第六章概率分布
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
第六章概率分析
T 70 65 60 56
正态分布表的应用
①将原始数据整理为次数 分布表； ②计算各组上限以下累加 次数； ③计算各组中点以下累加 次数； ④计算各组中点以下累积 比率； ⑤查正态分布表，将概率 转化为Z分数； ⑥将正态化以后的Z值进行 线性转换：T=10Z+50
140135130125-
120115110105100959085807570-
122
117 112 107 102 97 92 87 82 77 72
28
16 16 8 9 8 7 6 6 5 5
0.14
-0.17 -0.40 -0.59 -0.73 -0.90 -1.06 -1.25 -1.46 -1.70 -2.12
51
48 46 44 43 41 39 38 35 33 29
分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；
先抽一白球、后抽一黑球。
3 2 2 3 P 0.48 5 5 5 5
例4
一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两
次或两次以上H的概率是多少？
解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH
THT HTT TTT共8种。每种情况出现的概率，为
根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为
离散型随机变量与连续型随机变量。
当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离
散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因 取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。
离散分布与连续分布
离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分
布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率 分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。
2025版新教材高中数学第六章概率4二项分布与超几何分布4
4．2 超几何分布必备学问基础练学问点一超几何分布的概念1.下列随机事务中的随机变量X 听从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面对上的次数X B ．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数XC ．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数2．下列随机变量X 是否听从超几何分布？假如听从，那么各分布的参数(即定义中的N ，M ，n)分别是多少？(1)一个班共有45名同学，其中女生20人，现从中任选7人，用X 表示其中女生的人数；(2)从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中取出a 张牌，用X 表示取出的黑桃的张数．学问点二超几何分布的简洁应用3.已知在15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中随意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不便利的村庄数，则下列概率等于C 47 ·C 68C 1015的是( )A ．P(X ＝2)B ．P(X≤2)C ．P(X ＝4)D ．P(X≤4)4．生产方供应一批50箱的产品，其中有2箱不合格品，选购 方接收该批产品的标准是从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率是________．5．设口袋中有黑球，白球共7个，从中任取2个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ＝67，则口袋中白球的个数为________．6．现有7个红球，8个黑球，一次取出4个球． (1)求取出的球中恰有一个红球的概率；(2)若取出的球中黑球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX.关键实力综合练一、选择题1．30件产品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不听从超几何分布的是( )A ．抽取的5件产品中的一等品数B ．抽取的5件产品中的二等品数C ．抽取的5件产品中的三等品数D ．30件产品中的三等品数2．一批产品共有50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中随意抽取2件，其中出现次品的概率是( )A ．44245B ．949C ．46245D ．472453．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P(X ＝4)＝( )A ．1220B ．2755C ．2125D ．272204．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中随意选3个村，下列事务中概率等于67的是( ) A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村5．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列算式中等于C 122 C 14 ＋C 222C 226的是( ) A ．