以表示为: INROOM(ROBOT,r1) 其中 INROOM是谓词 ROBOT和r1是常量
⑤交换律
P∧Q 等价于 Q∧P P∨Q 等价于 Q∨P
⑥结合律
(P∧Q)∧R 等价于 P∧(Q∧R) (P∨Q)∨R 等价于 P∨(Q∨R) ⑦逆否律 PQ 等价于 ~Q~P
说明:上述等价关系对命题合适公式、谓词合适
公式都成立。
对于谓词合适公式有下列等价关系:

~(x)P(x) 等价于 (x)[~P(x)] ~(x)P(x) 等价于 (x)[~P(x)] ⑨ (x)[P(x)∧Q(x)] 等价于 (x)P(x)∧(x)Q(x) (x)[P(x)∨Q(x)] 等价于 (x)P(x) ∨(x)Q(x)
词逻辑
谓词逻辑是数理逻辑的基本形式,是基于谓词
分析的一种形式化(数学)语言
人工智能中的谓词逻辑法是指用一阶谓词
来描述问题求解和定理证明(限于本课程)
2.3.0 命题逻辑的复习 1、命题逻辑的基本概念
命题
是能够判断真或假的陈述句
通常用大写字母来表示,如A, B, P, Q等 命题的真假值一般用 T 或 F 来表示
对于合适公式,规定下列运算优先级: ① 逻辑联结词的运算优先次序为:
~、∧、 ∨、 、
② 同级联结词按出现顺序优先运算
在命题逻辑中,主要研究推理的有效性。
即:能否根据一些合适公式(前提)推导出新的
合适公式(结论)。
一些合适公式 (前提条件)

合适公式 (结论)
在命题逻辑中,最基本的单元是命题,它是
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