多光束干涉和法布里珀罗干涉仪研究性实验报告

北航物理实验研究性报告多光束干涉和法布里珀罗干涉仪
第一作者：李文沛
学号：********
第二作者：赵鹏辉
学号：********
第三作者：王皓
学号：********
摘要
法布里—珀罗干涉仪简称F-P干涉仪，是利用多光束干涉原理设计的一种干涉仪。

它的特点是能够获得十分细锐的干涉条纹，因此一直是长度计量和研究光谱超精细结构的有效工具；多光束干涉原理还在激光器和光学薄膜理论中有着重要的应用，是制作光学仪器中干涉滤光片和激光共振腔的基本构型。

因此本实验有广泛的应用背景。

本实验使用的F-P干涉仪是由迈克尔逊干涉仪改装的。

通过实验，不仅可以学习、了解多光束干涉的基础知识和物理内容，熟悉诸如扩展光源的等倾干涉、自由光谱范围、分辨本领等基本概念，而且可以巩固深化精密光学仪器的调整和使用的许多基本技能。

本文详细介绍了F-P干涉仪的原理、使用方法以及数据的处理方法，不确定度的计算，还进行了一定程度的拓展研究。

如F-P干涉仪的其他应用，以及实验中的主要误差来源和改进方法。

关键词：多光束干涉法布里-珀罗干涉仪 F-P干涉仪的应用
一、实验重点
1、了解法布里珀罗干涉仪的特点和调节；
2、用法布里珀罗干涉仪观察多光束等倾干涉并测量钠双线的波长差和膜厚；
3、巩固一元线性回归法在数据处理中的应用。

二、实验原理
2.1 多光束干涉原理
F-P干涉仪由两块平行的平面玻璃板或石英板组成，在其相对的内表面上镀有平整度很高的高反射率膜层。

为消除两平板相背平面上反射光的干涉，平行板的外表面有一个很小的楔角。

多光束干涉的原理如上右图所示。

自扩展光源上任一点发出的一束光，入射到高反射率的平面上后，光就在两者之间多次往返反射，最后构成多束平行的透射光1、2、3、……和多束平行的反射光1’、2’、3’、……。

在这两组光中，相邻光的位相差δ都相同，振幅则不断衰减。

位相差δ由
δ=2π∆L/λ=2π/λ 2ndcosθ=4πndcosθ/λ
给出。

其中∆L=2ndcosθ是相邻光线的光程差；n和d分别为介质层的折射率和厚度，θ为光在反射面上的入射角，λ为光波波长。

由光的干涉可知
2nd cosθ={kλ 亮纹(k+
1
2
)λ 暗纹
分析上式可知，
①中心级次高于外围。

（越靠近中心，θ越小，cosθ越大，k越大）
②波长增大，圆环收缩。

（λ增大，cosθ增大，θ减小）
③增大平板间距d，干涉圆环扩张；减小平板间距d，干涉圆环收缩。

（d增大，cosθ减小，θ增大。

反之同理。

）
2.2多光束干涉的光强分布
设入射光振幅为A，则反射光A1’的振幅为Ar’，反射光A2’的振幅为At’rt，…；透射光A1的振幅为At’t，透射光A2的振幅为At’rrt，…。

式中r’为光在n’-n界面上的振幅反射系数，r为光在n-n’界面上的振幅反射系数，t’为光从n’进入n界面的振幅透射系数，t为光从n进入n’界面的振幅透射系数。

由光的干涉可知，透射光将在无穷远或透镜的焦平面上产生形状为同心圆的干涉条纹，属等倾干涉。

透射光在透镜焦平面上所产生的光强分布应为无穷系列光束A1、A2、A3、…的相干叠加。

可以证明透射光强最后可以写成：
I t=
I0
1+
4R
(1−R)2sin2
δ
2
式中I0为入射光强，R=r2为光强的反射率。

I t的位置由δ决定，与R无关，但透射光强度的极大值的锐度却与R的关系密切，反射面的反射率R越高，由透射光所得的干涉亮条纹就越细锐.
条纹的细锐程度可以通过所谓的半值宽度来描述。

