浙大版概率论与数理统计答案---第六章
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第六章 统计量与抽样分布
注意： 这是第一稿（存在一些错误）
1、解：易知的X 期望为μ，方差为
2
n
σ，则
()0,1X N n
μ
σ-
近似地
，
所以，()
()
0.10.10.12850.909285285X P X P μσμσ
σ
σ⎛
⎫
- ⎪
-<=<
≈Φ= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
。 2、解 （1）由题意得： 2
2
2
22
11
11
1()()()(
)n
n
i i i i E X D X E X D X E X n
n
n σμ==⎛⎫=+=+=+
⎪⎝⎭
∑
∑
()22
1111
1
1
1
1()()n
n
i i i i E X X E X X E X X n
n
n
σμ==⋅=⋅
=
=
+∑∑
（2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，2
2
1122
111()(
)()()n n n D X X D X D X n
n
n
σ----=+
=
从而 2
11~(0,)n X X N n
σ--
由于
~(0,1)i X N μ
σ
-，1,2,i n = ，且相互独立，因此：
()
()2
2
2
1
~n
i i X n μχ
σ
=-∑
由于
()
~(0,1)/
X N n
μσ-，所以
()
()2
2
2
~1n X μ
χ
σ
-
由于
()2
2
2
(1)~1n S
n χ
σ
--，所以
()
()
()2
2
2
2
2
2
(1)/
~1,1(1)n X n X n S
F n n S
μ
μσ
σ---=
--
（3）由于()
2
/2
2
1
~(/2)n i i X n μχσ
=-∑
，以及
()
2
2
1/2
~(/2)n
i i n X n μχσ
=+-∑
，因此有：
()
()
()
()
2
2
/2
/2
2
2
2
21
1/2
1
1/2
/
/
~(,)22
n n
n n
i i i i i i n i i n X X n n X X F μμμμσ
σ
==+==+--=
--∑
∑
∑∑
3、解：（1）()1
1111
1
1n n
n i
i
n n n i i n X X
X
X n X X ++++==+==
+=+∑∑
故111
1
n n n X n X X n n ++=+
++
（2）()()
(
)
()
1
2
2
2
2
2
11
1
1
1
1n n n
n
n n i n i n
i i nS
n S X X X X X X ++++==----=
---∑∑
(
)()
2
2
1
1n
i n i
n
i X X
X
X +=⎡⎤=
---⎢⎥⎣
⎦
∑
()()
1
11
2n
i
n n n
n i X
X X X
X ++==
---∑
()
2
1
n n n X X +=-
()2
1111
1n n n n n X X X n
+++⎧⎫
⎡⎤=+--⎨⎬⎣
⎦
⎩⎭
()2
11
1n n X X n
++=- ()
2
1
1
1
n n X
X n
++=
-
4、解 用X 表示a 的估计值，则
()
~(0,1)2.5/
X a N n
-。由题意得：
0.595%(0.5)2(0.5)12(
)12.5
P X a P X a n ≤-≤=-≤-=Φ-
经查表有：97n = 5、解：（1）
2
2
1
1
11lim n
n
p
i i n i i X X E n
n σσ→∞==⎛⎫
⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
∑
∑
， 因()0,1i
X N σ ，故()2
21n
i i X n χσ=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑ ， 所以221
1111
lim 1n
n
i i n i i X X E E n n n n σσ→∞
==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭∑
∑。 （2）因21n i i X E n σ=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，212n i i X D n σ=⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑，