3.3微分方程的拉氏变换求解方法

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2 A1 et s in( d t ) A3e s3t
A [( s s1 ) 1
Yzs ( s ) ]s s1 X ( s)
A1的角度 90
由于 s1 是复数，所以 A1 也是复数， 且A1 和A2 是共轭复数
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暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
F ( s)
Yzs ( s ) Yzs ( s ) X ( s) ( s s1 )( s s2 ) ( s sn )
Yzs ( s ) An A A2 1 X ( s) s s1 s s2 s sn
关键点在于如何得到传递函数的部分分式表达
F ( s)
[s]平面
Im
A1的角度 90
由于没有阻尼项与正弦函数相乘，因此正弦函 数为稳态值
s1 s3 s2
9
Re
暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 4：F(s) 具有多重共轭复数极点（分母具有多重二次多项式 形式）
多重共轭复数极点非常少见
可以用处理多重实极点的方式来进行处理
LT-1
Im [s]平面
f (t ) A0 A e 1
s1t
A2 e
s2t
对于一个稳定系统，所有与通解相关的实极点 必须位于 S 平面的左半平面
Re
s1
s0
s2
系数 Ak 是 F(s) 在相应极点处的留数，因此一阶实极点的系数为
Ak [( s sk ) Yzs ( s ) Y (s) ]s sk [ zs ] ( s ) s sk X ( s) X
为了得到系统的时间响应，需要进行拉普拉斯逆变换
y zs (t ) L1[ F ( s ) X ( s )]
如果初始条件不等于零，我们能够得到系统的时间响应吗？如何得到？
1
暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
通常可以利用拉氏变换表或计算机程序来进行拉普拉斯逆变换
Yzs ( s ) a w s w a w1 s w1 a1 s a0 F (s) X ( s) s n bn 1 s n 1 b1 s b0
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暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 2：F(s) 具有多重一阶实极点
F ( s) Yzs ( s ) Yzs ( s ) A13 A12 A11 A2 X ( s) ( s s1 ) 3 ( s s2 ) ( s s1 ) 3 ( s s1 ) 2 s s1 s s2
Aet s in( d t )
s1
n
η cos
1
Im
[s]平面
（过阻尼）
j n 1 2 j d
Ae
t
Re
s3
n
（欠阻尼）
Aet
s2
7
暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
例：
F ( s) A3 10 A1 A2 ( s 2 6s 25)( s 2) s 3 j 4 s 3 4 j s 2
LT-1
f (t ) A1e j nt A2 e j nt A3e s3t 2 A1 sin( n t ) A3e s3t
A [( s s1 ) 1
Yzs ( s ) ]s s1 X ( s)
A3 [( s s3 )
Yzs ( s ) ] s s3 X ( s)
第三节 微分方程的拉氏变换求解方法
一般地，n 阶系统具有如下形式的微分方程：
y ( n ) (t ) bn 1 y ( n 1) (t ) b0 y (t ) aw x ( w) (t ) a1 x(t ) a0
在零初始条件下，取拉普拉斯变换，可以得到
情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。 如果复数极点具有负实部 n ，其中阻尼比 >0 极点将位于S 平面的左半平 面（如图所示），系统是稳定 的
s1
Im
[s]平面
极点与原点连线同负实轴的 夹角 取决于阻尼比
η cos1
s3
Im
[s]平面 Re
s1]3
s2
Y ( s) 1 d2 A11 { [( s s1 ) 3 zs ]}s s1 2 ds X ( s)
如何计算 A2？
4
暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）
F (s) Yzs ( s ) Yzs ( s ) A3 A1 A2 2 2 X (s) ( s 2 n s n )(s s3 ) s s1 s s2 s s3 A3 A1 A2 s s3 s n j n 1 2 s n j n 1 2
根据 X(s) 的分母，部分分式分解可以分四种情况进行讨论
2
暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 1：F(s) 有一阶实极点
F ( s) Yzs ( s ) Yzs ( s ) A A A2 1 0 X ( s) s ( s s1 )( s s2 ) s s s1 s s2
LT-1
f (t ) A1e{ n j n
f (t ) 2 A e Ae
{ n tn n j 1 1
1
1
2
}t
}t n
A2 e{ n j n
{ n jn 2
1
1
2
}t
A3e s3t
s in(
2
} t A2 t ) A3ets3 A3e s3t 1 e
A1 [( s 3 4 j )
10 ]s 3 4 j 0.303 194 ( s 2 6s 25)( s 2)
A1的角度 90 194 90 104
A3 [( s 2) 10 ]s 2 0.59 2 ( s 6s 25)( s 2)
LT-1
t 2 s1t f (t ) A e A tes1t A e s1t A2 e s2t 13 12 11 2 其中， A13 [( s s1 ) 3 Yzs ( s ) ]s s 1 X ( s)
A12 { Y (s) d [( s s1 ) 3 zs ]}s s1 ds X ( s)
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小结
• • • 关于时间响应的新概念 考虑了控制系统的标准输入信号 总结了线性微分方程的解 – 经典方法 – 拉普拉斯变换方法 • • • 稳态响应 暂态响应 全解 线性系统的稳定性仅仅取决于特征方程的根，而与输入信号无关
•
……...
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Yzs ( s ) a w s w a w1 s w1 a1 s a0 F (s) X ( s) s n bn 1 s n 1 b1 s b0
其中，通常有 nw，F(s) 是系 统传递函数 特征函数--(s) (s)=0 是系统的特征方程
n
j n 1 2 j d
Re
cos η
n
问题：如果复数极点具有正实部， 系统的稳定性如何？
s2
6
暂态响应
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暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 3-1：F(s) 具有一对共轭复数极点（分母具有二次多项式形式）。 如果复数极点具有负实部 n ，其中阻尼比 >0
可查阅拉氏 变换表
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暂态响应
暂态响应：拉普拉斯变换方法
情况 3-2：F(s) 具有一对虚数极点（实部为零）
F (s) Yzs ( s ) Yzs ( s ) A3 A1 A2 2 2 X (s) ( s n )(s s3 ) s s1 s s2 s s3 A3 A1 A2 ; (here 0) s j n s j n s s3
a=3, b=4, c=2
f (t ) 2 A1 et s in( d t ) A3e s3t 0.606 e 3t s in(4t 104 ) 0.59 e 2 t
e ct e t sin(bt ) b f (t ) 10{ , tan 1 ( c a ) 2 b 2 b (c a ) 2 b 2 ca 0.59e2t 0.606e3t sin(4t 104 )