由上式可知，亮纹中心的极大值满足sin2δ0
2
=0，即δ0=2kπ，k=1，2，…。

令δ=δ0+dδ=2kπ+dδ时，强度降为一半，这时δ应满足：
4Rsin2δ
2
=(1−R)2
代入δ0=2kπ并考虑到dδ是一个约等于0的小量，sin2δ/2≈(dδ/2)2,故有
4R(dδ
2)2=(1−R)2，dδ=
√R
dδ是一个用相位差来反映半值位置的量，为了用更直观的角度来反映谱线的宽窄，我们引入半角宽度∆θ=2dθ。

由于dδ是个小量，故可用微分代替，最终有
∆θ=
λdδ
2πndsinθ
=
λ
2πndsinθ
1−R
√R
它表明反射率R越高，条纹越细锐，间距d越大，条纹也越细锐。

2.3 F-P干涉仪的主要参数
表征多光束干涉装置的主要参数有两个，即代表仪器可以测量的最大波长差和最小波长差，他们分别被称为自由光谱范围和分辨本领。

2.3.1自由光谱范围
对一个间隔d确定的法布里珀罗干涉仪，可以测量的最大波长差是受到一定限制的。

对两组条纹的同一级亮纹而言，如果它们的相对位移大于或者等于其中一组的条纹间隔，就会发生不同条纹间的相互交叉（重叠或错序），从而造成判断困难，把刚能保证不发生重序想象所对应的波长范围△λ称为自由光谱范围。

它表示用给定标准具研究波长在λ附近的光谱结构时搜能研究的最大光谱范围。

下面将证明∆λ≈λ2/(2nd)。

考虑到入射光包含两个十分相近的波长λ1和λ2=λ1+∆λ（λ2>0，会产生两套同心圆环条纹，如果∆λ正好大到使λ1的k级亮纹和λ2的k-1级亮纹重叠，则有∆λ=λ2—λ1=λ2/k，由于k是一个很大的数，故可用中心的条纹级数来替代，即2nd=kλ，于是
Δλ=
λ2 2nd
2.3.2分辨本领
表征标准具特征的另一个参量是它所能分辨的最小波长差δλ，就是说，当波长差小于这个值时，两组条纹不能再分开。

常称δλ为分辨极限，而把λ/δλ称作分辨本领。

可以证明：δλ=
πk√R
，而分辨本领可由下式表示，即：
λδλ=πk
√R
1−R
λ/δλ表示在两个相邻干涉条纹之间能够分辨的条纹的最大数目。

因此分辨本领有时也被称为标准具的精细常数，它只依赖于反射膜的反射率，R越大，能够分辨的条纹数越多，分辨率越高。

三、实验仪器
F-P干涉仪（带望远镜）、钠灯（带光源）、He-Ne激光器（带电源）、毛玻璃（画有十字线）、扩束镜、消色差透镜、读数显微镜、支架以及供选做实验用的滤色片（绿色）、低压汞灯等。

四、实验内容
4.1操作内容
（1）以钠光灯扩展光源照明，严格调节F-P两反射面P1、P2的平行度，获得并研究多光束干涉的钠光等倾条纹；测定钠双线的波长差。

（2）用读数显微镜测量氦氖激光干涉圆环的直径D i,验证D i+12—D i2=常数，并测定P1、P2的间距。

由于条纹的确切序数k一般无法知道，为此可以令k=i+k0，i 是为测量方便。

4.2操作提示
反射面P1、P2平行度的调整是观察等倾干涉条纹的关键。

具体的调节分为三步：
i粗调：按图放置钠光源、毛玻璃（带十字线）；转动粗（细）动轮使P1P2≈1mm；使P1、P2背面的方位螺钉（6个）和微调螺钉（2个）处于半松半紧的状态（与调整迈克尔干涉仪类似），保证他们有合适的松紧调整余量。