P(0＜X≤2) B ．P(X≤1) C ．P(X ＝1) D ．P(X ＝2)6．[探究题]两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从全部面试的人中聘请3人，你们俩同时被聘请进来的概率为170.”则依据这位负责人的话可以推断出参与面试的总人数为( )A ．21B ．35C ．42D ．70 二、填空题7．15个村庄中有7个村庄交通不便利，现从中随意选10个，用X 表示这10个村庄中交通便利的村庄数，若P(X ＝a)＝C 47 C 68C 1015，则a ＝________．8．从3个男生和n 个女生中，任选3人参与竞赛，若3人中至少有1个女生的概率为3435，则n ＝________．9．[易错题]一个口袋内有n(n ＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和n －3个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是35.不放回地从口袋中随机取出3个球，则取到白球的个数ξ的期望Eξ为________．三、解答题10．某班级组织学问竞赛，已知题目共有10道，某人只能答对其中6道，现随机抽取3道让他回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，试求：(1)随机抽取的3道题中他能答对的题目数的分布列和数学期望； (2)他能通过初试的概率．学科素养升级练1．[多选题]某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中随意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为( )A ．1－C 410 ＋C 22 C 210 C 412B ．C 02 C 410 ＋C 12 C 310 C 4100 C ．1－C 12 C 412 D ．C 12 C 310C 4122．从4名男生和2名女生中任选3人参与数学竞赛，则所选3人中，女生不超过1人的概率为________．3．[学科素养——数学运算与逻辑推理]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (ⅱ)设A 为事务“抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，求事务A 发生的概率．4．2 超几何分布必备学问基础练1．解析：由超几何分布的定义可知B 正确． 答案：B2．解析：(1)X 听从超几何分布，其参数N ＝45，M ＝20，n ＝7. (2)X 听从超几何分布，其参数N ＝52，M ＝13，n ＝a .3．解析：由题意得，变量X 听从超几何分布，基本领件总数为C 1015 ，所求事务数为C X7 C 10－X8 ，∴P (X ＝4)＝C 47 ·C 68 C 1015，故选C.答案：C4．解析：一批50箱的产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱产品中不合格品的箱数”，则X 听从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是“5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品”，所以被接收的概率为P (X ≤1)，P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02 C 548 C 550 ＋C 12 C 448 C 550＝243245.即这批产品被接收的概率为243245.答案：2432455．解析：设口袋中白球有n 个，则由超几何分布的概率公式可得Eξ＝2n 7＝67，解得n＝3.答案：36．解析：(1)共有15个球，取出4个的基本领件总数是C 415 ，其中恰有一个红球的基本领件个数是C 17C 38，故取出的球中恰有一个红球的概率是C 17 C 38 C 415＝56195.(2)由题意知，取出的球中黑球的个数X 的全部可能取值为0，1，2，3，4，且X 听从参数为N ＝15，M ＝8，n ＝4的超几何分布．P (X ＝0)＝C 08 C 47 C 415 ＝139，P (X ＝1)＝C 18 C 37 C 415 ＝839，P (X ＝2)＝C 28 C 27 C 415 ＝2865，P (X ＝3)＝C 38 C 17 C 415 ＝56195，P (X ＝4)＝C 48 C 07 C 415 ＝239.故XEX ＝4×815＝3215.关键实力综合练1．解析：选项A ，B ，C 中的产品数都是变量，且满意超几何分布的形式和特点；而选项D 中的三等品数是常数，不是变量．答案：D2．解析：随意抽取的2件产品中的次品数X 听从超几何分布，其中P (X ＝1)＝C 15 C 145C 250 ＝949，P (X ＝2)＝C 25 C 045 C 250＝2245，因此出现次品的概率为P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝47245. 答案：D3．解析：因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为X ＝4，即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P (X ＝4)＝C 19 C 23 C 312 ＝27220，故选D.答案：D4．解析：用X 表示选到的3个村中深度贫困村的个数，则X 听从参数N ＝7，M ＝3，n ＝3的超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 3 C 3－k 4 C 37 (k ＝0，1，2，3)，则P (X ＝0)＝C 03 C 34 C 37 ＝435，P (X＝1)＝C 13 C 24 C 37 ＝1835，P (X ＝2)＝C 23 C 14 C 37 ＝1235，P (X ＝3)＝C 33 C 04 C 37＝135.