高中数学北师大版必修4《正弦函数的图像与性质》word导学案

2015高中数学北师大版必修4《正弦函数的图像与性质》w o r d导

学案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5课时正弦函数的图像与性质

1.能从单位圆得出正弦函数的性质(定义域、值域、周期性,在[0,2π]上的单调性).

2.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角α的正弦线.

3.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图.

4.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.

如图所示,装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的运动的木板上的曲线轨迹.

问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),过点P作x轴的垂线,垂足为M,我们称MP为角α的,如果b>0,把MP 看作与y轴,规定此时MP具有正值b;如果b<0,把MP看作与y轴反向,规定此时MP具有负值b,当角α的终边在x轴上时,正弦线变成.

问题2:作正弦函数图像的一般方法

(1)描点法:列表,描点,连线.

(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.

(3)五点法:正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]中, 五个关键点

为、、

、、.

问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质: 函数y=sin x

性质定义域

值域

周期性

是周期函数,周期为2kπ(k∈Z),最小正周期

为

最值

当时,取得最大值1

当时,取得最小值-1

单调性

增区间

减区间

奇偶性

对称性

对称轴为

对称中心为点

问题4:《创设情境》中细沙在木板上形成的曲线是的曲线,可采用“五点法”作图画出该曲线的图像.

1.y=sin x,x∈[,]的值域为().

A.[-1,1]

B.[,1]

C.[,]

D.[,1]

2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],则m的取值范围为().

A.[-,]

B.[-,-]

C.[-,-]

D.[-,]

3.用“五点法”作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图像时的五个点分别是、、、、.

4.观察正弦函数的图像,求满足sin x>0的x的取值范围.

与正弦函数有关的函数的定义域

求函数y=的定义域.

与正弦函数有关的函数的值域

求下列函数的值域.

(1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=m sin x+n(m≠0).

正弦函数性质的运用

求函数y=lo sin x的单调递增区间.

求下列函数的定义域:

(1)y=lg(sin x-1);(2)y=+.

求f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈[-,]的值域.

求函数y=sin(-2x)的单调递增区间.

1.点M(,m)在函数y=sin x的图像上,则m的值为().

A.B.C.D.1

2.函数y=sin x的图像的一条对称轴方程可以是().

A.x=-

B.x=

C.x=-

D.x=π

3.函数y=的定义域为.

4.判断方程x+sin x=0的根的个数.

(2010年·江西卷)函数y=sin2x+sin x-1的值域为().

A.[-1,1]

B.[-,-1]

C.[-,1]

D.[-1,]

考题变式(我来改编):

第5课时正弦函数的图像与性质

知识体系梳理

问题1:有向线段正弦线同向一点

问题2:(3)(0,0)(,1)(π,0)(,-1)(2π,0)

问题3:R[-1,1]2πx=+2kπ(k∈Z)x=-+2kπ(k∈Z)[-

+2kπ,+2kπ](k∈Z)[+2kπ,+2kπ](k∈Z)奇函数x=kπ+(kπ,0)问题4:正弦型函数

基础学习交流

1.B当x=时,y有最大值1,当x=时,y有最小值.

2.C∵x∈[-,],∴由y=sin x的图像可知y∈[-,],即-≤2m+3≤,解得-

≤m≤-.故m的取值范围为[-,-].

3.(0,2)(,3)(π,2)(,1)(2π,2)

4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ

重点难点探究

探究一:【解析】由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥-.

在一周期[-,]内满足的角为x∈[-,π],

由此可以得到函数的定义域为[2kπ-,2kπ+π](k∈Z).

【小结】此题等价于求解不等式sin x≥-,注意数形结合,利用图像、正弦线可以快速、准确地得到答案.

探究二:【解析】(1)设t=sin x,则有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1],

∴当t=-1时,y=(t-2)2+1取得最大值10;当t=1时,y=(t-2)2+1取得最小值2,

∴y=(sin x-2)2+1的值域为[2,10].

(2)∵sin x∈[-1,1],且m≠0,

∴当m>0时,y=m sin x+n的值域是[n-m,n+m];

当m<0时,y=m sin x+n的值域是[n+m,n-m].

综上可知,函数y=m sin x+n的值域是[n-|m|,n+|m|].

【小结】本题用到换元法,先设t=sin x,得出t的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的一、二次函数的值域问题.

探究三:【解析】令u=sin x,则y=lo u,

∵∈(0,1),∴y=lo u是关于u的减函数,

故只需求u=sin x的单调递减区间即可,

而u=sin x的单调递减区间为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z},

∴y=lo sin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).

[问题]sin x可以小于等于0吗?

[结论]sin x不可以小于等于0,因为它是对数函数的真数,故sin x>0.

于是,正确解答如下:

令u=sin x,则y=lo u,

∵∈(0,1),∴y=lo u是关于u的减函数,

故只需求u=sin x大于0的减区间即可,

而u=sin x的减区间为{x|2kπ+

∴y=lo sin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+π)(k∈Z),

【小结】解决此题的关键是理解并掌握对数函数和正弦函数的性质.对于复合函数的单调性问题,注意“同增异减”.同时,注意对数函数的真数大于0.

思维拓展应用

应用一:(1)由sin x-1>0,得sin x>.

作如图正弦曲线y=sin x与直线y=,

可知所求定义域为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).

(2)由得-≤sin x<1,作如图正弦曲线y=sin x与直线y=-,可知所求定义域为[2kπ-,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+](k∈Z).