安徽省阜阳市太和中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学(理)试题
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（1）若AF＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB的长的最小值．
20．某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生 人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这 人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：
第一批次
第二批次
安徽省阜阳市太和中学【最新】高二下学期开学考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．双曲线 的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
6．在区间[-3，9]上任取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ，则实数m的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是（）
A．9B．10C．16D．17
8．“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
9．观察下列事实： 的不同整数解 的个数为4， 的不同整数解 的个数为8， 的不同整数解 的个数为12， 则 的不同整数解 的个数为
A．76B．80C．86D．92
10．若直线 与双曲线 在坐标轴上有公共点，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．5
11．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
第三批次
女
男
已知在这 名学生中随机抽取 名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是 .
（1）求 的值；
（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取 名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？
（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.
（2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆 于 两点， 轴，垂足为 ，连接 并延长 交椭圆 于 ，证明：以线段 为直径的圆经过点 .
参考答案
1．C
【解析】
特称命题的否定是全称命题，所以是“ ， ”，故选C．
2．B
【分析】
由双曲线标准方程可得a,b的值，进而求出渐近线方程．
【详解】
根据题意可得 ， ，所以双曲线的渐近线方程为 ．
21．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．
（1）证明：B1C∥平面A1DE；
（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．
22．已知圆 恰好经过椭圆 的两个焦点和两个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
前x（年）
1
2
3
4
5
维护费y（万元）
1.1
1.5
1.8
2.2
2.4
（1）若维护费y（万元）与年份x（年）之间存在线性相关关系，试求y关于x的线性回归方程；
（2）据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每台的平均维护费用．
注， ， ．
19．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
故选:B．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，属于基础题．
3．D
【分析】
根据题设求得中年人所占的比例，进而求得中年人抽取的人数，得到答案.
【详解】
根据题设知，中年人所占的比例为 ，所以在抽取的一个容量为12的样本中，中年人中应抽取 人.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15．在正方体 中，点E是线段 的中点，则直线 与 所成角的余弦值是_______．
16．已知直线 与椭圆 交于 两点,若椭圆上存在一点 使得 面积最大,则点 的坐标为________.
三、解答题
17．已知函数 ， .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集非空，求 的取值范围.
18．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加．现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起前五年设备每年每台的平均维护费用如下表：
4．A
【分析】
由题意可得 ， ，求出 ， 的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得 值.
【详解】
由题意 ，所以 ， ，所以 ，∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题.
5．C
【分析】
根据抛物线的焦半径公式可得答案.
【详解】
∵ ，∴ ，∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的焦半径公式，较简单.
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、填空题
13．某电子商务公司对10000名网络购物者【最新】度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．直方图中的 =__．
14．若“ x＜3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．过抛物线 焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段 为直径的圆与直线 相切，则直线l的方程为（）
6．C
【分析】
求解绝对值不等式，然后可知m＞3，再由测度比为长度比列式求得m值．
【详解】
解：区间[-3，9]的区间长度为12，若概率为 则对应区间长度为 =10，
由|x|≤m，得-m≤x≤m且
3．已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，Hale Waihona Puke Baidu年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（）
A．2人B．3人C．5人D．4人
4．椭圆 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）
A． B． C． D．4
5．已知抛物线 的焦点为F，点 是抛物线C上三个不同的点，若 ，则有（）
（2）求线段AB的长的最小值．
20．某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生 人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这 人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：
第一批次
第二批次
安徽省阜阳市太和中学【最新】高二下学期开学考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．命题“ ， ”的否定是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．双曲线 的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
6．在区间[-3，9]上任取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为 ，则实数m的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是（）
A．9B．10C．16D．17
8．“ ”是“直线 与椭圆 有公共点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
9．观察下列事实： 的不同整数解 的个数为4， 的不同整数解 的个数为8， 的不同整数解 的个数为12， 则 的不同整数解 的个数为
A．76B．80C．86D．92
10．若直线 与双曲线 在坐标轴上有公共点，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．5
11．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
第三批次
女
男
已知在这 名学生中随机抽取 名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是 .
（1）求 的值；
（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取 名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？
（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.
（2）经过原点的直线 (不与坐标轴重合)交椭圆 于 两点， 轴，垂足为 ，连接 并延长 交椭圆 于 ，证明：以线段 为直径的圆经过点 .
参考答案
1．C
【解析】
特称命题的否定是全称命题，所以是“ ， ”，故选C．
2．B
【分析】
由双曲线标准方程可得a,b的值，进而求出渐近线方程．
【详解】
根据题意可得 ， ，所以双曲线的渐近线方程为 ．
21．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．
（1）证明：B1C∥平面A1DE；
（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．
22．已知圆 恰好经过椭圆 的两个焦点和两个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
前x（年）
1
2
3
4
5
维护费y（万元）
1.1
1.5
1.8
2.2
2.4
（1）若维护费y（万元）与年份x（年）之间存在线性相关关系，试求y关于x的线性回归方程；
（2）据（1）求解估计这批设备自购入使用之日起前8年每台的平均维护费用．
注， ， ．
19．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
故选:B．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，属于基础题．
3．D
【分析】
根据题设求得中年人所占的比例，进而求得中年人抽取的人数，得到答案.
【详解】
根据题设知，中年人所占的比例为 ，所以在抽取的一个容量为12的样本中，中年人中应抽取 人.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15．在正方体 中，点E是线段 的中点，则直线 与 所成角的余弦值是_______．
16．已知直线 与椭圆 交于 两点,若椭圆上存在一点 使得 面积最大,则点 的坐标为________.
三、解答题
17．已知函数 ， .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集非空，求 的取值范围.
18．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加．现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起前五年设备每年每台的平均维护费用如下表：
4．A
【分析】
由题意可得 ， ，求出 ， 的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得 值.
【详解】
由题意 ，所以 ， ，所以 ，∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题.
5．C
【分析】
根据抛物线的焦半径公式可得答案.
【详解】
∵ ，∴ ，∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是抛物线的焦半径公式，较简单.
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、填空题
13．某电子商务公司对10000名网络购物者【最新】度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．直方图中的 =__．
14．若“ x＜3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．过抛物线 焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段 为直径的圆与直线 相切，则直线l的方程为（）
6．C
【分析】
求解绝对值不等式，然后可知m＞3，再由测度比为长度比列式求得m值．
【详解】
解：区间[-3，9]的区间长度为12，若概率为 则对应区间长度为 =10，
由|x|≤m，得-m≤x≤m且
3．已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，Hale Waihona Puke Baidu年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（）
A．2人B．3人C．5人D．4人
4．椭圆 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）
A． B． C． D．4
5．已知抛物线 的焦点为F，点 是抛物线C上三个不同的点，若 ，则有（）