深圳宝安区新城学校数学一元一次方程(培优篇)(Word版 含解析)

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一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.如图,动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时,动点B也从原点出发向数轴正方向运动,运动到3秒钟时,两点相距15个单位长度.已知动点A、B的运动速度比之是3∶2(速度单位:1个单位长度/秒).
(1)求两个动点运动的速度;
(2)A、B两点运动到3秒时停止运动,请在数轴上标出此时A、B两点的位置;
(3)若A、B两点分别从(2)中标出的位置再次同时开始在数轴上运动,运动的速度不变,运动的方向不限,问:运动到几秒钟时,A、B两点之间相距4个单位长度?
【答案】(1)解:设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,
根据题意得:3×(2x+3x)=15,
解得:x=1,
∴3x=3,2x=2,
答:动点A的运动速度为3个单位长度/秒,动点B的运动速度为2个单位长度/秒;
(2)解:3×3=9,2×3=6,
∴运动到3秒钟时,点A表示的数为﹣9,点B表示的数为6;
(3)解:设运动的时间为t秒,
当A、B两点向数轴正方向运动时,有|3t﹣2t﹣15|=4,
解得:t1=11,t2=19;
当A、B两点相向而行时,有|15﹣3t﹣2t|=4,
解得:t3= 或t4= ,
答:经过、、11或19秒,A、B两点之间相距4个单位长度.
【解析】【分析】(1)根据已知:动点A、B的运动速度比之是3∶2,因此设点B的速度为2x个单位长度/秒,则点A的速度为3x个单位长度/秒,根据两点相距15,列方程,求解即可。

(2)根据两点的运动速度,就快求出A、B两点运动到3秒时停止运动,就可得出它们的位置。

(3)设运动的时间为t秒,分两种情况:当A、B两点向数轴正方向运动时;当A、B两点相向而行时,分别根据A、B两点之间相距4个单位长度,列方程求出t的值。

2.同学们都知道,表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1)求=________.
(2)若,则 =________
(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的两点距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得,这样的整数是
________(直接写答案)
【答案】(1)7
(2)7或-3
(3)-1,0,1,2.
【解析】【解答】(1)|5-(-2)|=7,
故答案为:7;
( 2 )|x-2|=5,
x-2=5或x-2=-5,
x=7或-3,
故答案为:7或-3;
( 3 )如图,
当x+1=0时x=-1,
当x-2=0时x=2,
如数轴,通过观察:-1到2之间的数有-1,0,1,2,
都满足|x+1|+|x-2|=3,这样的整数有-1,0,1,2,
故答案为: -1,0,1,2.
【分析】(1)化简符号求出式子的值;(2)根据绝对值的性质得到x-2=5或x-2=-5,求出x的值;(3)根据题意画出数轴,得到-1到2之间的整数有-1,0,1,2,得到满足方程的整数值有-1,0,1,2.
3.今年夏天,我州某地区遭受罕见的水灾,“水灾无情人有情”,州里某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件。

(1)求饮用水和蔬菜各有多少件。

(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学。

已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件,则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮忙设计出来。

(3)在(2)的条件下,如果甲型货车每辆需付运费400元,乙型货车每辆需付运费360元。

该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
【答案】(1)解:设蔬菜有x件,根据题意得
解得:
答:蔬菜有件、饮用水有件
(2)解:设安排甲种货车a辆,根据题意得
解得:
∵a为正整数
∴或或
∴有三种方案:①甲种货车2辆,乙种货车6辆;
②甲种货车3辆,乙种货车5辆;
③甲种货车4辆,乙种货车4辆
(3)解:方案①:(元)
方案②:(元)
方案③:(元)

∴选择方案①可使运费最少,最少运费是元
【解析】【分析】(1)设蔬菜有x件,根据题意列出方程,求出方程的解,即可求解;(2)设安排甲种货车a辆,根据题意列出不等式组,求出不等式组的解集,由a为正整数,得出a为2或3或4,即可求出有三种方案;
(3)分别求出三种方案的运费,即可求解.
4.(公园门票价格规定如下表:
购票张数1~50张51~100张100张以上
每张票的价格13元11元9元
1)班人数较少,不足50人,(2)班超过50人,但不足100人。