所以P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝67，即有1个或2个深度贫困村的概率为67.答案：B5．解析：由题意知，随机变量X 听从参数为N ＝26，M ＝4，n ＝2的超几何分布，其中X 的全部可能取值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 222 C 226 ，P (X ＝1)＝C 14 C 122 C 226 ，P (X ＝2)＝C 24C 226.故P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 222 ＋C 14 C 122C 226 . 答案：B6．解析：设共有n (n ∈N ＋，n ≥3)个人参与面试，则从n 个人中聘请3人的结果共有C 3n 种，其中两位同学同时被招进的结果有C 22 C 1n －2 种，所以两位同学同时被招进的概率为P ＝C 22 C 1n －2 C 3n＝170，解得n ＝21. 答案：A7．解析：由题意知，X 听从参数为N ＝15，M ＝8，n ＝10的超几何分布，故a ＝6. 答案：68．解析：由题意得，参赛的3人中没有女生的概率为C 33 C 0n C 3n ＋3 ＝1－3435＝135，解得n ＝4.答案：49．解析：∵p ＝35，∴3n ＝35，故n ＝5，∴5个球中有2个白球．方法一：白球的个数ξ的全部可能取值为0，1，2. P (ξ＝0)＝C 33 C 02 C 35 ＝110，P (ξ＝1)＝C 23 C 12 C 35 ＝35，P (ξ＝2)＝C 13 C 22 C 35＝310.故Eξ＝110×0＋35×1＋310×2＝65.方法二：白球个数ξ听从参数为N ＝5，M ＝2，n ＝3的超几何分布，则Eξ＝nM N ＝3×25＝65. 答案：6510．解析：(1)设随机抽出的3道题目中某人能答对的题目数为X ，且X 的全部可能取值为0，1，2，3，X 听从超几何分布，则P (X ＝0)＝C 34 C 310 ＝130，P (X ＝1)＝C 24 C 16 C 310 ＝310，P (X ＝2)＝C 14 C 26 C 310 ＝12，P (X ＝3)＝C 36 C 310 ＝16，所以X 的分布列为所以EX ＝3×610＝95.(2)由题意知，“他能通过初试”包括“答对2道题”和“答对3道题”两种状况，且这两种状况是互斥的，依据(1)中的结果可以得出P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.学科素养升级练1．解析：随意抽取4个产品有C 412 种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有C 12C 310种，故所求事务的概率为C 12 C 310C 412.故选D.“恰好有1个二等品”的对立事务是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A 选项也对．答案：AD2．解析：设所选女生数为随机变量X ，则X 听从超几何分布，所以P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02 C 34 C 36 ＋C 12 C 24 C 36＝45.答案：453．解析：(1)由已知得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(ⅰ)随机变量X 的全部可能取值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k4 ·C 3－k3C 37 (k ＝0，1，2，3).所以随机变量X 的数学期望为EX ＝3×47＝127.(ⅱ)设事务B 为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事务C 为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(ⅰ)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以事务A 发生的概率为67.。
第六章 6.2 马尔可夫链的概率分布
如果个体当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收 入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体 收入等级的概率分布，并具体计算n=10时，个体收入 等级的概率分布。
i
= ∑ P ( X 0 = i, X n = j )
i
= ∑ P( X 0 = i) ⋅ P( X n = j X 0 = i)
i
= ∑ q p (0)
(0) i (n) ij i
n ≥ 0, i, j ∈ S
对于齐次马尔可夫链，上述结论可表示为
q
(n)
=q P , n≥0
(0) n
有限维分布 定理6.2.2 马尔可夫链X的有限维分布由其初始分 布和一步转移概率所完全确定. 证明 对∀n ≥ 1, ∀0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tn , i1 , i2 , ⋯, in , i ∈ S
i
= ∑ P ( X 0 = i, X t1 = i1 , X t2 = i2 ,⋯ , X tn = in )
i
= ∑ P ( X 0 = i ) ⋅ P( X t1 = i1 X 0 = i ) ⋅ P ( X t2 = i2 X 0 = i, X t1 = i1 )
i
⋅⋯ ⋅ P ( X tn = in X 0 = i , X t1 = i1 ,⋯ , X tn−1 = in −1 )
(2) 其中p02 为两步转移概率，是两步转移概率
矩阵中第一行第三列元素.