ii细调：仔细调节P1、P2背面的6个方位螺钉，用眼睛观察透射光，使十字相重合，这时可看到圆形的干涉条纹。

iii微调：徐徐转动P2的拉簧螺钉进行微调，直到眼睛上下左右移动时，干涉环的中心没有条纹的吞吐，这时可看到清晰的理想等倾条纹。

4.3操作注意事项
1、F-P干涉仪是精密的光学仪器，必须按光学实验要求进行规范财操作。

决不允许用手触摸元件的光学面，也不能对着仪器哈气、说话；不用的元件要安放好，防止碰伤、跌落；调解时动作要平稳缓慢，注意防振。

2、使用读数显微镜进行测量时，注意消空程和消视差。

3、试验完成后，膜片背后的方位螺钉应置于松弛状态。

五、实验数据处理
5.1测钠黄光波长差
5.1.1原始数据列表
5.1.2数据处理
由∆λ=λ2
2Δd ，知∆d=λ
2
2Δλ
，所以d i=d0+λ
2
2Δλ
i
利用一元线性回归处理数据，令x≡i，y≡d i，则b=λ2
2Δλ
x=5.5，y=26.99949，x2=38.5，y2=729.6716，xy=150.8989
b=x y−xy
=0.2911，Δλ=
λ2
2b
=0.596487nm
5.1.3不确定度的计算
u a(b)=b√1
k−2(1
r2
−1)=4.60273×10−4mm，
u b(b)=u b(y)√x 2
k(x2−x2)
=1.97×10−5，
则u(b)=√u a2(b)+u b2(b)=4.60694×10−4mm，
u(∆λ)=Δλu(b)
b
=9.44×10−4nm，
最终∆λ±u(∆λ)=（0.5965±0.0009)nm
5.2验证D i+12—D i2 =常数
5.2.1原始数据列表
λ=632.8nm f=15cm
令y≡D k2，x≡k−k0 (k0=5)，y=a+bx，则b=4λf2
nd
x=4，y=153.6951，x2=20，y2=24787.09，xy=683.0369
b=x y−xy
=17.064×10−6m2，d=
4λf2
b
=3.33755×10−3m
r=
x y−xy
√(x2−x2)(y2−y2)
=0.9998≈1 线性相关性良好
u a(b)=b√
1
k−2
(
1
r2
−1)=2.985643×10−5，
u(d)=d u(b)
b
=5.839623×10−5
d±u(d)=(3.34±0.06)×10−3
由r→1，可知i与D i之间可以认为是线性关系，那么可以知道D i+12—D i2 =常数，验证了题设。

六、误差分析
（1）测量圆环直径时，由于手轮抖动导致读数的重复性不高。

并且视野中的圆环左右两边不能同时调成最清晰、且两边能看见的条纹数目不相等，靠近中心的条纹变粗，这都使得条纹位置的测量存在较大误差。

（2）条纹嵌套的位置判定存在较大人为误差，且条纹易受扰动，不稳定，使得嵌套的最佳位置难以把握。

（3）消色差透镜很难与平板绝对平行，可能会导致误差。

（4）受限于仪器条件，由于实验所用仪器是在迈克尔逊干涉仪的基础上改进而来的，存在一定的机件老坏现象，读数盘的空程消除很难把握，从而在一定程度上增大了系统误差。

七、思考题
1）光栅也可以看成一种多光束干涉。

对光栅而言，条纹的细锐程度可由主极大到相邻极小的角距离描述，它与光栅的缝数有何关系？能否由此说明F-P干涉仪有很好的条纹细锐原因？
答：光栅的第零级主极大到相邻极小的角距离θ满足：
sinθ=
λNd
其中d是光栅常数，表示光栅透光部分与不透光部分在一个周期内的长度，而N 代表参与衍射的总缝数。

所以Nd可以代表参与衍射的光栅的长度尺寸。

对于F-P 干涉仪的平板，这个长度尺寸应该在厘米数量级，即10−2m，波长在纳米数量级，即10−9m，可见sinθ在10−7数量级上，θ是一个极其小的值，故主极大非常细锐。

2）从物理上如何解释F-P干涉仪的细锐程度与R有关？
答：R是光强反射率，R越大，反射效应越强烈，叠加效果越大，则出射光越接近光栅的衍射状态，按光栅的公式计算出主极大的角宽度是极小的。

