空间向量及其加减运算
9.5空间向量及其运算第一课时空间向量及其加减与数乘运算-PPT课件
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想一想： 1．空间向量的概念及表示方法 如同平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向 量或相等的向量． 2．空间向量的加法、减法与数乘运算的定义 (1)与平面向量一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量，运算如下： OB― →＝ OA― →＋ AB― → ＝a＋b； CA― →＝ OA―→－ OC― → ＝ a－ b； OP― →＝ λa(λ∈ R)．
法二：用三角形法则求：作 MN― →＝ a， NP― →＝b，则有如图(2)所示 MP― →＝ a＋ b. 2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即 a－ b＝a＋ (－b)，例如上 面图(2)中 MP― →－ MN― →＝ NP― →，图 (1)中 AB―→－ AD―→＝ DB― →.
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做一做： 1．两个向量 (非零向量)的模相等是两个向量相等的 ( B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
)
解析：两个向量相等，则其模也相等，反之，则不一定正确．应选 B.
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3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)
答案
→ → → OA，OB，OC是不同在一个平面内的向
量，而我们以前所学的向量都在同一平面内． 结论：在空间，具有大小和方向的量叫空间向量．向量的 大小叫做向量的长度或模．
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3.1.1
问题 2 用？
空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作
答案
空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既
量必相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终 点相同，故①错；
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3.1.1
根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故② 错；
→ → 根据正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，向量AC与A1C1的方向相 → → 同，模也相等，应有AC＝A1C1，故③正确； 命题④显然正确； 空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同，故 不一定相等，故⑤错．
小结 在空间，零向量、单位向量、向量的模、相等（反） 向量的概念和平面向量完全一致，研一研· 问题探究、课堂更高效
3.1.1
( B )
跟踪训练 1 下列说法中正确的是 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则 |a |＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 → → → D．在四边形 ABCD 中，一定有AB＋AD＝AC
3.1.1
例 1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量 a， b，满足 |a |＝ |b |，则 a＝ b； → → ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，必有AC＝A1C1； ④若空间向量 m， n， p 满足 m＝ n， n＝ p，则 m＝ p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( C ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 解析 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向
空间向量及其加减运算
§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.了解向量加法的交换律和结合律．知识点一 空间向量的概念(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考 下面给出了两个空间向量a ，b ，作出b ＋a ，b －a .答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a .梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a ， 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(1)零向量没有方向．(×)(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．(×) (3)平面内所有的单位向量是相等的．(×)(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(×) (5)任何两个向量均不可以比较大小(√)类型一 向量概念的应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行 B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反 C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模答案 D解析A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b 的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.(2)给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1-→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B解析 ①为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而①中向量a 与b 的方向不一定相同；②为真命题，AC →与A 1C 1-→的方向相同，模也相等，故AC -→＝A 1C 1-→；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B.反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCDA1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1-→；②AC 1-→与BD 1-→；③AD 1-→与C 1B -→；④A 1D -→与B 1C -→.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B解析 对于①AB →与C 1D 1-→，③AD 1-→与C 1B -→，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1-→与BD 1-→，长度相等，方向不相反；对于④A 1D -→与B 1C -→，长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．