（2） 而P = P2
= 5 9 3 9 1 6 3 9 7 18 5 12 1 9 5 18 5 12
第六章 6.4 转移概率的极限与平稳分布
(v) (nd j r v)
ij
jj
v1
除n时,p(jjn) 0. 仅当v ld j r时，
n
f p (ld j r ) ((nl )d j )
ij
jj
l 0
l 0，1， ,n有
p(nd j r v) jj
0)
n
即 p f p (nd j r) ij
(ld j r ) ((nl )d j )
一个平稳分布，如果有
j i pij , iS
或矩阵形式为
＝Ｐ
jS
其中 ={1,2, }, P ( pij )为X的转移概率矩阵。
显然 若概率分布{ j , j S}是齐次马氏链X
的平稳分布，则也有
j
p , (n) i ij
j S, n 1, 2,
iS
或矩阵形式为
＝Ｐn
总之，:当马氏链X={X n, n 0,1, }为不可约的遍历链时，
事实上若上式对某个j成立严格不等式则两边事实上若上式对某个j成立严格不等式则两边关于j求和得证极限满足条首先反复利用可以得到ikkjikkjikkj又由于转移概率一致有界因此令n又由于转移概率一致有界因此令nlimli最后证的唯一性唯一性得证例643设在任意一天里人的情绪是快乐的一般的和忧郁的
6.4 转移概率的极限与平稳分布
(n)不存在
jj
综上，转移概率的极限有不同的情况，为此，关于转 移概率极限问题的讨论做以下假设：
总假定 j是正常返且i是非常返 或者 j和i属于同一个正常返类
又考虑到，当j为正常返周期态时，lim n
p（jjn）不存在，
但是状态转移遵从周期链原则，为此, 一般讨论以下 形式的极限
lim
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
第六章__概率分布
二、正态分布表的编制与使用
• （一）正态分布表的编制与结构
• 正态分布表的结构一般包括三栏
• 第一栏：Z分数单位；
• 第二栏：密度函数或比率数值（y）；
• 第三栏：概率值（p）。
• （二）正态分布表的使用
2
3
• 当g2=0时，正态分布的峰度；g2>0时，分布的峰度 比正态分布的峰度低阔；g2<0时，表明分布的峰度比 正态分布的峰度高狭。当N>1000时，g2值才比较可 靠。
• （三）累加次数曲线法
• 正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重
合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。
• 四、正态分布理论在测验中的应用
-0.84 -0.525 0 0.84 1.645 2.33
4.160 4.475 5.000 5.840 6.645 7.330
• （三）在能力分组或等级评定时确定人数
• ①将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z
分数等距；
• ②查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等
距的情况下应有的比率； • ③将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分 组该有的人数。
• （二）二项分布
• 二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布。也称 两个对立事件的概率分布。
• 二项分布同二项定理有着密切的关系：
n 1 n1 n1 n1 n n (p+q)n =C0 p +C p q + +C pq +C n n n nq
x x n x (p +q)n = Cn pq n
心理统计学课件第六章 概率分布
（三）正态分布的特征
正态分布的形式是对称的，它的对称轴是 经过平均数点的垂线。
正态分布的中央点（即平均数点）最高， 然后逐渐向两侧下降。
正态曲线下的面积为1，平均数点的垂线 将面积划分为相等的两部分0.50。
正态分布曲线，标准差与概率有一定的数 量关系。
二、正态分布表的结构与使用
2、已知P值，求Z分数
已知从平均数开始的概率值，求Z值 已知位于两端的概率值，求该概率分界点
上的Z值 已知正态曲线中间部分的概率，特定区间的人数 求考试成绩中某一特定人数比率的分数界
限 按能力分组或等级评定时确定人数 将等级评定结果转化为测量数据
按能力分组或等级评定时确定人数
要把100人在某一能力上分成5个等级， 各等级应该有多少人？
将等级评定结果转化为测量数据
某教师评价全班50人的作文，有8人优， 17人良，20人中，5人及格，求各等级的 标准分数
求考试成绩中特定区间的人数
已知某年级200名学生考试呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲 的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低 的学生人数是多少？
求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10 分，要择优录取25%的学生进入高一级学 校学习，问最低分数线应是多少？
第六章 概率分布 第三节 正态分布
一、正态分布特征
（一）正态分布的概念 与二项概率分布对比 变量类型 图形
正态分布：
在一个概率分布中，中间频数多，两 端频数对称地减少，成为一种“钟”形对 称的理论概率分布。
（二）正态分布曲线
标准正态分布的密度函数：
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
第六章 概率与概率分布练习题
第六章 概率与概率分布一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（机会均等 ）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或ϕ)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。
