环境流体力学(第二章)

设O点右面有一点p，p到O点距离为x，到某个污染微元的距离 为ξ ，在指定时刻p点的浓度c(x,t)应该等于左面各微小污染源扩 散到p点的浓度dc的迭加，根据瞬时平面源一维扩散解，任意 一个微小污染源扩散到p点的浓度dc为
dc( , t )
c0 d 4 D t
exp(
2
4D t
)
由左半部无限多个微小面源引起的p点浓度
积分一次可得
可使方程满足边界条件
M c( x, t )dx




M f ( ) Dt d Mf ( )d Dt
解这个积分需要用到积分表；因此我们需要代换变量去掉指数
里的1/4，我们引入
得到
进行坐标代换并且解 查阅积分表可得
可得：
瞬时源的一维规律扩散符合高斯正态分布规律
c2 2 c2 必须 Dy 2 0 t y
c1 2c1 Dx 2 0 t x
一维扩散方程
c1 ( x, t )和c2 ( y, t )各自满足瞬时点源一维扩散方程的解
M x c1 ( x, t ) exp( ) 4 Dxt 4 Dxt
2
M x2 c2 ( y, t ) exp( ) 4 Dy t 4 Dy t
c Fz Dz z
c 2c 2c 2c DX 2 Dy 2 Dz 2 t x y z
扩散浓度时空关系的基本方程： 2c 2c c 二维
D 2 2 t x y
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) D 2 c t x y z
M x c(x , t) exp ( 2 ) 2σ A 2π σ
2
2 Dt
t1 t2 t3
随时间增长，扩散范围变宽而峰值浓度变低，浓度分布曲
线趋扁平，在t接近于零时峰值浓度最大。
M x2 c(x) exp ( 2 ) 2σ A 2π σ
M/A=1
分布宽度
σ
2σ
4σ
5σ 0.9876
一、扩散方程求解
c 2c D 2 t x
上述是一个不稳定的一维扩散问题。要 解此方程，需要两个边界条件和一个初始 情形。对于边界条件，假定浓度在x=±∞ 时始终为0 。
由于示踪分子不可能扩散到定义的无限远处，所以无限远是不可 能达到的。因而初始条件设定为：将染料示踪剂均匀的注入一个垂 直于x轴的截面之上，截面宽度无穷小。应用狄拉克δ函数表示，初
第二章 分子扩散
本章主要介绍有关分子扩散过程的基本概念和基本方程，
讨论扩散方程在某些典型初、边值条件下的求解。先讨论
物质在静止液体中的分子扩散，再讨论液体作层流运动时
的扩散，因为液体作层流运动时只有分子扩散和随流输移 而不存在紊动扩散。
第二章 分子扩散
§2-1 物质的扩散与传递现象 布朗运动：分子每时每刻都在不停歇的作无规则运动，称为 布朗运动。 通常条件下每秒钟每升气体内的碰撞次数高达1032次以上。 两种不同物质通过它们的分子运动而互相渗透的现象成为物 质传递现象或分子扩散，物质的分子扩散可以借助四种推动 发生，即浓度梯度，温度梯度，压力梯度或其他作用力梯 度，引起的扩散成为浓度扩散，温度扩散，压力扩散或强制 扩散。
c Fx Fy Fz dxdydzdt ( )dxdydzdt t x y z
c Fx Fy Fz 0 t x y z
c Fx Dx x
c Fy Dy y
2 2 2 2 2 2 2 x y z
M x y z 三维c( x, y, z, t ) exp( ) 3/ 2 4 Dxt 4 Dy t 4 Dz t 8( t ) Dx Dy Dz

2
2
2
M



cdxdydz

§2-6 瞬时分布源的扩散 瞬时投放的污染物不是集中在一点，而是分布在一定的空间 范围内。称为瞬时分布源。 一、一维起始无限分布源的扩散 如图，一根无限长的管道中，左半部
( Fx
1 Fx dx)dydzdt 2 x
Fx dxdydzdt x
§2-3 扩散方程——费克第二定律
同理, y方向，流进与流出的扩散量之差为： z方向，流进与流出的扩散量之差为：
Fy y
dxdydzdt
Fz dxdydzdt z
质量守恒：进出微分六面体的物质扩散之差的总和，与该时段内 微分六面体中因浓度变化而引起的含有物质量的增量相等。
x c Fy u y c D y
c Fz uz c D z
§2-10 移流扩散
X方向 分子扩散流流进六面体的量为
( Fx Fx dx)dydzdt 2x
流出六面体的量为 [ Fx Fx dx]dydzdt
2x
x方向，流进与流出的扩散量之差为：
Fx dxdydzdt x
分布源 扩散区
完全被污染液体充满且每点的初始浓 度相同，均为c0,管道右半部为清水，
-x
o
x
这样的污染源称一维起始无限分布源。
研究其沿x方向的扩散规律。
分布源
扩散区
初始条件：c|x≤0=c0,c|x>0=0 -x o x 边界条件：c=0（x→ ± ∞）
取x轴与管线中心线平行，坐标原点设在分界面处，管道o点 以左为浓度均匀的含有污染物质的连续体，可以把这个连续体看 作由无数个微小的污染面源（或微元）组成，每个微元的质量为 codξ，co为源的起始浓度，对每个微元来说它都要向右扩散。
§2-2 分子扩散的费克（Fick）定律 认为扩散可以用热传导中的傅立叶定律或电传导中的欧姆定 律表达。 溶质A的质量浓度 dCA FA DAB dn 分子扩散系数
DAB的量纲与运动粘滞系数相同 cm2/s FA：单位时间内通过单位面积的溶解物质的量 A溶质在AB溶液中沿作用面法线方向的通量
c ( x, t )
x

c0 d 4 D t
exp(
2
4D t
)

x

c0

exp(
2
4D t
)d (

4D t
)
关于误差函数的基本知识
1.误差函数
2

x
0
exp( z 2 )dz erf ( x)
性质：
(1)erf ( x) erf ( x)奇函数 (2)erf (0) 0 (3)erf () 1
第二章 分子扩散
例2.1
一玻璃筒中，下部气盛棕色的碘溶液，然后徐徐注入清水，
尽可能不扰动下面的碘溶液，上下部分的液体均处于静止
状态。
明显的分界面
上层清水逐渐变黄
不同层次颜色浑
度不同
各点浓度几乎相同。
浓度梯度存在而发生的碘溶液的扩散。分子运动伴随着物
质的传递，也同样可以传递动量、能量、热量、涡量等等。
M x2 y2 c( x, y, t ) c1 ( x, t )c2 ( y, t ) exp( ) 4 Dxt 4 Dy t 4t Dx Dy

M

c( x, y, z )dxdy


为瞬时投放的质量
俯视其浓度线为同心圆，源点处浓度最大，随着离源点的 距离增加，浓度成负指数函数衰减。
2c 2c 2c (cux ) (cu y ) (cuz ) c D 2 2 2 x y z t y z x
对于不可压缩流体： u x u y u z 0 x y z
c c c c 2c 2c 2c ux uy uz D( 2 2 2 ) t x y z x y z
面积百分比 0.383 0.6826 0.9546
§2-5
瞬时点源在二维及三维空间的扩散
将瞬时源投放于宽浅的河流或湖泊上，则污染物的扩散可由 二维扩散方程解答。
c 2c 2c Dx 2 Dy 2 t x y
设想在xoy平面上任意点的浓度c（x，y，t），可由两部分浓
度c1（x，t）和c2（y，t）的乘积构成，则
§2-3 扩散方程——费克第二定律
同理, y方向，流进与流出的扩散量之差为： z方向，流进与流出的扩散量之差为：
Fy y
dxdydzdt
Fz dxdydzdt z