(2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量． ③试写出与向量AB →相等的所有向量． ④试写出向量AA ′--→的所有相反向量． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′--→，A ′A --→，BB ′--→，B ′B ---→，CC ′---→，C ′C ---→，DD ′---→，D ′D ---→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′---→，D ′A ----→，A ′D ---→，DA ′---→，BC ′----→，C ′B ----→，B ′C ----→，CB ′---→.③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′----→，DC →及D ′C ′----→. ④向量AA ′---→的相反向量有A ′A ---→，B ′B ---→，C ′C ---→，D ′D ---→. 类型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′-→－CB →； (2)AA ′-→＋AB →＋B ′C ′---→. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算解 (1)AA ′-→－CB →＝AA ′-→－DA →＝AA ′-→＋AD →＝AA ′-→＋A ′D ′---→＝AD ′-→.(2)AA ′-→＋AB →＋B ′C ′---→＝(AA ′-→＋AB →)＋B ′C ′----→＝AA ′-→＋A ′B ′----→＋B ′C ′----→＝AB ′-→＋B ′C ′----→＝AC ′-→.向量AD ′-→，AC ′-→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′-→＋A ′B ′----→＋B ′C ′----→＋C ′A --→. 解 结合加法运算AA ′-→＋A ′B ′----→＝AB ′-→，AB ′-→＋B ′C ′----→＝AC ′-→，AC ′-→＋C ′A ---→＝0. 故AA ′-→＋A ′B ′----→＋B ′C ′----→＋C ′A ----→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2-→＋A 2A 3-→＋A 3A 4-→＋…＋A n —1A n --→＝A 1A n -→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝2AC ′-→. 考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′-→＝AB →＋AA ′-→，AD ′-→＝AD →＋AA ′-→， ∴AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′-→)＋(AD →＋AA ′-→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′-→)． 又∵AA ′-→＝CC ′-→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′-→＝AB →＋BC →＋CC ′-→＝AC →＋CC ′-→＝AC ′-→. ∴AC →＋AB ′-→＋AD ′-→＝2AC ′-→.1.如图所示，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1-→的共有( ) ①(AB →＋BC →)＋CC 1-→； ②(AA 1-→＋A 1D 1--→)＋D 1C 1--→； ③(AB →＋BB 1-→)＋B 1C 1--→； ④(AA 1-→＋A 1B 1--→)＋B 1C 1--→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1-→＝AC →＋CC 1-→＝AC 1-→； ②(AA 1→＋A 1D 1--→)＋D 1C 1--→＝AD 1-→＋D 1C 1--→＝AC 1-→； ③(AB →＋BB 1-→)＋B 1C 1--→＝AB 1-→＋B 1C 1--→＝AC 1-→； ④(AA 1-→＋A 1B 1--→)＋B 1C 1--→＝AB 1-→＋B 1C 1--→＝AC 1-→，故选D. 2．下列命题中，假命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．空间向量不满足加法结合律考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模 答案 D3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 C解析 与AD →相等的向量有A 1D 1--→，BC →，B 1C 1--→，共3个．4．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反，故选D. 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1-→；②(AA 1-→＋A 1D 1--→)＋D 1C 1--→；③(AB →＋BB 1-→)＋B 1C 1--→；④(AA 1-→＋A 1B 1--→)＋B 1C 1--→.其中运算的结果为AC 1-→的有________个． 考点 题点 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1-→＝AC →＋CC 1-→＝AC 1-→； ②(AA 1-→＋A 1D 1--→)＋D 1C 1--→＝AD 1-→＋D 1C 1--→＝AC 1-→； ③(AB →＋BB 1-→)＋B 1C 1--→＝AB 1-→＋B 1C 1--→＝AC 1-→； ④(AA 1-→＋A 1B 1--→)＋B 1C 1--→＝AB 1-→＋B 1C 1--→＝AC 1-→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1-→.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、选择题1．化简PM -→－PN -→＋MN -→所得的结果是( ) A.PM -→ B.NP -→ C.0D.MN -→考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 C解析 PM -→－PN -→＋MN -→＝NM -→＋MN -→＝NM -→－NM -→＝0，故选C. 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 A解析 对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，向量a 与向量b 不相等，未必它们的模不相等，故选A. 3．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D4．在空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －cB ．c －a －bC ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 B解析 如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋CD →－c ＝0，∴CD →＝c －a －b .5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 A解析 由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A.6．