所不同的是，)(x F 累计的是（概率 ）。
3．如果A 和B （互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。
6．抽样设计的主要标准有（最小抽样误差原则 ）和（最少经济费用原则 ）。
7．在抽样中，遵守（随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。
9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（互斥 ）事件。
10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。
二、单项选择1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。
A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。
2.在次数分布中，频率是指（ ）A.各组的频率相互之比B.各组的分布次数相互之比C.各组分布次数与频率之比D.各组分布次数与总次数之比 3．若不断重复某次调查，每次向随机抽取的100人提出同一个问题，则每次都能得到一个回答“是”的人数百分数，这若干百分数的分布称为：（ D ）。
A ．总体平均数的次数分布B ．样本平均的抽样分布C ．总体成数的次数分布D ．样本成数的抽样分布 4．以等可能性为基础的概率是（A ）。
A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。
5．古典概率的特点应为（ A ）。
A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是无限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。
6．任一随机事件出现的概率为（ D ）。
A 在–1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。
教育统计学第六章 概率及概率分布
( 0, )
标准正态分布
如果把总频数看成是1，随机变量的分布密度是
f ( x)
1 2
( x )2 2 2
e
( 0 , )
二者相比：
f ( x)
N e 2
x 2
2 2
( 0, )
92 P( A) 0.514 179
87 P( B) 0.486 179
7 P (C / A) 0.076, 92 12 P (C / B ) 0.137, 87
P( AC ) P( A) P(C / A) 0.514 0.076 0.039
P( BC ) P( B) P(C / B) 0.486 0.137 0.067
由于F值是两个总体方差的比值，所以F值均为正 值，故F的图象处于正半轴的上方 ，其最小值为0，最 大值为无穷大。
F值可通过查值表求得
左右两侧临界值之间的关系为：
1 F1 / 2 df1 , df2 F / 2 df2 , df1
例如：查表得 则
F0.05 / 2 8,9 4.10
1 2 c5 c35 p( A1 ) 3 c40
0.301
2 1 c5 c35 p( A2 ) 3 0.035 c40
3 c5 p( A3 ) 3 c40
0.001
p( A) p( A1 A2 A3 ) p( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
例3 某班共有40名学生，如果其中只有5人没 有完成作业，而其它学生都较好地完成了作业。若 从该班中随机抽出3人检查作业完成情况，问至少 抽到一人未完成作业的概率是多少？
第六章.ppt数理统计
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
概率论第六章
对有限总体，采用放回抽样所得到的样本为简单随 机样本。
当样本容量 n 与总体容量N 相比很小时, 可将无放 回抽样近似地看作放回抽样.(n/N<1/10)
对于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布， 所以总是用不放回抽样。
(X 1,X 2, ,X n)是 来 自 总 体 的 样 本 ,求 样 本 (X 1,X 2, ,X n)的 分 布 律 .
解 总体X的分布律P 为 {X x}px(1p )1 (x x 0, 1)
因 X 1 ,为 X 2 , ,X n 相互 ,且与X独 有相立 同的分 , 布
所 (X 以 1,X 2, ,X n)的分布律为
X 1 k ,X 2 k , ,X n k 独立 X k 同 且 分 与 布
E ( X 1 k ) E ( X 2 k ) E ( X n k ) k
由辛钦定理
A
k
1 n
n i 1
X
k i
P k , k
1, 2,
,
说明2
依概率收敛的序列性质知道 g为连续函数
g( A1, A2 ,, Ak ) P g(1, 2 ,, k )
10 i 1
( xi
x )2
390.0
9 10
s2
21
3. 经验分布函数(与总体分布函数F(x)相对应的统计量)
设 X 1 ,X 2 , ,X n 是 总 体 X 的 一 个 样 本 , 用 s (x ) , x 表 示 X 1 ,X 2 , ,X n 中 不 大 于 x 的 随 机 变 量 的 个 数 ,
基本概念: 个体 总体无有限限总总体体 样本 样本值 总体的分布 样本的分布
管理统计学6 第六章 概率及其分布
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时，均 值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的变 化而变化，当P=0.5时基本对称。
式中，Cnx
n!
x!n
x!
