北大应用多元统计分析课件第三章

否定域为{|T|＞λ}，其中λ满足： P{|T|＞λ}=α(显著性水平).
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
当否定H0 第一类错误的概率＝P｛“以真当假”｝ ＝P｛|T|＞λ|μ＝μ0 ＝显著性水平α. 当H 0 第二类错误的概率＝P｛“以假当真”｝ ＝P｛|T|≤λ|μ=μ1 ≠μ0 ｝ 此时检验统计量T～t(n-1,δ),利用非中心 t分 布可以计算第二类错误β的值.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
设Xi ～N1(μi ,σ2)(i =1,...…,n),且相互独立，记
结论1
一般情况(μi ＝0，σ2 ≠1时),
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
1
的分布为Wishart分布(威沙特分布)，记 为W～Wp(n,Σ). n 2 2 2 W X ~ ( n ) ,即 显然p=1时 ()
1
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
一般地,设X(α)～Np(μ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立, 记
=β.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
Wishart分布是一元统计中χ2分布的推广 .多元正态总体Np(μ,Σ)中,常用样本均值向 量X作为μ的估计，样本协差阵S＝A/(n-1) 作为Σ的估计.由第二章的定理2.5.2已给出 了X～Np(μ,Σ/n).S~? .
应用多元统计分析
第三章 多元正态总体
参数的假设检验(一)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
目 录 (一 )
§3.1 几个重要统计量的分布
一、正态变量二次型的分布 二、威沙特分布 三、霍特林T2分布
§3.2 单总体均值向量的检验及置信域 §3.3 多总体均值向量的检验
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
X ( 1 ) n 2 2 2 W X X , , X X X ~ ( n ). ( 1 ) ( n ) ( ) 1 n n 1 1 X 12 ( n )
推广到p元正态总体,样本协差阵S＝A/(n-1) 及随机矩阵A(离差阵)的分布是什么? 设X(α) (α＝1,…,n)为来自Np(0,Σ)的随机样本, 考虑随机矩阵 X ( 1 ) n X W X ,X X ( )X ( ) X ( 1 ), ( n ) p n n p 1 X ( n ) 的分布.当p=1时，


源自文库三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
推广到p维正态总体时，随机矩阵W的分布是 什么? 定义3.1.4 设X(α) ～Np(0,Σ) (α＝1,…,n)相 n 互独立，则称随机矩阵 W X X ( )X ( ) X
则称W＝X'X服从非中心参数为Δ的非中心 Wishart分布,记为W～Wp(n,Σ,Δ).
其中
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
当X(α)～Np(μα ,Σ) (α＝1,…,n) 相互独立时，非 中心参数
这里 其中p为随机矩阵W的阶数,n为自由度,一元统计 中的σ2对应p元统计中的协差阵Σ.
结论2 当μi≠0(i=1,…,n),σ2 =1时,X′X的 分布常称为非中心χ2分布. 定义3.1.1 设n维随机向量X～Nn(μ,In)
(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从 n n个自由度,非中心参数 i2 i 1` 2 的χ 分布，记为
2 2 n
X X ~ ( n , ), X X ~ ( )
作为σ 的估计，而且知道
n 1 2 2 s ( X X ) 一元统计中，用样本方差 ( i) n 1i 1 2
( X X )~ ( n 1 )
2 2 2 i 1 ( i )
1
n
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心 t 分布和F分布
定义3.1.2
定义3.1.3
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用
一元统计中，关于一个正态总体N(μ,σ2)的均 值检验中，检验H0：μ＝μ0时，检验统计量
一元统计中,参数μ ,σ 2的检验 涉及到一个总体、二个总体,乃至 多个总体的检验问题; 推广到p元统计分析中，类似地 对参数向量μ 和参数矩阵Σ 涉及 到的检验也有一个总体、二个总体 ,
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
在一元统计中，用于检验μ, σ2的抽 样分布有χ2分布,t 分布,F分布等,它们都 是由来自总体N(μ, σ2)的样本导出的检验 统计量. 推广到多元统计分析后，也有相应于 以上三个常用分布的统计量: Wishart, Hotelling T 2,Wilks Λ统计 量,讨论这些统计量的分布是多元统计分 析所涉及的假设检验问题的基础.
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第三章 多元正态总体参数的假设检验
§3.1 几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型
1 1 2 则Y Y X X ~ ( n , ), 其中 2 2


结论3 设X～Nn(0 ,σ2In), A为n阶对称方阵, rk(A)= r,则二次型 X'AX/σ2～χ2(r) A2＝A(A为对称幂等阵). 2 2 2 特例:当A=In时, X I X / X X / ~ ( n ) n