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向 考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 D7．判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5考点题点答案 B解析 ①假命题，当a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 210．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(选填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则|a |＝0；③|a |＝|－a |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的序号为________．考点 空间向量的相关概念及及其表示方法题点 空间向量的定义与模答案 ②③④三、解答题12．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点，所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量为AD →，AF →，如图所示．13．如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′-→；(3)AB →＋CB →＋AA ′-→；(4)AC ′-→＋D ′B --→－DC →.考点题点解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′-→＝AC →＋AA ′-→＝AC ′-→.(3)AB →＋CB →＋AA ′-→＝AB →＋DA →＋BB ′-→＝DB ′-→.(4)AC ′-→＋D ′B --→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′-→)＋(DA →＋DC →＋C ′C --→)－DC →＝DC →.四、探究与拓展14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为点O ，则在下列结论中正确的结论共有( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1-→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA 1-→－OD 1-→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1-→＋OB 1-→＋OC 1-→＋OD 1-→是一对相反向量； ④OA 1-→－OA →与OC →－OC 1-→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点 空间向量的相关概念及其表示方法题点 相等、相反向量答案 C15．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C -→－B 1B -→＋A 1B 1--→－A 1B -→.解 如图．DA →－DB →＋B 1C -→－B 1B -→＋A 1B 1--→－A 1B -→＝(DA →－DB →)＋(B 1C -→－B 1B -→)＋(A 1B 1--→－A 1B -→)＝BA →＋BC →＋BB 1-→＝BD →＋BB 1-→＝BD 1-→.。
空间向量及其加减运算
a
b
a
b
c
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb
（由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨 迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a A B1 C1 A1 D A B
D1 B1
C1
D
B
C
C
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每 个面的边叫做平行六面体的棱。
㈣空间向量加法、减法与数乘向量运算： a b B O
α
A P
OB = OA +AB = ａ＋ｂ BA = OA – OB = a - b OP =λa （λ∈R） O
a
㈤空间向量的加法与数乘向量运算的运算律：
①加法交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ ②加法结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
a
b
a a a a ba a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 化简下列面量表达式 A
并标出化简结果的向量：
D1
C1 B1
M
1
（1）AB+BC；（2）AB+AD+AA1；
（3）AB+AD+1/2CC1（4）1/3（ （AB+AD+AA1） A
D
G · B
C
解：（1）AB+BC=AC （2）AB+AD+AA1=AC+AA1=AC+CC1=AC1 （3）设M是线段CC1的中点，则AB+AD+1/2CC1= AC+CM=AM （4）设G是线段AC1的三等分点，则1/3（AB+AD+AA1） =1/3AC1=AG
空间向量及其加减运算 课件
C
(2)在△ADG中，注意到三角形重心的性质，
得 AG AD DG c 2 DM
3 c 2 (1 DB 1 DC)
32 2 c 1 (AB AD AC AD)
3 c 1 (a b 2c)
3
1a b c.
3
【思考】(1)在空间中，如何使用平行四边形法则和三角形法 则? (2)交换律及结合律在空间向量的加、减法运算中有何作用?
提示：(1)在空间立体图形中，首先确定一个平面或找到一个 三角形，把问题转化到一个平面，然后再应用平面向量的有关 运算性质进行化简、变形.在空间中，常常利用三角形法则进行 向量的加、减运算.应用平行四边形法则需在立体图形中找到一 个平行四边形. (2)交换律与结合律在空间向量的加、减法运算中起到方便化 简的作用.例如， CB AB BC AB AB BC AC;
(3)根据正方体的性质可知在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AC=A1C1，且AC∥A1CA1C，与A1C1 方向相同， ∴ AC A故1C(13，)正确; (4)正确，可以根据向量的几何表示，利用向量平移来理解; (5)两个单位向量的模都是1，但方向不一定相同，故(5)不 正确. 综上可知命题(3)(4)正确. 答案：(3)(4)
2.(1)是必要条件，不是充分条件，因为 AB 时DC有可能A， B，C，D四点共线，是假命题； (2)a与b的模相等，且方向相同时，a=b成立，当方向相反时, a=-b,是假命题; (3)零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等 的，是假命题; (4)共线向量即平行向量，只要求它们的方向相同或相反，不 一定在同一条直线上，是假命题;
或_| _A_B_|_.
2.几类特殊向量
特殊向量 零向量 单位向量 相反向量
2014年人教A版选修2-1课件 3.1 空间向量及其加减运算
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1. 什么是空间向量? 它与平面向量有什么 相同和异同?
2. 空间任意两向量是共面向量吗?