表示n个产品取x个不合格品的组合数。
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
例题: 已知产品合格率为0.9，对产品检验100次，出现2次不合格品的概 率。 解:
C1200 0.120.91002 4950 0.01 0.00003279 0.0016231
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6.3 正态分布
6.3.1 正态分布的特点
总体落在总体平均数1倍标准差周围的概率为68.26%。即 当t=1时，则有
P X P X 1 68.26%
总体落在总体平均数2倍标准差周围的概率为95.45%。即 当t=2时，则有
二项分布的均值为 标准差为
np
npq
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时， 均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的 变化而变化，当P=0.5时基本对称。
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学习目标
本章要掌握: 1. 数据与概率的关系; 2. 从概率分布上把握统计的特点; 3. 正态分布及其概率计算方法（学习的重点)。
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统计基础试题——概率与概率分布
第六章概率与概率分布一、填空题1．随机变量按其取值情况可以分为和两类。
2．任一离散型随机变量的分布都必须满足以下两个条件：条件一是，条件是。
3．某种考试有10道判断题，若有一个对题目毫无所知的人，对10道题任意猜测，猜对的题目数为X，则X服从分布，其猜对6题的概率是，及格（猜对6题以上）的概率是。
4．正态分布的概率密度函数曲线的图形是一个曲线，它是关于直线对称的。
5．大数定律也称。
其中最著名的是大数定律和大数定律。
6．中心极限定理是指在一定条件下，大量相互独立的随机变量的分布是以为极限的一系列定理的总称。
最常用的中心极限定理有中心极限定理和中心极限定理。
二、单项选择题1．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，反之，如果已知P（A）=1，P（B）=0，则（）A．A为必然事件，B为不可能事件B．A为必然事件，B不必为不可能事件C．A不必为必然事件，B为不可能事件D．都不一定2．设X～N（μ，σ2），Y=aX+b，则Y服从（）。
A．N（aμ+b，σ2）B．N（aμ，aσ2）C．N（aμ+b，a2σ2）D．N（aμ，bσ2）3．一张考卷上有5道选择题，每道题有4个备选答案，其中有一个答案是正确的，若有一个对题目毫无所知的学生，对5道题任意猜测，则其至少猜对4道题的概率为（）。
A．1/64 B．1/62 C．1/66 D．1/684．已知一批计算机元件的正品率为80%，现随机抽取n个样本单位，其中χ为正品数，则χ的分布服从（）。
A．正态分布B．二项分布C．泊松分布D．超几何分布5．某工厂生产的零件出厂时每200个装一盒，这种零件分为合格和不合格两类，合格率为约为99%。
设每盒中的不合格数为X，则X通常服从（）。
A．正态分布B．二项分布C．泊松分布D．超几何分布6．甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下：如果以废品数的多少作为衡量技术高低的标准,试评定两人技术的高低（）。
第六章概率分布2-二项分布、样本分布
抽样图示
抽样图示
回顾直方图、正态分布、近似正态
概率直方图——正态曲线
把一枚硬币抛100次，可能的型式有多少种？出现其中一种型 式的先验概率是多少？怎么计算？
正态近似：每个人都相信【正态近似】，试验者想这 是一个数学定理，数学家想这是一个试验事实。—— G.Lippman法国物理学家(1845-1921)
χ2分布为正偏态分布，自由度越小，偏 斜度越大，当自由度无限增大时，χ2分 布趋于正态分布
在统计检验中，χ2是计数资料分析常用 的统计检验方法。
189页， χ2的和服从自由度的和的χ2分 布
样本分布之四——F分布
F分布是由美国统计学家斯纳德克 （G.W.Snedecor）提出的一种分布。
概率P（A）的数学定义
P(A) Lim n N N
概率的运算规则
概率运算（n个事件同时发生） 加法：互不相容事件
乘法：互相独立的事件
互不相容事件和互斥事件
正态分布