F-P干涉仪
采用高反射率平板，R较大，故细锐程度较高。

八、拓展研究
8.1实验仪器的改进
现有条件下有一种精度更高的迈克尔逊和法布里－珀罗两用干涉仪，可以减少实验员操作量，同时可以实现迈克尔逊和F-P干涉的比较性试验，减少人为误差，同时减小系统误差。

其装置原理图如下：
它包括有基座，固定在基座侧板上的光源、扩束镜、供电电源、动镜以及带有测微螺旋的传动机构，光源包括有低压钠灯和卤钨灯组合而成的钠钨双灯光源（或为氦氖激光器）；供电电源为双电源；动镜是迈克耳孙干涉仪的动镜和法布里珀罗干涉仪的动镜并列设置在一块平板上，同时受所述带有测微螺旋的传动机构控制移动。

这是一种具有迈克耳孙干涉和法布里－珀罗干涉两种功能可以实现快速转换的教学实验仪器。

8.2 F-P干涉仪作为谐振腔的应用
法布里)珀罗干涉仪在光学谐振腔中的应用相当于电子学的滤波器。

当光束进入两块平板玻璃之间后，光束会在两板之间发生多次的反射和入射（此时，两面平板玻璃的作用就是谐振腔中的腔镜) ，并且入射波和反射波会发生涉。

为了使自再现模在谐振腔内形成稳定的振荡，就要求光波因干涉而得到加强，即满足
谐振的条件: 光波在腔内往返一周的总相移等于2π的整数倍，即
2∆∅=2qπ，q=1，2，3…
其中2∆∅为光波的总相移，q为一个没有量纲的正整数，称为纵模系数。

根据上述公式可以得到只有频率满足v q=q c
2nL cos i2
的光束才可能在F-P干涉仪的谐振腔中具有最大的透过率。

其中，L为干涉仪中两个反射平板间的距离，c为光速，n为两板之间介质的折射率，当两板间为空气时，可近似认为n=1。

当入射光的入射角确定时，能够通过谐振腔透射出来的光波频率和谐振腔的长度L相关。

因此，以法布里珀罗干涉仪作为谐振腔的激光器对于入射光束具有选择性。

8.3 F-P干涉仪在微距测量方面的应用
基于以上作为谐振腔的应用方法，法布里珀罗干涉仪测量微位移是通过频率追踪来实现的，测量过程中，将可调激光器的波长锁定于法布里珀罗干涉仪某一模式的输出极大值，则腔长L频率f和模数N满足关系式:
L=N·λ
2
=N·
c
2nf
式中: c为真空光速; λ为法布里珀罗腔内谐振波长；n为腔内介质的折射（在空气中，n=1)。

腔长改变量∆L与频率变化量∆f及模式数变化量∆N之间满足如下关系:
∆L L =−
∆f
f
+
∆N
N
在测量镜移动过程中，锁相电路和伺服单元组成的电路控制系统将通过调节半导体激光器的频率，使其输出始终锁定法布里珀罗腔的同一谐振模式，即∆N= 0。

则上式变成：
∆L=−∆f f
L
测量镜位移量∆L可通过测量初始腔长L、法布里珀罗腔初始谐振频率f和可调激光器的频率变化量∆f来确定。

其中，L通过测量法布里珀罗干涉仪的自由光
谱宽度获得，f和∆f则通过测量半导体激光器与稳频激光器之间的拍频信号确定。

根据法布里珀罗干涉仪的微位移测量原理，其主要特点有: ①通过将被测位移转化为频率变化量测量，可提高测量分辨力; ②避免了传统双光束干涉仪测量方法中干涉条纹细分等引入的测量误差; ③保证了测量结果到国际长度基本单
位“米”的溯源能力; ④可用于测量晶体的晶格常数和迈克尔逊干涉仪等的非线性误差。

参考文献：
1、李朝荣等.《基础物理实验》.北京：北京航空航天大学出版社，2010
2、段小艳等.《基于法布里Z珀罗干涉仪的微位移测量方法研究》.北京：中航
工业北京长城计量测试技术研究所，2010
3、马宝红等.《法布里珀罗干涉仪原理及应用分析》.洛阳师范学院学报.2012原始数据照片：。