高等数学函数

高等数学函数

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函数—研究对象本章内容极限—研究方法分析基础连续—研究桥梁

§1 函数

本节内容: 一、邻域

二、函数的概念

三、基本初等函数

四、复合函数

五、初等函数

一、邻域

1. 定义1: 设,

a R R δ+∈∈, 则

—点a 的

δ邻域

高等数学函数

a —(,)U a δ的中心, δ—(,)U a δ的半径.

2. 定义2:

{}(,)||(,)(,)U a x x a a a a a δδδδ=<-<=-+0

—点a 的去心

δ邻域

二、函数的概念

f ——定义在D 上的函数;

D ——定义域;

x ——自变量;

y ——因变量;

高等数学函数

()f x 0——x 0处的函数值;

{}(),W y y f x x D ==∈——值域.

注意: 函数的两个要素——定义域和对应法则.

补例1 求下列函数的定义域.

(1)

y =

1

(2) ln y x =+1

2

.

三、基本初等函数

基本初等函数指下列5类:

幂函数 是常数()y x μ

μ=

指数函数 是常数(,,)x

y a a a a =>≠01 对数函数 是常数log (,,)a y x a a a =>≠01

三角函数

sin ,cos ,tan ,cot ,

sec ,csc y x y x y x y x y x y x

======

反三角函数

arcsin ,arccos ,arctan ,arccot y x y x y x y x ====

高等数学函数

(一) 幂函数

1. 幂函数的定义:

()y x R μ

μ=∈

2. 幂函数的图形及性质:

图

1-2

2

x -1

图

1-1

2

高等数学函数

(a)

μ

取不同值, 幂函数的定义域及值域均可能不同;

(b) 对任意

μ, 函数图形都过点(1,1); 当0μ>时, 图形过点(0,0)和(1,1); (c) 当0μ>时, 幂函数在(0,)+∞为单调递增函数; 而0μ<时, 幂函数在(0,)+∞为单调递减函数;

(d) 幂函数为无界函数.

3. 幂函数的运算性质:

(a) a a a αβαβ

+⋅=;

(b) a a

a ααββ-=;

(c) ()a a αβαβ

=;

(d) ()

a b a b μ

μ

μ

⋅=⋅.

(二) 指数函数

1. 指数函数的定义:

(0,1;)x y a a a x R =>≠∈且

2. 指数函数的图形及性质:

高等数学函数

(a) 定义域为R , 值域为R +

;

(b) a 不论取何值, 函数图形都过点(0,1);

(c) 当1a >时, 指数函数为单调递增函数,

而01a <

<时, 指数函数为单调递减函数;

(d) 指数函数为无界函数;

(e) 指数函数是非奇非偶函数.

3. 指数函数的运算性质:

及幂函数的运算性质相似, 略.

(三) 对数函数

1. 对数函数的定义:

()log 0,1;(0,)a y x a a x =>≠∈+∞且

其中a ——底数.

一种特殊对数:

ln y x =.

2. 对数函数的图形及性质:

(a) 定义域为R +

, 值域为R ;

(b) a 不论取何值, 函数图形都过点(1,0);

(c) 当1a >时, 对数函数为单调递增函数;

图 1-3

图 1-4

x

高等数学函数

而01a <

<时, 对数函数为单调递减函数;

(d) 对数函数为无界函数;

(e) 对数函数是非奇非偶函数.

3. 对数函数的运算性质:

(a) log ()

log log a a a uv u v =+;

(b) log log log a a a u

u v v =-;

(c) log log v

a a u v u =; (d) ln log ln a x

x a

=.

高等数学函数

(四) 三角函数

1.

sin ,cos y x y x ==: sin y x =——正弦函数; cos y x =——余弦函数. sin ,cos y x y x ==的图形及性质:

(a) 定义域均为R , 值域均为[1,1]-;

(b)

sin ,cos y x y x ==均为非单调函数; (c) sin ,cos y x y x ==均为有界函数;

高等数学函数

(d)

sin y x =为奇函数, cos y x =为偶函数; (e) sin ,cos y x y x ==均为周期函数. 2. tan ,cot y x y x ==:

tan y x =——正切函数; cot y x =——余切函数. tan ,cot y x y x ==的图形及性质:

(a) tan y x =定义域为1

\{()}2

R k π+, cot y x =定义域为\{}R k π,

值域均为R ;

图 1-6