概率密度函数式 正态分布图形态、构成、概率分布特点 正态分布的应用
总体——样本——样本点 正态分布——标准量尺 统一度量衡目的是什么——公平与效率
频率：FN(A)=n/N 概率：当观测次数N趋近于无穷大＋∞时，
FN(A)趋近于一个稳定的数值，我们把它叫做 事件A发生的概率P（A）。
显然，如果对于事件A，经过无穷大＋∞的观察， 果然存在一个P（A）值，那么这个值是由随机事 件本身客观的属性决定的。
在事件A发生的条件稳定的话，它的发生只有唯一 一个P（A）值与它对应。
正态分布曲线下，标准差和概率有一定的数量关系。
正态分布表包括三个部分内容：Z分数、y值和p值。
第六章概率与概率分布-社会统计学
第六章概率与概率分布-社会统计学第六章概率与概率分布第⼀节概率论随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对⽴事件、互相独⽴事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法第⼆节概率的数学性质概率的数学性质（⾮负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运⽤概率⽅法进⾏统计推断的前提第三节概率分布、期望值与变异数概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数⼀、填空1．⽤古典法求算概率．在应⽤上有两个缺点：①它只适⽤于有限样本点的情况；②它假设（）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系⼀样。
所不同的是，)(x F 累计的是（）。
3．如果A 和B （），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（）和（）为抽样推断提供了主要理论依据。
5．抽样推断中，判断⼀个样本估计量是否优良的标准是（）、（）、（）。
6．抽样设计的主要标准有（）和（）。
7．在抽样中，遵守（）是计算抽样误差的先决条件。
8．抽样平均误差和总体标志变动的⼤⼩成（），与样本容量的平⽅根成（）。
如果其他条件不变，抽样平均误差要减⼩到原来的1/4，则样本容量应（）。
9．若事件A 和事件B 不能同时发⽣，则称A 和B 是（）事件。
10．在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃或爱司的概率是（）；在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃且爱司的概率是（）。
⼆、单项选择1．古典概率的特点应为（）。
A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是⽆限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是⽆限的，但可以是具有不同的可能性。
2．随机试验所有可能出现的结果，称为（）。
A 基本事件；B 样本；C 全部事件；D 样本空间。
概率论与数理统计 --- 第六章{样本及抽样分布} 第四节：抽样分布
P T 1.059
0.15.
例2:
从正态总体N ( , 0.5 )中抽取样本X 1 , , X 10 .
2
数理统计
10 2 （1）已知 0，求概率P X i 4 ; i 1 10 2 （2）未知，求概率P ( X i X ) 2.85 . i 1
S1 和S2 分别是这两个样本的样本方差, 则有:
2 2
(1)
S1
2 2
S2
~ F ( n1 1, n2 1);
2 2
若两方差 1 2，则
S1 1
2 2
2 2
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1);
(2)
X Y ( 1 2 ) ( n1 1) S1 ( n2 1) S2
n取不同值时
( n 1) S
2
2
的分布
定理3 (样本均值的分布) 数理统计 设X1, X2, …, Xn是取自正态总体 N(μ, σ2)的样本, 2 X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有:
X S n ~ t ( n 1)
证:由定理1、和t分布的定义可得： 2
X ~ N (0,1), ( n 1) S
2) F分布的分位点:
对于给定的， 1, 称满足条件: 0
P F F ( n1 , n2 )
( y )dy
F ( n1 , n2 )
的点F ( n1 , n2 )为F ( n1 , n2 )分布的上 分位点.