3. 空间向量怎样进行加减运算?
问题1. 如图, 一块均匀的 F3 正三角形面的钢板质量为500 kg, 在它的顶点处分别受力 F1, F2, F1 F3, 每个力与同它相邻的三角形 F2 C 的两边之间的夹角都是60, 且 |F1|=|F2|=|F3|=200kg. 这块钢板 A B 在这些力的作用下将会怎样运 500 kg 动? 这三个力至少为多大时, 才 能提起这块钢板? 关于三个力 F1, F2, F3 的运算, 实际是向量 AF1, BF2 , CF3 的运算, 这三个向量不是同一平面内 的向量, 这就是我们要学习的空间向量.
【课时小结】
【空间向量的加减法】 问题3. 类比平面向量, 你认为空间向量的加减 法应怎样运算? 我们已经知道, 空间任意两个向量都可以平移到 同一个平面内, 成为讨论平面向量的问题. 那么平面向量的加减法运算法则同样也适用于空 间向量. D D 空间两向量相加减, 将两向量移到同一平面, D 按平面向量的加减进行 B C 类比平面向量, 你认为空间向量的加减 法应怎样运算? 我们已经知道, 空间任意两个向量都可以平移到 同一个平面内, 成为讨论平面向量的问题. 那么平面向量的加减法运算法则同样也适用于空 间向量. D D 空间向量的加法运算 也满足交换律及结合律: D
ab=ba. (ab)c=a(bc).
本章内容
3.1 空间向量及其运算
3.2 立体几何中的向量方法 第三章 小结
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量及其加减运算 课件
(4)特殊向量
长度为0
0
模为1 相同
相等
相等
相反
－a
2.空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算(如图)：
空间向 量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝___a_＋__b___；
C→A＝O→A－O→C＝___a_－__b___.
加法运 (1)交换律：a＋b＝___b_＋__a___； 算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)___.
【答案】 A
【名师点评】 在进行减法运算时,可将减去 一个向量转化为加上这个向量的相反向量； 而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量 在哪个平面内，然后与平面向量求和一样， 运用向量运算的平行四边形法则、三角形法 则及多边形法则来求即可．
空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)零向量没有方向；
(4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.Βιβλιοθήκη 其中正确命题的序号为( )
A．(1)，(2)
B．(4)
C．(3)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 对于(1)：单位向量是指长度等于1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同， 它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)： 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量, 故(2)错；对于(3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B. 【答案】 B
空间向量及其加减运算
1.空间向量 (1) 定 义 ： 在 空 间 ， 把 具 有 _大__小___ 和方__向____ 的量叫做空间向量． (2) 长 度 ： 向 量 的 _大__小___ 叫 做 向 量 的 长 度 或 __模____．
空间向量及其加减运算
D.在 四 边 形ABCD中, 一 定 有AB AD DB; E.有 向 线 段 就 是 向 量,向 量 就 是 有 向 线 段.
例题分析
例3.已知空间四边形ABCD中,向 量AB a, AC b,
AD c, 若M为BC中 点,G为BCD的重心,
试 用a，b，c表示下列向量 (1)AG;(2)DM.
方法2: AB CD 2( NF FM ) 2NM
D
AD CB 2( NE EM ) 2NM
AB CB AD CD A
4 NM
E M
C
N F
B
有关向量的证明常用方法：
(1)正确分析被证向量式与题目中的特殊点、 特殊线段之间的关系.
(2)根据向量相等的概念,向量运算时可以根 据需要进行平移向量;
方法1: AB AD 2 AM
D
CB CD 2 CM
Hale Waihona Puke AB CB AD CDA
2( AM CM )
4 NM
M C
N
B
例题分析
例4.设 有 空 间 四 边 形ABCD , 对 角 线AC和BD 的 中 点 分 别 为N和M .
求 证 ：AB CB AD CD 4NM .
(1) AG 1 (a b c)
A
3
(2) DM DA AM
1 (a b) c 2
B
D
1 (a b 2c)
MG
2
C
例题分析
例4.设 有 空 间 四 边 形ABCD , 对 角 线AC和BD 的 中 点 分 别 为N和M .