经估算,如果两个班都以班为单位购票,则一共应付1240元,问:
(1)两班各有多少学生?
(2)如果两班联合起来,作为一个团体购票,可省多少钱?
(3)如果七年级(1)班单独组织去游公园,作为组织者的你将如何购票才最省钱?
【答案】(1)解:设七(1)班有x人,
由题意可知:七(2)班的人数应不足64人,且多于54人
则根据题意,列方程得:13x+11(104-x)=1240
解得:x=48.
即七(1)班48人,七(2)班56人;
(2)解:1240-104×9=304,
所以可省304元钱
(3)解:要想省钱,由(1)可知七(1)班48人,只需多买3张票,
51×11=561,48×13=624>561,
∴ 48人买51人的票可以更省钱
【解析】【分析】(1)设七(1)班有x人,根据条件:某校七(1)、(2)两个班共104人去游览该公园,其中七(1)班人数较少,不足50人,但超过40人,可得七(2)班的人数应不足64人,且多于54人,再根据1240元的门票钱可列方程解得答案;(2)如果两班联合起来作为一个团体购票,则每张票9元,可省1240-104×9元;(3)由(1)可得七(1)班48人,所以多买3张票,按照第二种售票方案买票.
5.如图1,已知,在内,在内,
.
(1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时,如图2,
________ ;
(2)若图1中的平分,则从图1中的位置绕点逆时针旋转到与
重合时,旋转了多少度?
(3)从图2中的位置绕点逆时针旋转,试问:在旋转过程中的度数是否改变?若不改变,请求出它的度数;若改变,请说明理由.
【答案】(1)100
(2)解:∵平分,
∴,
设,
则,,
由,
得:,
解得:,
∴从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时,旋转了12度;
(3)解:不改变
①当时,如图,
,,∵,,


② 时,如图,
此时,与重合,
此时,;
③当时,如图,
,,

综上,在旋转过程中,的度数不改变,始终等于
【解析】【解答】(1)解:由题意:∠EOF= ∠AOB+ ∠COD=80°+20°=100°
【分析】(1)根据∠EOF=∠BOE+∠BOF计算即可;(2)设,得,,再根据列方程求解即可;(3)分三种情形分别计算即可;
6.对于任意有理数,我们规定 =ad-bc.例如 =1×4-2×3=-2
(1)按照这个规定,当a=3时,请你计算
(2)按照这个规定,若 =1,求x的值。

【答案】(1)解:当a=3时,
=2a×5a-3×4
=10a2-12
=10×32-12
=90-12
=78
(2)解:∵ =1
∴4(x+2)-3(2x-1)=1
去括号,可得:4x+8-6x+3=1
移项,合并同类项,可得:2x=10,
解得x=5
【解析】【分析】(1)根据规定先求出的表达式,再化简,然后把a=3代入求值即可;
(2)根据新定义的规定把=1的右式化成整式,然后去括号、移项、合并同类项,x项系数化为1即可解出x.
7.某校七年级10个班师生举行文艺汇演,每班2个节目,有歌唱与舞蹈两类节目,七年级统计后发现歌唱类节目比跳舞类节目数的2倍少4个.
(1)七年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个?
(2)该校七、八年级师生有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中,每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟,预计所有演出节目交接用时共花15分钟.若从开始到结束共用2小时35分钟,问参与的小品类节目有多少个?
【答案】(1)解:设七年级师生表演的舞蹈类节目有x个,表演歌唱类节目有(2x﹣4)个,
根据题意,得:x+2x﹣4=10×2,
解得:x=8,
所以2x﹣4=12.
答:七年级师生表演的歌唱类节目有12个,舞蹈类节目有8个
(2)解:设参与的小品类节目有a个,
根据题意,得:12×5+8×6+8a+15=2×60+35,
解得:a=4,
答:参与的小品类节目有4个
【解析】【分析】(1)设七年级师生表演的舞蹈类节目有x个,表演歌唱类节目有
(2x-4)个.根据“七年级统计后发现歌唱类节目比跳舞类节目数的2倍少4个”列方程求解可得;(2)设参与的小品类节目有a个,根据“三类节目的总时间+交接用时=2小时35分钟”列等式求解可得.
8.一般情况下不成立,但有些数可以使得它成立,例如:.我
们称使得成立的一对数,为“相伴数对”,记为 .
(1)若是“相伴数对”,求的值;
(2)若是一个“相伴数对”,请将所满足的等式化为,其中均
为整数的形式(如);
(3)若是“相伴数对”,求代数式的值.
【答案】(1)解:根据题意得:,
解得b=;
(2)解:根据题意得:,即,
∴,
∴;
(3)解:∵是“相伴数对”,
∴,
∴,
∴原式
.
【解析】【分析】(1)根据“相伴数对”的定义列出方程求解即可;(2)根据“相伴数对”的定义列出等式,然后去分母,化简即可;(3)由(2)可得,变形得,然后对所求式子进行化简,代入计算即可.
9.在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,D,C,其中AB=2,BD=3,DC=1,如图所示,设点A,B,D,C所对应数的和是p.
(1)若以B为原点.写出点A,D,C所对应的数,并计算p的值;
(2)①若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=x,p=﹣71,求x.
②此时,若数轴上存在一点E,使得AE=2CE,求点E所对应的数(直接写出答案)。

【答案】(1)解:∵B为原点,AB=2,则A点对应的数为-2;BD=3,则D点对应的数为3;DC=1,则C点对应的数为3+1=4,则P=-2+3+4=5.
(2)解:①∵CO=x, 则C点表示的数为x, D点表示的数为x-1, B点表示的数为x-1-3=x-4, A点表示的数为x-4-2=x-6,
∴p=x+x-1+x-4+x-6=-71,
移项得4x=60,
解得x=15.
②由上题知:A表示的数为15-6=9, C点表示的数为15,
设E点表示的数为x, ∵AE=2CE,
1)当E在AC之间时,
∴x-9=2(15-x),
解得x=13;
2)当E在C的右边时,
x-9=2(x-15),
解得x=21.
【解析】【分析】(1)因为B为原点,根据数轴上两点间距离公式分别求出点A,D,C 所对应的数,然后再求这三个数之和即可.
(2)①由原点O在数轴上点C的右边,且CO=x,得出C表示的数为x, 再根据其他几个点在数轴上的位置关系把各点用含x的代数式表示,根据p=-71列式求出x即可.
②先确定A、C所表示的数,设E点表示的数为x,再根据数轴上两点间距离公式,结合AE=2CE列式,分情况求出E点坐标即可.
10.如图,已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a、b满足|a+3|+(b ﹣2)2=0.
(1)求A、B所表示的数;
(2)点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+1= x﹣8的解
①求线段BC的长;
②在数轴上是否存在点P,使PA+PB=BC?求出点P对应的数;若不存在,说明理由.【答案】(1)解:∵|a+3|+(b﹣2)2=0,
∴a+3=0,b﹣2=0,
解得,a=﹣3,b=2,
即点A表示的数是﹣3,点B表示的数是2。

(2)解:①2x+1= x﹣8
解得,x=﹣6,
∴BC=2﹣(﹣6)=8,
即线段BC的长为8;
②存在点P,使PA+PB=BC,
设点P的表示的数为m,
则|m﹣(﹣3)|+|m﹣2|=8,
∴|m+3|+|m﹣2|=8,
当m>2时,解得,m=3.5,
当﹣3<m<2时,无解,
当x<﹣3时,m=﹣4.5,
即点P对应的数是3.5或﹣4.5.
【解析】【分析】(1)根据绝对值,偶次幂的非负性,即可解答;
(2)①先解方程得到点C表示的数,再结合点B表示的数即可确定线段BC的长;
②设点P表示的数为m,由点A、C所表示的数可得PA=,PB=,根据PA+PB=BC可得|m+3|+|m﹣2|=8,再分m>2、-3<m<2、m<-3三种情况,去绝对值符号解方程即可解答。