F分布的上分位点的性质：
F1 ( n1 , n2 ) 1 F ( n2 , n1 )
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（一）离散分布与连续分布 离散分布：离散型随机变量的概率分布，即计
数数据的概率分布。常用的离散分布有二项分 布(binomi distribution)、泊松分布 (Poisson distribution)和超几何分布 (hypergeometric distribution)等。
连续分布：连续随机变量的概率分布，即测 量数据的概率分布。常用的连续分布有正态 分布、负指数分布、威布尔分布等。
（二）经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与
理论分布。 经验分布(empirical distribution)：根据观察或实验
所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布(theoretical distribution)：随机变量概率
分布的函数-数学模型；按某种数学模型计算出的 总体的次数分布。
概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。 “密度”一词可以由此理解。
（二）正态分布的特征
1.正态分布的形式是对称的，其对称轴是经过 平均数点的垂线。
2.正态分布的中央点最高，然后逐渐向两侧下 降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐 点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基 线处无限延伸，但终不能与基线相交。
（一）后验概率(posterior probability)或
统计概率
随机事件A的频率
W( A)
m n
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一
个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。
m
P A
lim
n
n
（二）先验概率(prior probability)或古典概 率
古典概率模型要求满足两个条件： ⑴ 实验的所有可能结果（基本事件）是有限
解：投掷硬币可能出现八种结果（HHH、
HHT、HTH、THH、TTH、THT、HTT、
TTT）。每种结果可能出现的概率，依概率
乘法规则计算：1 1 1 1 各为 1 。
222 8
8
设P(A)代表3次H的概率，P(B)代表 “HHT”这种结果的概率，P(C)代表 “HTH”的概率，P(D)代表“THH”的概 率。依据概率加法规则计算：
Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的两个 事件为互不相容事件。 加法定理(additive rule)：两互不相容事件A、 B之和的概率，等于这两个事件概率之和。即
P( AB) PA PB
P( A1A2 +An ) P A1 P A2 P An
（三）概率的乘法定理 独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出
样本统计量主要有平均数、两平均数之差、 方差、标准差、相关系数、回归系数、百分 比率（或概率）等。
统计量是基本随机变量的函数，故抽样分布 也称随机变量函数的分布。
基本随机变量分布与抽样分布是应用于统计 学上的理论分布，是统计推论的重要依据， 只有对它们真正了解，才能明确各种统计方 法的应用条件及注意问题，并对各种具体方 法有较为深刻的理解。
随机变量概率分布的性质，由它的特征数来 表达。这些特征数主要有期望值（理论平均 数）和方差。
（三）基本随机变量分布与抽样分布 依概率分布所描述的数据特征，可将概率分布
分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布：随机变量各种不同取值情 况的概率分布，常用的有二项分布、正态分布。 抽样分布：从同一总体内抽取的不同样本的统 计量的概率分布。
现不发生影响。
相关事件或相依事件：事件A的概率随事件B是 否出现而改变，事件B的概率随事件A是否出现 而改变。
乘法定理(product rule)：两个独立事件同 时出现的概率等于这两事件概率的乘积。
P( AB) PA PB
P( A1A2 An ) P A1 P A2 P An
的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。
P( A)
m n
二、概率的基本性质 （一）概率的公理系统 1．任何一个随机事件Ａ的概率都是非负的。
0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零。 3．必然事件的概率等于1。
（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件
第二节 正态分布
正态分布(normal distribution)：常态分 布、常态分配，是连续随机变量概率分布的一 种，在数理统计的理论与实际应用中占有最重 要地位的一种理论分布。
棣·莫弗、拉普拉斯、高斯
一、正态分布特征 （一）正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般
第六章 概率分布
第一节 第二节 第三节 第四节
概率的基本概念 正态分布 二项分布 抽样分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 在心理与教育研究中，大部分现象属于随机现
象，随机现象又称随机事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出现
的，表明随机事件出现可能性大小的客观指标 就是概率（probability）。 概率的定义有两种，即后验概率和先验概率。
方程为
y
1
X 2
e
2 2
2
分布函数与概率密度函数
分布函数F(x)=P(X<x)，表示随机变量X的值小于x 的概率。
概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变 化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx，那 么，随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx， 即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。
【例】 从52张扑克牌（去掉大小王牌）中有放回地连续抽两
张牌，即抽完第一张后将所抽的牌再放回去，混合好 后再抽第二张。 （1）第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是多 少？ （2）第一次抽取红桃第二次抽取方块的概率是多少？ （3）抽牌两次皆为红色的概率是多少？
【例6-1】一枚硬币掷三次，或三枚硬币各 掷一次，问出现两次或两次以上H的概率是 多少？
P A B C D P A PB PC PD
1111 1 8888 2
三、概率分布类型
概率分布(probability distribution)：对
随机变量取值的概率分布情况用数学方法（函 数）进行描述，一般用概率分布函数进行描述。 概率分布依不同的标准可以分为不同的类型。