求 证 ：AB CB AD CD 4NM .
空间向量及其加减与数乘运算
OB
OC
OD
k,
D
B H
C
G F
E
小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理
a // b (a 0)
a b a b 共面
p
p x yb
推论
OP OA t AB
OP xOA yOB( x y 1)
3.1空间向量及其运算
一、空间向量的基本概念： 定义： 表示： 模： 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量：
二、空间向量的加减运算及运算律 加法：平行四边形法则 三角形法则 多边形法则
减法：三角形法则 运算律：加法交换律 加法结合律
平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '
AB AD AA ' AB AA ' AD
数乘运算满足分配律及结合律
( a b) a b
（ ） a a a
( ) a ( ) a
四、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
C'
b
C
p
P
A a B
O
例1. 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD， 在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O OE OF OG OH
第3章3.1.1 空间向量及其加减运算
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(2)由于这个长方体的对角线长为 p2＋q2＋1＝ 2，故模为 2的向量有A→C1，C→1A，A→1C，C→A1，B→D1，D→1B，B→1D，D→B1共 8 个．
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身以外)共有A→1B1，D→C 及D→1C1三个．
第13页
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【思路分析】 解决此类问题的关键是准确理解有关概念， 如零向量的方向问题，向量相等的条件等．
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【解析】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小和方向 均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确 定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝ A→C.
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第三章 空间向量与立体几何
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3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算
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要点 1 空间向量的概念
名称
定义
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间 空间向量
向量，其大小叫做向量的长度或模
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【解析】 (1)由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对 应的向量A→A1，A→1A，B→B1，B→1B等 8 个向量都是单位向量，另外， 由于 p2＋q2＝1，所以长方体上下两个面上的面对角线对应的向量 A→C，C→A，B→D，D→B，A→1C1，C→1A1，B→1D1，D→1B1等 8 个向量也都 是单位向量．而其他的向量的模均不为 1，故单位向量共 16 个．
空间向量及其加减运算
| a | | b || a b || a | | b |
四、空间向量的数乘运算
实数和向量 a 的乘积是一个向量，记 作 a
| a || || a |
>0时， a 的方向与a 的方向相同 <0时， a 的方向与a 的方向相反 =0或 a =0时， a = 0
关于实数与向量的积 a 的理解： 我们可以把向量a的长度扩大（当 >1时）
a+ b
二、空间向量的加法运算 a
b
平行四边形法则
A
a b
O
B
C
三角形法则
多边形法则 封口向量
a b
A O
B
ab
A B
D C
A B
D C
三、空间向量的减法运算
三角形法则
a b
A
a
ab
O
b
B
a b
A ab
C
O
ab B
OC a b
BA a b
| a | | b || a b || a | | b |
A C D
B
E C
D E
４.向量的模：a
５.特殊向量：零向量和单位向量
６.向量的基线：表示向量的有向线段所在的直线
７.共线（平行）向量： a // b
A B C D
规定：零向量与任意向量共线 注意：平行向量的基线可能重合
E A
C D
B E
有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变
a
c
b
a
c
bb
a
2
M
D
B
N
C
也可以缩小（当 <1时），同时，我们可以
第3章 空间向量与立体几何 §3.1.1 空间向量及其加减运算
讲练学案部分§3.1.1空间向量及其加减运算.知识点一空间向量的概念判断下列命题是否正确, 若不正确, 请简述理由．①向量AB与AC是共线向量, 则A、B、C、D四点必在一条直线上；②②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量, 若起点不同, 则终点一定不同.解①不正确, 共线向量即平行向量, 只要求两个向量方向相同或相反即可, 并不要求两个向量AB, CD在同一条直线上.②不正确, 单位向量模均相等且为1, 但方向并不一定相同.③不正确, 零向量的相反向量仍是零向量, 但零向量与零向量是相等的.④不正确, 因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确, 如图所示, AC与BC共线, 虽起点不同, 但终点却相同.