应用复分析

《应用复分析》样题

一、求解下列各题 （每题5分，共30分） 1. 求)43(i Ln +-及其主值。 2. 讨论复级数∑∞

=1n n

n i 的收敛性。

3. 指出满足下式的点z 的轨迹是何曲线。 ),Re(||b z a z -=- 其中b a ,为实数。

4.求函数3)1(11sin

--z z 的奇点并判断其类型。

5.设x

y i y x a z f arctan )ln()(22++= 在0Re >z 时解析，试确定a 的值。 6.设)(x f 为急降函数，且),())((ωωF f F = 证明

,)(||1))](([00x a i e a

F a x ax f F ω

ωω-=- 其中.0≠a

二、(10分) 求一函数将区域 2|:|{-z 共形映射成上半平面。

三、(10分) 设)(z f 在1||≤z 上解析，且在1||=z 上有|||)(|z z z f ≤-。 证明：8|)2

1(|≤'f 。

四、（10分） 设二阶连续可微函数)(t f 满足t e t f t f t f =+'+'

')(3)(4)(和1)0()0(='=f f 。利用Laplace 变换

求)(t f 的表达式。

五、(10分) 计算下面的复积分：

⎰-+c z z z dz )2)(1(3，其中c 为,||r z = 2,1≠r 。

六、(10分)利用留数定理计算下面的定积分：

dx x x x ⎰

+∞∞-+1

sin 2

七、（10分）将函数231)(2+-=

z z z f 在1=z 处展开为洛朗级数。 八、（10分）利用Fourier 变换求以下定解问题的解。

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∈=>∈+∂∂=∂∂,,0)0,(;0,),(222R x x u t R x x x u a t u δ 已知2

224141

)(ta x t a e a t e F ---=πω。