圆锥曲线与方程知识总结

高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固

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知识要点梳理

知识点一：圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。

①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；

②e=1时轨迹是抛物线；

③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质

1．椭圆：

(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．

(2)标准方程

其中；椭圆的标准方程：，当焦点在轴上时，

其中；椭圆的标准方程：当焦点在轴上时，，

椭圆的的简单几何性质:

(3)

，范围：，

焦点，顶点，、，焦距＝，长轴长==，短轴长8

/ 1

2．双曲线

(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．

(2)标准方程

：，其中的标准方程当焦点在轴上时，双曲线

；

：，其准方程中轴在上时，双曲线的当焦点标

.

双曲线的简单几何性质 (3)

；范围：，

=，实轴长；，焦距＝，虚轴长焦点，顶点=

，准线方程是；离心率是

渐近线：.

3．抛物线

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(2)标准方程

，，四种形式：。，

抛物线标准方程 (3)的几何性质

，范围：，对称性：关于x轴对称

顶点：坐标原点

离心率： .

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/ 2

知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系

和椭圆的位置关系： Ax+By+C＝01．直线将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为Δ。

(1)若Δ＞0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点)；

(2)若Δ＝0，则直线和椭圆相切，有一个切点( 或一个公共点)；

(3)若Δ＜ 0，则直线和椭圆相离，无公共点．

和双曲线的位置关系：0 2．直线Ax+By+C＝将直线方程代入双曲线方程后化简方程

①若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；

②若为一元二次方程，则

(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；

(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；

(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．

注意：如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点

3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：

将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：

①若为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；

②若为一元二次方程，则

(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；

(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；

(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点。

注意：如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点

4．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：

，两点，与圆锥曲线相交于存在时，直线y＝kx+b 当直线的斜率 k

弦长公式：

弦长公式还可以写成：存在且不为零时, k 当

知识点四：曲线的方程和方程的曲线的关系

（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）一般地，在直角坐标系中，如果某曲线

的实数解建立了如下的关系：上的点与一个二元方程

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上所有点的坐标都是方程的解；）曲线（1

上（2的解为坐标的点都在曲线）以方程.

叫做方程的方程；曲线那么，方程叫做曲线的曲线.

知识点五：求曲线的方程

1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨

）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质，y迹，用曲线上点的坐标（x间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2. 坐标法求曲线方程的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

3．求轨迹方程的常用方法：直接法、相关点法.定义法、代入法、参数法等。

规律方法指导

3．圆锥曲线综合题类型

(1)用待定系数法求圆锥曲线方程

①数形结合：先定型，再定量，注意区分解析条件与纯几何条件，如果位置不确定时，考虑是否两解．在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确；

②方程思想：n个未知数，列够n个独立的方程，并注意韦达定理的使用：

③注意“点在线上”条件的使用．

(2)求轨迹方程

基本方法：定义法、直接代入法、参数法(利用已知参数方程法或自设参数)．

注意：

①注意限制；

②求轨迹方程与求轨迹的区别。求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征；

③n个未知数，列够n-1个独立方程，特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程．

(3)求取值范围或最值