【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念, 对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|, 则a、b的长度相同, 方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量, 则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD中, 一定有AB+AD=AC答案 B解析|a|=|b|, 说明a与b模长相等, 但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|, 从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律, 减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB+AD=AC, 只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.知识点二空间向量的加、减运算如图所示, 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1, M为A1C1与B1D1的交点, 化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ； （3）1AA +2111B A +11D A ； （4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;解 （1）11AA B B +u u u u r =1AB u u u r.（2）11111122A B A D +=u u u u r u u u u r 11111()2A B A D +=u u u u r u u u u r 11112A C A M =u u u ur u u u u r（3）111111122AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r 11AA A M AM =+=u u u r u u u u r u u u u r（4）1110AB BC CC C A +++=u u u r u u u r u u u u r u u u u r【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则, 同平面向量相同, 封闭图形, 首尾连续向量的和为0..已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式: (1)';AA CB -u u u r u u u r (2)'''''AB B C C D ++u u u u r u u u u u r u u u u u r解 (1)'AA CB -u u u r u u u r ='AA BC +u u u r u u u r ='''AA A D AD +=u u u r u u u u r u u u u r A(2)''''''AB B C C D AD ++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u r知识点三 向量加减法则的应用在如图所示的平行六面体中, 求证：''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形,∴ ,AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r '',AB AB AA =+u u u u r u u u r u u u r AD ′→＝AD →＋AA ′→. ∴''AC AB AD ++=u u u r u u u u r u u u u r (')AD AA ++=u u u r u u u r ()(')AB AD AB AA +++u u u r u u u r u u u r u u u r =2('),AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r又由于 AB ＝CC ′→, AD →＝BC →,∴ AB u u u r ＋AD →＋AA ′→= AB u u u r ＋BC →＋CC ′→=AC u u u r ＋CC ′→＝AC ′→, ∴AC u u u r ＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量AC ′→='AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r,该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法则).在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 画出表示下列向量的有向线段.（1）AB u u u r ＋AD →＋1AA u u u r;；（2）11AB CC DD +-u u u r u u u u r u u u u r;.解 如图,（1）AB u u u r ＋AD →＋1AA u u u r = 11AC AA AC +=u u u r u u u r u u u u r;(2)11AB CC DD +-u u u r u u u u r u u u u r =111111AB BB AA AB AA A B +-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r图中1AC u u u u r , 11A B u u u u r为所求.课堂小结：1．在掌握向量加减法的同时, 应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差, 如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量, 理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点, 运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．课时作业一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量AB u u u r 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行, 则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量, 其终点必相同； ④两个有公共终点的向量, 一定是共线向量；⑤向量AB u u u r 与向量CD →是共线向量, 则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量, 向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 ①真命题；②假命题, 若a 与b 中有一个为零向量时, 其方向是不确定的；③真命题；④假命题, 终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题, 共线向量所在直线可以重合, 也可以平行；⑥假命题, 向量可用有向线段来表示, 但并不是有向线段．