空间向量及其加减运算
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4. 相等向量（equal vector） 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
提升总结
（1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的 有向线段表示同一或相等的向量 . （3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量，
（zero vector），记为 0 .当有向线段的起点A与 终点B重合时，AB = 0 .
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两 个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
一、回顾本节课你有什么收获？
1.空间向量的概念. 在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算. 空间向量的加减运算:三角形法则和平行
四边形法则.
3.空间向量的加法符合交换律，结合律. 4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内， 成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们.
3.（2013·福建高二检测）空间两向量 a, b 互为 相反向量，已知向量| b | 3 ，则下列结论正确的 是（ D ）
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向 不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件． 2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满 足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
生命之灯因热情而点燃，生命之舟因 拼搏而前行.
引入 复习平面向量
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示. 字母表示法： 用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 A B 表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
ab b
a
平行四边形法则
ab
b
a
三角形法则(首尾相连)
⑵向量的减法
三角形法则
减向量 b
ab a 被减向量
减向量终点指向被减向量终点
看下面建筑
这个建筑钢架 中有很多向量，但 它们有些并不在同 一平面内——这就 是我们今天要学习
的空间向量.
探究点1 概念
模为1的向量
长度为零的向量
空间向量 方向相同且模相等的向 量 长度相等且方向 相反的向量
1. 空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做
空间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
2. 空间向量的表示
向量 a 的起点是
A，终点是B，则向量
a 也可以记作AB，其 模记为|a |或|AB|
B
A
提升总结
（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ，b 的长度相同，方
向相同或相反;
②若向量a 是向量 b 的相反向量，则|a |＝|b |;
③空间向量的减法满足结合律; ④在四边形 ABCD 中，一定有A→B＋A→D＝A→C.
其中正确说法的序号是___②_______．
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)ABBC.
AC
(2 )A B A D A A '.
D' A'
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
探究点2 空间向量的加减运算
1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间，所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同.
A a
o
B
b
C
B
o
a
A
加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.
你能证明 下列性质吗？
3.对空间向量的加减法的说明
(1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然 成立. (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量 相加.
4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量． 即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
二、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
在空间，具有大小和方 具有大小和方向的量 向的量
表示法
几何表示法 字母表示法 a A B
几何表示法 字母表示法 a A B
向量的模 向量的大小 a A B 向量的大小 a A B
相等向量
相反向量 单位向量 零向量
平面向量 方向相同且模相等的 向量 长度相等且方向 相反的向量
2. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
证明加法结合律: O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c).
AC AA' A C C C '
AC'
D A
C' B'
C B
提升总结
始点相同的三个不共面向量之和，等于
以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始
点为始点的体对角线所表示的向量.
(2 )A B A D A A '.
AC AA' A C C C '
D' A'
D
AC'
A
C' B'
C B
1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 a，b 满足 | a || b | ，则 a b .
（3）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有 AC=A1C1 . （4）若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p，
则 m p .
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
提升总结
（1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的 有向线段表示同一或相等的向量 . （3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量，
（zero vector），记为 0 .当有向线段的起点A与 终点B重合时，AB = 0 .
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两 个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
一、回顾本节课你有什么收获？
1.空间向量的概念. 在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算. 空间向量的加减运算:三角形法则和平行
四边形法则.
3.空间向量的加法符合交换律，结合律. 4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内， 成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们.
3.（2013·福建高二检测）空间两向量 a, b 互为 相反向量，已知向量| b | 3 ，则下列结论正确的 是（ D ）
A． a b
B． a b 为实数 0
C． a 与b 方向相同 D．| a | 3
提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向 不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向 量相等的必要不充分条件． 2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满 足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
生命之灯因热情而点燃，生命之舟因 拼搏而前行.
引入 复习平面向量
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示. 字母表示法： 用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 A B 表示．
相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B
D
A
C
⒉平面向量的加减法运算 ⑴向量的加法：
ab b
a
平行四边形法则
ab
b
a
三角形法则(首尾相连)
⑵向量的减法
三角形法则
减向量 b
ab a 被减向量
减向量终点指向被减向量终点
看下面建筑
这个建筑钢架 中有很多向量，但 它们有些并不在同 一平面内——这就 是我们今天要学习
的空间向量.
探究点1 概念
模为1的向量
长度为零的向量
空间向量 方向相同且模相等的向 量 长度相等且方向 相反的向量
1. 空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做
空间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
2. 空间向量的表示
向量 a 的起点是
A，终点是B，则向量
a 也可以记作AB，其 模记为|a |或|AB|
B
A
提升总结
（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量
其中不正确命题的个数是（ C ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ，b 的长度相同，方
向相同或相反;
②若向量a 是向量 b 的相反向量，则|a |＝|b |;
③空间向量的减法满足结合律; ④在四边形 ABCD 中，一定有A→B＋A→D＝A→C.
其中正确说法的序号是___②_______．
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量．即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量
表达式，并标出化简结果的向量.
(1)ABBC.
AC
(2 )A B A D A A '.
D' A'
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.
探究点2 空间向量的加减运算
1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一 空间，所以空间向量的加减运算与平面向量 的加减运算相同.
A a
o
B
b
C
B
o
a
A
加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.
你能证明 下列性质吗？
3.对空间向量的加减法的说明
(1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然 成立. (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量 相加.
4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量． 即：
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
二、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
在空间，具有大小和方 具有大小和方向的量 向的量
表示法
几何表示法 字母表示法 a A B
几何表示法 字母表示法 a A B
向量的模 向量的大小 a A B 向量的大小 a A B
相等向量
相反向量 单位向量 零向量
平面向量 方向相同且模相等的 向量 长度相等且方向 相反的向量
2. 空间向量的加法运算律 （1）加法交换律
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
证明加法结合律: O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c).
AC AA' A C C C '
AC'
D A
C' B'
C B
提升总结
始点相同的三个不共面向量之和，等于
以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始
点为始点的体对角线所表示的向量.
(2 )A B A D A A '.
AC AA' A C C C '
D' A'
D
AC'
A
C' B'
C B
1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 a，b 满足 | a || b | ，则 a b .
（3）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有 AC=A1C1 . （4）若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p，
则 m p .
（5）空间中任意两个单位向量必相等.