高三数学第三次模拟试卷

高三数学第三次模拟试卷 总分：150分 时间：120分钟

一．选择题（共60分）

1.已知集合A={(x,y)│x 2+y 2=1},B={(x,y)│y=x},则A ∩B 中元素的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0

2.设x ∈R,若“2-x ≥0”是“1x -≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知a ∈R,i 是虚数单位,若z=a+3i,z ·z =4,则a= ( )

A.1或- 1

B.7或-7

C.-3

D.3

4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 ( )

A.2

π+1 B. 2

π+3 C.

32

π

+1 D.

32

π

+3

5.设变量

x,y 满足约束条件20220

03x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨

≤⎪⎪≤⎩则目标函数z=x+y 的最大值为 ( ) A.23 B.1 C.3

2

D.3

6.等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为 ( ) A.3 B.-3 C.-24 D.8

7.已知奇函数f(x)在R 上是增函数.

若a=-f(log 21

5

),b=f(log 24.1),c=f(20.8),则a,b,c 的大小关系为 ( )

A.a

B.b

C.c

D.c

2

sinx

x

的部分图像大致为 ( )

9.执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

10.若双曲线C: 2

2x a

-22y b =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆

(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.

23

3

11.设A,B 是椭圆C:23x +2

y m

=1长轴的两个端点,若C 上存在

点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是 ( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, 3]∪[4,+∞) 12.函数f(x)=lnx+x 2-bx+a(b>0，a ∈R)的图象在点(b ，f(b))处的切线的倾斜角为α，则倾斜角α的取值范围是

( )A. B. C. D.

二．填空题（共20分）

13.已知(1+3x)n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则

n= 14.函数

f(x)=sin 2x+

3cosx-

30,42x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

的最大值是 .

15.已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,

则AO ·AP 的最大值为 .

16.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他

的名字“高斯”命名的成果达110个，设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，并用{x}=x-[x]表示x 的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n }满足：a 1=，

a n+1=[a n ]+

(n ∈N *)，则a 2017=__________.

三．解答题（共70分，要求写出解答过程及证明过程） 17.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin 22

B

. (1)求cosB.

(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. (本小题满分12分)

18. 某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工

活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率.

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望. (本小题满分12分)

19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.

(1)求证:M为PB的中点.

(2)求二面角B-PD-A的大小.(本小题满分12分)

20.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,

抛物线C:y2=2px(p>0).

(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程.

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和

Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值

范围. (本小题满分12分)

21.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)e x-x.

(1)讨论f(x)的单调性.

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. (12分)

22. (10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为

2

x t

y kt

=+

⎧

⎨

=

⎩

(t为参数),直线l2的参数方程为

2

x m

m

y

k

=-+

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

(m为参数) 设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程.

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.