椭圆型方程的有限差分法4

i1 xi1
1 2
N i1
(
ui
ui1 h
)2
h
N i1
[ui1
xi xi x h x i 1
f ( x )dx
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ui
xi x xi1
x i1
h
f ( x )dx ].
令J
(u)对u
的
j
偏
导
数
等
于0，
得
uj
uj1 h
uj1 uj h
h j
0
或
u j 1
2uj h2
du W ( x ) , dx p ( x )
在沿 [ x i 1 , x i ]积分，得
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u i u i 1
x i W ( x ) dx , xi1 p ( x )
利
用
中
矩
形
公
式W， i1 得ai 2
ui
ui1 hi
,
(2.16)
1
ai
[ hi
xi dx ]1. xi1 p(x)
误差函数
e
的
h
问
题
.
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2020/4/16
2020/4/16
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取相邻
节x点i1,
xi的 中 点xi1 2
1 2 (xi1
xi )(i
1,2,
, N)，
称 为 半 整 数 点 ， 则点由 节
a x0 x1 x3 xi1 xN1 xN b,
2
2
则
W ( x i 1 ) W ( x i 1 )
2
2
x
i
1 2
qudx
x i 1
2
fdx x i 1 2
, ( 2 .14 )
x i 1
2
考虑到 p ( x )允许有间断点，由
( 2 .15 ) 进一步差分
化是不合适的。但“热
流量” W ( x )恒连续 ,
故将 ( 2 .15 )改写成
u(xi1) u(xi1)
hi hi1
du [ dx]i
hi
hi1 2
d 2u [dx2 ]i
o(h2 ),
(2.3)
其 中[ ]i 表 示 括 号 内 函xi点 数取 值 。
p(xi1)u(xi 2
)u(xi1) hi
du [pdx]i12
h2i24[pdd3xu3 ]i12
o(h3),
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2 hi1
xi1
2
f
( x)d x.
xi1
2
(2.21)
如 果p, q系 数 及 右f端 光 滑 ， 则 可 用 中 矩式形 公 计 算(2.17),(2.19)和(2.21)， 从 而
ai
di
pi1 2
qi
p(xi1 ), 2
q(xi ),
i fi f (xi ),
也可用梯形公式，此时
(2.17)
又
xi12qudxhi xi1
hi1 2
diui
,
2
(2.18)
将(2.16),(2.18)代到(2.14)，即得守恒型差分方程
[ai1
ui1 ui hi1
ai
ui
ui1 ] hi
1 2 (hi
hi1)diui ,
1 2 (hi
hi1)i ,
(2.20)
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i
hi
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差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组：
Lhui
ui
1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
2
2
2
2
又 作 成[a,b]的 一 个 网 格 剖 分 ，对称偶为剖 分 。1图
中 打 “” 号 的 是 原 剖 分 节打点“， ” 号 的 是 对 偶
剖分节点。
a
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x x i 1 2
i 1 2
xi1 x i xi1
b
图1
其 次 用 差 商 代 替 微方商程将(2.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对 充 分 光 滑u的 ，解 由Taylo展 r 式 可 得
(
p
du dx )]i
hi1 12
hi
[
p
d 3u dx3 )]i
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o(h2 ),
(2.6)
令 p i 1 p ( x i 1 ), ri r ( x i ), q i q ( x i ), f i f ( x i ),
2
2
则由 ( 2.3 ), ( 2.6 )知 , 边值问题的解 u( x )满足方程：
du [pdx]i12
h2i24[pdd3xu3 ]i
o(h3),
(2.4)
p(xi1 2)u(xi1 h )i 1u(xi) [pd d]u x i1 2h 2 2i14 [pd d3u 3x ]io(h3),(2.5)
由(2.5)减(2.4)，并除以hi hi1 ，得 2
hi
2 hi1
[
p(
x
i
1
2
)
u( xi1 ) u( xi ) hi 1
p(
x
i
1
)
2
u( xi
) u( xi1 ) hi
hi
2 hi1
([ p
du
dx
]
i
1 2
[
Leabharlann Baidu
p
du
dx
]
i
1 2
)
hi1 hi 12
[p
d 3u dx3 ]i
o(h2 ),
[d dx
(
p
du dx )]i
hi1 4
hi
d2 [ dx2
并称如此节点为内.点以h表示网线x xi或y yj与的
交点集合，并称如此点 的为界点.令Gh Gh h,则Gh就 是代替域G G 的网点的集合.若内点(xi , yj )的四个
相邻点都属于Gh , 就称为正则内点;否则称为非正则内点。 现 在 假 定 (xi , yj )为 正 则 内 点 ，x,沿 y方 向 分 别
[ x i 1 , x i ]线性，
而在全区间 [a , b ]连续，则可通过节点
x
的
i
值
ui表为
u(x)
xi h
x ui1
x
xi1 h
ui ,
x i1
x
xi,
i 1,2, , N , u0 uN 0. 于是
1 N
J (u)
xi ( u ) 2 dx N
xi ufdx
2 i1 xi1
ui1 ui hi1
pi1 2
ui
ui1] hi
hi
ri hi1
[ui1
ui1]qiui
fi
i 1,,N1,
u0 ,uN ,
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(2.10)
(2.9)
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考虑守恒型微分方程：
特别于 ( 2 . 14 )取 [ x ( 1 ) , x ( 2 ) ]对偶单元 [ x i 1 , x i 1 ],
uj1
j,
j
1,2,
N
1,
(2.25)
u0 uN 0
其中 j
1 h2 [
xj x j1
(
x
x
j1 )
f
( x)dx
x j1 xj
(
x
j 1
x)
f
(
