计算机视觉中的多视图几何第三章

T T x
T x
T
从而得到 J 。再对 求导给出 J 0，消去 得
x x
JJ -
T
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对 求 ， （ 解 得 - JJ ） ， 后 最 得
T -1
-J（JJ ）
T T -1 x
则 ampson误 为 S 差

2 x
（JJ ）
T T T 1 x x
3.3 变换不变性和归一化 归一化的步骤： （1）对点进行平移使其形心位于原点 （2）对点进行缩放使他们到原点的平均距离等于 2 （3）对两幅图像独立进行上述变换 目标
给 n 4组2D到2D的 对 x x, 确 2D单 矩 H使 x Hx 定 点 应 定 应 阵 得
2 2 i i i i
i
ˆˆ Hx
i
3.2.4几何和代数距离的比较
ˆ ˆ ˆ ˆ ) 我们回到误差仅出现在第二幅图像上面，令 x (x, y, w) 并定义矢量 Hx x (x, y, w。 则误差代数距离为：
T
T
i
i
i
i
i
i
i
i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d (x, x) ( yw wy) (wx xw)
3.2不同的代价函数
3.2.1代数距离
DLT最小化范数 Ah 。矢量ε Ah 称为残差矢量，并要求最小化的正是该误差矢量的范 数。矢量 i 被称为关联于点对应 xi xi和单应H的代数误差矢量。该矢量的范数是一个 标量，称为代数距离：
0 d ( x, Hx ) wx
2
给定对应集的代数误差为：

3.2.2几何距离 记号：矢量 单图像误差
d ( x, Hx )
2 al g i i

2

i
Ah
2

2
几何距离是基于图像上距离的测量并最小化图像坐标的测量值与估计值之差。
x 表示测量的图像坐标；ˆ 表示该点的估计值而 x 表示该点的真值。 x
我们考虑第一幅图像的测量准确，而误差只出现在第二幅图像中，这时适宜的最 小量是转移误差。它是第二幅图像上的测量点与点H x 之间的欧氏距离
i
h h h h
3.2式可写成
1
2
3
h , H h h
1
h
2
4
h h
5
7
8
h h h
3 6 9
（3.2）
Ah 0
i
（3.3）
3.1.1超定解 如果给定的点的对应多于4组，那么由（3.3）导出的方程组 Ah 0 是超定的。 现实中我们对坐标的测量是不精确的，那么超定方程将除零解外不存在精确的h， 为了避开这种情况我们就会添加约束条件，并寻找一个一个适当的代价函数取最 小值的矢量h。
第三章 估计——2D射影变换 3.1 直接线性变换（DLT）算法
射影变换由方程 x Hx可得出一个可推出H的一个简单的线性解的方程： i i
x Hx 0
i i
如果将矩阵H的第j行极为 h ，那么
jT
h x Hx h x h x
1T i 2T i i 3T i
T 2 al g i i i i
T i
wx 0
i T
T i
yx xx
T i i i
T i
h
2
对于任何两个矢量x1和x2，我们可以用更一般和简洁的写法：
d (x , x ) a a 其 a (a , a , a ) x x 中
2 2 2 al g 1 2 1 2 1 2 3 1
i i
1/ 2
ˆ 和 都为一时两式相等 可见只有当w w ，可知当H为仿射变换时代数距离和几何距离是 相等的。
3.2.5 Sampson误差
ˆ Sampson误差函数的思想是估计点X 的一阶近似并假设代价函数在被估计点附近有很 好的线性近似。
对给定的单应H，在 H 上的任意点 X (x, y, x, y)将满足Ah=0.为了突出代价函数对X的 相关性，我们把它写为 c (X) 0 。
记
x (x, y, w)
i i i i
T
，则叉积可以显式地写成：
3T 2T
yh x wh x x Hx wh x xh x xh x yh x
i i i i 1T 3T i i i i i i 2T 1T i i i i
i i i
i
算法 ~ （1）归一化x：计算一个只包括位移和 相似变换，将点 变到新的点集 T x x
i i
~ （2）归一化 : 针对第二幅图像上的点 x ，类似的计算一个相似 T，将点变换到点集 变换 x x
i i i
~ ~ 将算法 3.1应用于对应点 x x ，求得单应 H （3）DLT：
目标 算法
x 给定n（n>=4）组2D到2D的点对应，确定2D的单应矩阵H使得 x H
i
i
（1）根据没组的对应点由（3.1）计算出矩阵 A i ，通常需要前两行。 （2）将n个2X9的矩阵 A i组成一个2nX9的矩阵 A （3）求A的SVD.对应的最小特征值的单位特征矢量便是h （4）矩阵H由h确定
T
H
c (X ) c ( X )
H x H
c ( X ) X
H
x
ˆ X 并希望 X在 上，即 c（X） ，便得到 c ( X ) c ( X ) 0 ˆ ˆ 0 设 X ，我们把
H
x
H
H
H
X
x
它记成 J -， 中J是 导 矩 ， 是 X相 的 价 数 c X） 其 偏 数 阵 与 关 代 函 （ 。
上式可变型为：
0 wx yx
T T i i i
wx
i T i
T i
0 xx
T i
T i
yx h xx h 0 0 h
T i 1 i T i 2 i T 3
（3.1）
3.1式有 A h 0 的形式，h是由矩阵H的元素组成的9维列矢量:

2
d (x, Hx )
i i
算法要估计的单应 对称转移误差
ˆ H是使转移误差取最小值的单应
更切合实际的是误差出现在两幅图像的上点的测量中，因而最小的化的应该是两幅 图像的误差，则误差函数的构造不仅考虑前向的变换还同时考虑后向的变换，所得 误差为

d (x , H x) d (x, Hx )
x H
我们面临的最小化问题是求满足次方程的最小 x 。 即求在满足J x
- 条件下使 取最小值的矢量
x
x
求解此类问题我们应用的是拉格朗日乘数法，引入拉格朗日乘子 问题转化为 ：
2 (J )的最小化问题
T T x x x
对

求导得到：
x
2 2 J 0
1 2 i i i i
2
3.2.3重投影误差——两幅图像 对两幅图像误差量化的另一种方法是估计每组对应的“校正值”。我们希望由 测量值估计世界平面的点，然后把它重投影到估计上认为是完全匹配的对应上。
ˆ ˆ ˆ 以最小化总的误差函数 现在我们要寻找一个单应H和完全匹配的点对x 和x
i i

ˆ ˆ d (x , x ) d (x, x) s.t x ˆ
2 2 al g i i i i i i i i i i
2
ˆ 而点对 x和x的几何距离为：
i i
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d ( x, x) ((x / w x / w) ( y / w y / w) ) ˆ ˆ d (x, x) / ww
2 2 i i i i i i i i i i al g i i i i
i i
~
（4）解除归一化： 令 T1 HT. H
~
3.4 鲁棒估计 在许多实际的运行中，因为点被错配而使这种假设无效，错配点我们称其为野值。 目标
一个模型与含有野值的数据集S的鲁棒估计
算法 （1）随机地从S中选择s个数据点组成一个样本作为模型的一个例示。 （2）确定在模型距离阈值t内的数据Si，Si称为采样的数据集S中的内点 （3）如果Si的个数大于某个阈值T，用Si的所有点重估计模型并结束 （4）如果Si的数量小于T，则重现选择一个新的子集并重复上述步骤 （5）经过N次试验的选择一个Si个数最大，并用Si的所有点重估计模型