2. 已知向量AB u u u r , AC →, , AC →, BC → 满足 |AB →| ＝ |AC →|＋|BC →|, 则( )A ．AB u u u r ＝AC →＋BC → B ．AB u u u r ＝－AC →－BC →C ．AC →与BC →同向D ．AC →与CB →与CB →同向答案 D解析 由 |AB u u u r | = |AC → | + |BC → | = |AC → | + |CB →|,知C 点在线段AB 上, 否则与三角形两边之和大于第三边矛盾, 所以AC →与CB →与CB →同向3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 向量表达式1DD AB BC-+u u u u r u u u r u u u r化简后的结果是（ ）A .1BD u u u u rB .1D B u u u u rC .1BD u u u u r D .1DB u u u u r答案 A解析 如图所示,因 1DD u u u u r ＝AA 1→, DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝1BA ,1BA u u u r ＋BC →＝BD 1→, ∴1DD u u u u r －AB →＋BC →＝BD 1→.4．空间四边形ABCD 中, 若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点, 则下列各式中成立的是( )A .EB u u u r ＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B . EB u u u r ＋FC →＋EH →＋GE →＝0C . EF u u u r ＋FG →＋EH →＋GH →＝0D .EF u u u r －FB →＋CG →＋GH →＝0答案 B解析 如图所示,EB u u u r ＋FC →＋EH →＋GE → ＝(EB u u u r ＋BF →)＋(GE →＋EH →) = EF u u u r ＋FE →＝0.5. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 如图所示, 下列各式中运算的结果为向量1BD u u u u r的是（ ） ① (11A D u u u u r －A 1A →)－AB →；② (BC uuu r ＋BB 1→)－D 1C 1→；③（AD u u u r －AB →)－2DD 1→；④（11B D u u u u r －A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 A (11A D u u u u r －A 1A →)－AB → ＝ AD 1→－AB →＝BD 1→. (BC uuu r ＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.∴①、②正确．二、填空题6. 如图所示 a, b 是两个空间向量, 则AC u u u r 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量, AB →与B ′A ′→是________向量．答案 相等 相反7. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD uuu r + BC DA +u u u r u u u r的结果为________．答案 0 解析AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DA →) =AC u u u r ＋CA →＝0. 三、解答题8．如图所示, 已知空间四边形ABCD , 连结AC , BD , E , F , G 分别是BC , CD , DB 的中点,请化简 （1）AB →＋BC →＋CD →, （2）AB →＋GD →＋EC →, 并标出化简结果的向量．解 （1）AB →＋BC →＋CD →= AC u u u r ＋CD →＝AD →.(2)∵E, F, G 分别为BC, CD, DB 中点．∴BE u u u r ＝EC →, EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC → = AB →＋BE →＋EF →= AF u u u r9. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN u u u u r = 1()2AB CD +u u u r u u u r证明MN u u u u r =MA AB BN ++u u u r u u u r u u u r又MN u u u u r =AB MC DN ++u u u r u u u u r u u u r , ∴2MN u u u u r = ()()MA MC AB CD BN DN +++++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由于M,N 分别是AC 和BD 的中点,所以．MA MC +u u u r u u u u r= 0. ∴MN u u u u r ＝ 12(AB →＋CD →)．10．设A 是△BCD 所在平面外的一点, G 是△BCD 的重心．求证：1(3AG AB =+u u u r u u u r AC →＋AD →)．证明 连结BG, 延长后交CD 于E, 由G 为△BCD 的重心,知 23BG BE =u u u r u u u r∵E 为CD 的中点, ∴BE u u u r ＝12BC →＋12BD →.∴AG u u u r ＝AB →＋BG → = AB →＋23BE →=AB →＋13(BC uuu r ＋BD →)=AB → +1()()3AC AB AD AB ⎡⎤-+-⎣⎦u u ur u u u r u u u r u u u r=13(AC →＋AC →＋AD →)．。
空间向量及其加减运算
设AB a, AD b, AA c, 用a,b, c表示BD
D
A
C B
BD b c a
cD
Ab
a
C B
例2、空间四边形ABCD中，
求证：AD BC AC BD
证明： AD BC AC BD B
= (AD AC) (BC BD)
= CD DC
C
=0
AD BC AC BD
加法交换律
运
a + b = b + a；
算
加法结合律
律
(a + b) + c = a + (b + c)
A a+b+c
= AB +BC +CD
= AC +CD
= AD
结论1： 首尾顺次相接的若干向量之和
a
D
BC
b
c
=__由_起__始__向__量__的_起__点__指__向__末_尾__向__量__的__终_点__的__向__量_ ．
桓台二中 ** ** **
问题:
如图:三个相互垂直的力 F1 , F2 , F3 作用于
同一个物体上,请标出其合力.