x)dx]
(2.25)就是逼近(2.24)的变分 差分格式。
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因为，不失一般边性值可条(将 2件 .26)a (2.26)b写 成 形 式
(2.22)
ai
2 pi1 pi pi1 pi
,
di
1
2
(q
i
1 2
q
i
1
),
2
fi
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1
2
(
f
i
1 2
f
i
1
),
2
(2.23)
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Lagrange插值多项式
先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题就是求一次多项 式
P1(x)=a0+a1x 使它满足条件
(1.13 )
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引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程；
Lhei e0
e
R
N
i(
u) 0
i 1,2, , N 1, (1.16 )
于是收敛性及收敛速度 的估计问题。
就归结带通过右端 R i ( u（) 截断误差）估计
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
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当h足够小R，i (u)是h的二阶无穷小量。去若 Ri (舍 u)， 则得逼近方(1.程 1)的差分方程：
Lhui
ui1
fdx h210,
0
2 h1
x1
2
fdx,
x0
(2.31)
以(2.29)~(2.31)代(到 2.28)得
1u1h1u0 (0h21d0)u0(1h210)0,(2.32)
类 似 地 可 导 (2.2出 7)b的逼 差近 分 方 程 。
2020/4/16
2020/4/16
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以Gh (xi , yj )G 表示所有属于G内部的节点集合，
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1 微分方程离散(差分方程）
现 在 将 方(1程.1)在 节 点xi离 散 化 ， 为 此 ， 对光充滑
的解u，由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
Lhu( xi )
hi
2 hi1
[
p( xi1 2
)
u( xi1) u( xi ) hi1
p(
x
i
1 2
)
u(
x
i
)
u( hi
x
i1
)
]
hi
ri hi1
[u( xi1)
u ( x i 1 )]
qiu( xi )
fi Ri(u)
( 2 .7 )
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其中
1 d2 du
Ri
第四章椭圆型方程的有限差分法
§1 差分逼近的基本概念 §2 一维差分格式 §3 矩形网的差分格式 §4 三角网的差分格式 §5 极值原理
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1 区间的剖分
将区间 [a,b]分成n等分，分点为 xj aih i 0,1,2, N h(ba)/ N.于是我们得到I区[间 a,b]的一个 网格剖分x， j称为网格结点（节，点间）距 h称 为步长。
此格式称为中心差分式格。
注 意 : 方(程 1.8)的 个 数 等 于 x1,网 x2,格 ,xN 内 1的点 个 ,数 因 此 N 它 1是 阶 方 .程 组
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以 Ih表示网格内点
x1, x2 ,
,
x
N
的集合，
1
I表示网格内点
和界点 x0 a , x N b的集合。定义在 I（h 相应的 I h )上的函
类似的可得到
l1(x)=---xx-1---x-x-0-0---- ,
这样
P1(x)=---xx---0-x--x1-1-y0 + --xx-1----xx-0-0-y1 ,
2020/4/l106(x), l1(x)称为以x0 , x1 为节点的插值基函数。
假定
I
是
h
均
匀
网
格
( hi h ), u 在每一区间
p(a)u(a)0u(a)1, (2.27)a p(b)u(b)0u(b)1, (2.27)b
于 积 分 守 恒 形(2.式 14)中 取x(1) x0 a, x(2) x1 ,得
2
W(a)W(x1 )
x1
2
q
ud
x
x1
2
x0
x0
fdx,
2
而
W(a)
p(x) du dx
xa
(0u0
1),
故
P1(x0)=y0 , P1(x1)=y1 ,
令P1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于
l0(x0)=1,
l0(x1)=0,
l0(x0)=0,
l1(x1)=1.
这样l0(x)含有因子x-x1, 令 l0(x)=λ(x-x1), 再利用 l0(x0)=1确定其中的 系数，结果得到
l0(x)=---xx--0-x--x-1-1---- ,
数 uh ( x i ) ui 称为 I（h 相应的 I h )上的网函数 . 我们对 Ih上的网函数引进范数
uh
c
max
1 i N 1
u
i
,
(1.10 )
N 1
uh
2 0
hu
2 i
,
i1
(1.11 )
uh
2 1
uh
2
0
uh
2 1
,
(1.12 )
于是
uh
2 1
N h( ui
i1
ui1 ), h
2ui h2
ui1
qiui
fi ,(1.6)
式中qi q(xi ),fi f(xi ).称Ri(u)为差分方(1程 .6)的截
断误差。
截断误Ri差 (u)Lhu(xi)[Lu ]i (1.7) 所 以 Ri(u)是 用 差 分 Lh代 算替 子微 分 L所算 引子 起 的 截 断 (1.6误 )式差 关h， 的 于阶0(h为 2).
W(x1 )
2
x1
2
x0
qudx
(0u0
1)
x1
2
x0
fdx,
(2.28)
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由(2.26)得
W ( x1
2
)
1
u1 u0 h1
,
1
1 [
h1
x1 dx ]1,(2.29) x0 p(x)
又
x1
2
x0
qudx
h1 2
d0u0
,
d0
2 h1
x1
2
qd
x,
x0
(2.30)
x1 2 x0
(u)
(hi1
hi
)( 4
[dx2
(
p
dx)]i
1 [p 12
d 3u dx3 ]i
1[r 2
d 2u dx2 ]i
o(h2),
(2.8)
为 差 分 算L子h的 截 断 误 差 ， 舍Ri (去u)便 得 逼 近 边 值 问
题(2.1),(2.2)的 差 分 方 程 。
Lhui
hi
2
hi1
[pi1 2