Fx Fy Fz c dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z t
dC F D dn
费克第一定律
§2-3 扩散方程——费克第二定律
在含有某种物质的静止溶液中，由于浓度分布不均匀而引 起分子扩散，根据质量守恒原理,建立浓度随时间和空间 变化关系式，即分子扩散的扩散方程。 中心坐标（x，y，z）， 浓度C（x，y，z）， 其通量在三个坐标方向 上的分量为 Fx，Fy，Fz，
令
x ，则 Dt
同理可得
代入扩散方程，可以得到一个变量η常微分方程
需将f的原有的边界条件和初始条件进行转化，因而将η代入 边界条件可得
我们使用相同的方式转化初始条件，代换η得到
代入计算得到
如果X>0，上式左边趋向于+∞；如果X<0，上式左边趋向于∞。右式始终等于0，因为在t=0时始终等于0。因此，初始条 件可以转化为
一、扩散方程求解
源平面
如图管道充满水，没有流动，在管道
某一断面瞬时投放有色溶液，其比重
与水一样。取投放平面与坐标原点重
合，横坐标x轴与管轴平行，由于管壁 o 限制，有色溶液只能沿管轴方向作一 维扩散，虽然有色溶液分布在横切面 的平面上，但它所代表问题的性质和 点源的一维扩散相同。
c 2c D 2 t x
Fy y dxdydzdt
( Fx 1 Fx dx)dydzdt 2 x
§2-3 扩散方程——费克第二定律
流进六面体的扩散量为：
1 Fx ( Fx dx)dydzdt 2 x
流出六面体的扩散量为：
1 Fx ( Fx dx)dydzdt 2 x
x方向，流进与流出的扩散量之差为：
2 2 c c c c c 二维： ux u y D 2 2 t x y x y
c 2c D 2 一维： t x
§2-4 瞬时平面源的一维扩散 二阶抛物型偏微分方程，当把扩散系数当作常数看待，可使 其线性化，在较简单的初边值条件下求得解析解，复杂条件 下只能借助于数值解法。 污染源的存在形式与扩散方程求解密切相关。 污染源从在水体空间的存在形式看，有点源、线源、面源、 体源（空间分布源） 。 从时间分布上看，有瞬时源和时间连续源。时间连续源又可 分为恒定的时间连续源和非恒定的时间连续源。 从扩散空间看，有一维空间、二维空间、三维空间。
始情形
式中函数δ(x)在x=0处为0，但是δ(x)的在（-∞，+∞）上 的积分值为1。因而扩散物质的投加量表达式为：
应用量纲分析法，需要考虑到解的所有控制参数。
C=f(M/A,D,x,t) 得到5个控制变量和3个单位。由此可以构造
两个无量纲量：
（佩克莱数）
一、扩散方程求解 由量纲分析可以得到π1=f(π2)，继而可以推导到浓度C的解为：
c( x, y, t ) c1 ( x, t )c2 ( y, t )
c2 c1 2 c1 2 c2 c1 c2 Dx c2 Dy c1 2 t t x y 2
整理得，Biblioteka c2 2c2 c1 2c1 c1 ( Dy 2 ) c2 ( Dx 2 ) 0 t y t x
一维
c 2c D 2 t x
§2-10 移流扩散
若环境水体处于流动状态，水体中不仅因分子扩散而产生物 质迁移，同时含有物质随水质点一起流动也要产生迁移作用。 这种随流迁移称为随流输送。一般假定扩散输送和移流输送 可以分别计算而后迭加。由于假定流体作层流运动，流速或 浓度都不考虑脉动的存在。设从三元流场中所取微分六面体， 形心点的流速分量为ux，uy，uz，垂直于三个坐标方向的 单位面积上含有物质通量为： Fx u c D c x 第一项为由移流输送 引起的物质通量，第 二项为分子扩散而引 起的物质通量。