高中数形结合问题总结(可编辑修改word版)

数形结合思想在高中数学中的应用

灵宝实验高中王少辉

一、什么是“数形结合思想”？

数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。

二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？

“数”和“形”是数学研究的两个基本对象。

数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等；

形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。

既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题：

①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题

三、数形结合思想应用举例

（一）在集合中的应用

【知识点】集合的基本运算

在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。

【例1】

(1)已知U = {x | x ≤10, x ∈N *}, A C B = {2,4,6}, C U A B = {5,7,9}, C

U A C

U

B = {1,10}, 求A, B

U

⎩ (2)已知集合 A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

【小结】

数形结合在集合中的应用，主要体现在集合的基本运算中：

（1） 离散的集合用 Venn 图表示 （2） 连续的数集用数轴表示，注意端点

（二）在函数中的应用

1. 二次函数区间求值问题

二次函数的图象我们都很熟悉，所以在解决二次函数的相关问题时，我们就可以借助图象来进行。

【例 2】已知 f (x ) = x 2 - 2ax +1，求 f (x )在[1,2]上的最小值

【跟踪训练】已知 f (x ) = x 2 - 2x +1 ，求 f (x )在[t,t+2]上的最小值

2. 函数性质综合应用

函数的性质在图象上都有直观的反应，所以在利用函数性质解决某些问题时，我们就可以借助图象来进行。

⎧- x 2 + 4x , x ≤ 4 【例 3】设函数 f (x ) = ⎨ ⎩log 2 x , x > 4 的取值范围是

.

，若函数 y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数 a

⎧2, x ≥ 0

【例 4】已知函数 f (x ) = ⎨- x + 2, x < 0 ，则满足不等式 f (3 - x 2

) < f (2x ) 的

x 的取值范围为

3. 函数零点个数问题

函数零点、方程的根与函数图象的交点密切相关，所以在解决函数零点个数问题，方程根的个数问题时，常使用数形结合思想。

【例 5】已知函数 f (x )是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥0 时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数 g (x )＝f (x )－ m (m ∈R )恰有 4 个零点，则 m 的取值范围是

.

【例 6】已知定义在 R 上的偶函数 f (x )满足 f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上 f (x )＝x ，若关于 x

的方程f(x)＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.

【小结】

数形结合在函数中的应用，主要体现在函数图象的应用中

（1）二次函数求给定区间上的最值问题

①轴动区间定②轴定区间动

（2）函数性质（奇偶性、单调性、周期性）的综合应用

①求范围②解不等式

（3）函数零点个数、方程根的个数

转化为图象交点个数问题

【跟踪训练1】函数f(x)＝|x－2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析由题意可知f(x)的定义域为(0＋，∞).在同一直角坐标系中画

出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示：

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为 2.

答案 C

【跟踪训练2】若关于x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数a 的取值范围是.

解析在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x 的图象，如图所示.由

图象知当a>0 时，方程|x|＝a－x 只有一个解.

答案(0，＋∞)

⎧e x+a, x ≤ 0

【跟踪训练3】已知函数 f (x) =⎨

(a∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取

⎩3x -1, x >0

值范围是( )

⎩ A.(－∞，－1)

B.(－∞，0)

C.(－1，0)

D.[－1，0)

1

解析 当 x >0 时，f (x )＝3x －1 有一个零点 x ＝ .

3

因此当 x ≤0 时，f (x )＝e x ＋a ＝0 只有一个实根，

∴a ＝－e x (x ≤0)，则－1≤a <0.

答案 D

⎧| x |, x ≤ m

【跟踪训练 4】(2016·ft 东卷)已知函数 f (x ) = ⎨x 2 - 2mx + 4m , x > m ，其中 m >0.若存在实数 b ，

使得关于 x 的方程 f (x )＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是

.

解析 在同一坐标系中，作 y ＝f (x )与 y ＝b 的图象.

当 x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，

∴要使方程 f (x )＝b 有三个不同的根，则有 4m －m 20.又 m >0，解得 m >3. 答案 (3，＋∞)

四、作函数图象的常用方法

数形结合的关键在于准确作出函数的图象，那么如何作函数图象就是最关键的步骤，同学们一定要掌握。下面介绍两种高中数学中最常用的方法。

1. 利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， 描点，连线.

2. 利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换