F2
F3 F1
|F1|=10N |F2|=15N |F3|=15N
一、空间向量的概念
概念
平面向量
空间向量
定义
表示 方法
既有大大小小又有方方向向的量 既有大小又有方向的量
几何表示：
几何表示：
a a 字母表示： AB
字母表示： AB
相等
模：
向量 方向：
相等 相同
模： 方向：
相等 相同
相反
时空间向量及其加减运算课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1．1 空间向量及其运算
1．1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其加减运算
[课程目标] 1.理解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算．
(1)定义：在空间，具有__大__小____和__方__向____的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的__大__小____．
给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；
②在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→C ＝A1C1；
③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④空间中任意两个单位向量的模必相等．
其中正确命题的序号是______①__②__④______．
例2 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各式运算 结果为 BD1 的是( A )
如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，下列等式正确的个数是( B )
①B→A ＋A1C1＋A1A＝B1C；
②A→C －AA1＋C1B1＝BA1；
③C1C＋C→A －C1B＝A→B ；
④B→A －B→C －CC1＝C1A．
A．1
B．2
C．3
D．4
例3 如图，在六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 中， 化简 A1F1－E→F ＋D→F ＋E1D1＋CC1， 并在图中标出化简结果的向量．
(3)表示方法：
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用 __有__向__线__段____表示．若向量a的起点
是A，终点是B，则向量a也可记作__A_→B___，其模记为__|_a_| __或 __|_A→_B__| __．
[研读]和平面向量一样，空间向量只有大小和方向，而无特定的 位置，空间向量可以作任意平移；空间向量可以用有向线段表
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提升总结
（1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的 有向线段表示同一或相等的向量 . （3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量，
（zero vector），记为 0 .当有向线段的起点A与 终点B重合时，AB = 0 .
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两 个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
一、回顾本节课你有什么收获？
1.空间向量的概念. 在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算. 空间向量的加减运算:三角形法则和平行
四边形法则.
3.空间向量的加法符合交换律，结合律. 4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内， 成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们.
3.（2013·福建高二检测）空间两向量 a, b 互为 相反向量，已知向量| b | 3 ，则下列结论正确的 是（ D ）
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向 不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件． 2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满 足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
生命之灯因热情而点燃，生命之舟因 拼搏而前行.
引入 复习平面向量
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示. 字母表示法： 用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 A B 表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
ab b
a
平行四边形法则
ab
b
a
三角形法则(首尾相连)
⑵向量的减法
三角形法则
减向量 b
ab a 被减向量
减向量终点指向被减向量终点
看下面建筑
这个建筑钢架 中有很多向量，但 它们有些并不在同 一平面内——这就 是我们今天要学习
的空间向量.
探究点1 概念
模为1的向量
长度为零的向量
空间向量 方向相同且模相等的向 量 长度相等且方向 相反的向量
1. 空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做
空间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
2. 空间向量的表示
向量 a 的起点是
A，终点是B，则向量
a 也可以记作AB，其 模记为|a |或|AB|
B
A
提升总结
（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ，b 的长度相同，方
向相同或相反;
②若向量a 是向量 b 的相反向量，则|a |＝|b |;
③空间向量的减法满足结合律; ④在四边形 ABCD 中，一定有A→B＋A→D＝A→C.
其中正确说法的序号是___②_______．
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)ABBC.
AC
(2 )A B A D A A '.
D' A'
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
探究点2 空间向量的加减运算
1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间，所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同.
A a
o
B
b
C
B
o
a
A
加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.
你能证明 下列性质吗？
3.对空间向量的加减法的说明
(1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然 成立. (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量 相加.
4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量． 即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
二、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
在空间，具有大小和方 具有大小和方向的量 向的量
表示法
几何表示法 字母表示法 a A B
几何表示法 字母表示法 a A B
向量的模 向量的大小 a A B 向量的大小 a A B
相等向量
相反向量 单位向量 零向量
平面向量 方向相同且模相等的 向量 长度相等且方向 相反的向量
2. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
证明加法结合律: O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c).
AC AA' A C C C '
AC'
D A
C' B'
C B
提升总结
始点相同的三个不共面向量之和，等于
以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始
点为始点的体对角线所表示的向量.
(2 )A B A D A A '.
AC AA' A C C C '
D' A'
D
AC'
A
C' B'
C B
1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 a，b 满足 | a || b | ，则 a b .
（3）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有 AC=A1C1 . （4）若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p，
则 m p .
（5）空间中任意两个单位向量必相等.