二分法求函数零点教案汇编

用二分法求方程的近似解

１、二分法的概念

对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过不断把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。

２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤：

（１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x

（３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点 若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a, 1x )）

若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)）

（４）判断是否达到精确度ε

即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：

若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。 例题讲解：

例1：下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）

解：应选B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。

例2、 利用二分法求方程x x

-=31

的一个近似解（精确到0.1）

。 解：设()31-+=x x x f ，则求方程x x -=31

的一个近似解，即求函数()x f 的一个近似零

点。∵()0212<-=f ，()03

1

3>=f ，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。

用二分法逐次计算，列表如下：

端点（中点）坐标

计算中点的函数值 取区间

[]3,2

5.2x 0=

01.0)5.2(f <-=

[]3,5.2

75.2x 0=

011.0)75.2(f >≈ []75.2,5.2 625.2x 0= 0006.0)625.2(f >≈ []625.2,5.2

5625.2x 0=

0047.0)5625.2(f <-≈

[]625.2,5625.2

∵区间[]625.2,5625.2的左右端点精确到0.1所取的近似值都是2.6， ∴函数)x (f 满足题设的一个近似零点是2.6

故方程

x x

-=31

满足题设的一个近似解是2.6 例3、 二次函数

)R x (c bx ax y 2

∈++=的部分对应值如下表：

解：由上表提供数值大于0的自变量的取值集合是),3()2,(+∞⋃--∞ 评析：开口方向是解题关键信息，零点是－2，3，且开口向上，

例4、已知函数

6x 5x 2x )x (f 23+--=的一个零点为1 （1）求函数的其他零点；

（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。

解：（1）由题意，设n x )m n (x )1m (x )n mx x )(1x ()x (f 2

32--+-+=++-=，

∴⎪⎩⎪

⎨⎧=--=--=-6n 5m n 2

1m

解得⎩⎨

⎧-=-=6n 1

m 令0)x (f =，

即0)6x x )(1x (2

=---，解得=x 1，－2，3 ∴函数的其他零点是－2，3 （2）函数的三个零点将x 轴分成4个区间： ]2,(--∞，]1,2(-，]3,1(，],3(+∞

作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x 的取值范围是：),3()1,2(+∞⋃-

例5、求函数f(x)＝x 2－5的负零点(精确度0.1)．

【解析】 由于f(－2)＝－1<0， f(－3)＝4>0，

故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：

所以函数的一个近似负零点可取－2.25. 达标练习：

1．下列函数零点不宜用二分法的是( )

A ．f(x)＝x 3－8

B ．f(x)＝lnx ＋3 【答案】

C C ．f(x)＝x 2＋22x ＋2

D ．f(x)＝－x 2＋4x ＋1

2．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间( )

A ．(1.25,1.5)

B ．(1,1.25)

C ．(1.5,2)

D ．不能确定

【解析】 由题意知f(1.25)·f(1.5)<0，∴方程的根在区间(1.25,1.5)内，故选A. 3．若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，

参考数据如下：f(1)＝－2， f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984

f(1.375)＝－0.260，f(1.437 5)＝0.16， f(1.406 25)＝－0.0542，

那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________． 【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，

因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是[1.437 5,1.406 25]之间的任意一个数．【答案】 1.437 5 4、方程⎝⎛⎭⎫12x ＝ln x 的根的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【解析】 方法一：令f(x)＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x ， 则f(1)＝－12<0，f(e)＝1－12e

>0， ∴f(x)在(1，e)内有零点．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在定义域内仅有1个零点．方法二：作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x

与y ＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选B. 5、方程2x －

1＋x ＝5的解所在的区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

【解析】 令f(x)＝2x －

1＋x －5，则f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2,3)内有解．故选C.

6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：

A ．(0.6,1.0)

B ．(1.4,1.8)

C ．(1.8,2.2)

D ．(2.6,3.0)

【解】 设f(x)＝2x －x 2，由表格观察出在x ＝1.8时，2x >x 2，即f(1.8)>0；在x ＝2.2时，2x

x

的零点所在的区间是( )

A.⎝⎛⎭⎫0，12

B.⎝⎛⎭⎫12，1

C.⎝⎛⎭⎫1，32

D.⎝⎛⎭

⎫3

2，2