11.如图,线段AB=10,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿线段AB向终点B 运动,同时,另一个动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动(从点B向点A运动,到达点A后,立即原速返回,再次到达B点后立即调头向点A运动.)当点P到达B点时,P,Q两点都停止运动.设点P的运动时间为x.
(1)当x=3时,线段PQ的长为________.
(2)当P,Q两点第一次重合时,求线段BQ的长.
(3)是否存在某一时刻,使点Q恰好落在线段AP的中点上?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由。

【答案】(1)2
(2)解:设x秒后P,Q第一次重合,得:x+3x=10
解得:x=2.5,
∴BQ=3x=7.5
(3)解:设x秒后,点Q恰好落在线段AP的中点上,根据题意,
①当点Q从点B出发未到点A时,0<x< 时,有x=2(10-3x),
解得x= ;②当点Q到达点A后,从A到B时,即 <x< 时,有x=2(3x-10),
解得x=4;
③当点Q第一次返回到B后,从B到A时, <x<10时,有x=2(30-3x),
解得x= ;
综上所述:当x= 或x=4或x= 时,点Q恰好落在线段AP的中点上.
【解析】【解答】(1)解:根据题意,当x=3时,P、Q位置如下H所示:
此时:AP=3,BQ=3×3=9,AQ=AB-BQ=10-9=1,
∴PQ=AP-AQ=2.
【分析】(1)根据题意画出图形,由题可得AP=3,BQ=9,结合题意计算即可得出答案.(2)设x秒后P,Q第一次重合,根据题意列出方程,解之即可得出答案.
(3)设x秒后,点Q恰好落在线段AP的中点上,根据题意分情况讨论:①当点Q从点B出发未到点A时,0<x< 时,②当点Q到达点A后,从A到B时,即 <x< 时,
③当点Q第一次返回到B后,从B到A时, <x<10时,结合题意分别列出方程,解之即可得出答案.
12.已知数轴上点A、B、C所表示的数分别是-3,+5,x.
(1)请在数轴上标出A、B两点;
(2)若AC=2,求x的值;
(3)求线段AB的中点D所表示的数;
(4)若x<0,用含x的代数式表示线段AC与线段BC的长度和.
【答案】(1)解:如图所示:
(2)解:∵AC=2,A点表示的数为-3,C点表示的数为x,
∴|x+3|=2,
解得:x=-1或x=-5,
∴x的值为-1或-5.
(3)解:设点D表示的数为y(-3<y<5),
∵A点表示的数为-3,B点表示的数为5,C点表示的数为x,
∴AB=8,
又∵D为AB的中点,
∴AD=AB=4,
即|y+3|=4,
解得:y=1或y=-7(舍去),
∴y=1,
∴点D表示的数为1.
(4)解:①当点C在点A左侧时,
∵A点表示的数为-3,B点表示的数为5,C点表示的数为x,
∴AC=-3-x,BC=5-x,
∴AC+BC=-3-x+5-x=2-2x;
② 当点C在点A右侧时,
∵A点表示的数为-3,B点表示的数为5,C点表示的数为x,
∴AC=x+3,BC=5-x,
∴AC+BC=x+3+5-x=8.
【解析】【分析】(1)根据题意分别在数轴上表示点A、B即可.
(2)根据题意可得AC=|x+3|=2,解之即可得出答案.
(3)设点D表示的数为y(-3<y<5),根据中点定义可得AD=|y+3|=4,解之即可得出答案.
(4)结合题意分情况讨论:① 当点C在点A左侧时,② 当点C在点A右侧时,根据题意分别表示出AC、BC的式子,再相加即可得出答案.。

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