动能定理和功能原理

动能定理和功能原理

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一.教法建议

【抛砖引玉】

在经典力学中，“动能定理”是“牛顿运动定律”的推论和发展，“功能原理”也是“牛顿运动定律”的进一步推导的结果。因此我们建议：教师不要把本单元的内容当作新知识灌输给学生，而是引导学生运用“牛顿运动定律”对下述的这个匀加速运动问题进行分析和推导，使学生自己获得新知识──“动能定理”和“功能原理”。

具体的教学过程请参考下列四个步骤：

第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。

若已知物体的质量为m、所受之合外力为、产生之加速度为a。

则根据牛顿第二定律可以写出：

③

将①、②两式代入③式：

导出：④

若以W表示外力对物体所做的总功

⑤

若以E ko表示物体通过A处时的动能，以E kt表示物体通过B处时的动能

则：⑥

⑦

将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：

W=E

－E ko

kt

若以△E k表示动能的变化E kt－E ko

则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：

W=△E k

它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。

在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下：

④

为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。

我们知道，当斜面的底角为θ时，下滑分力F1和重力mg的关系如下：

将⑩式代入④式后进行推导：

若以代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：

Fs－fs=△E

+△E P

K

它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。

若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：

⑿

若以代入⑿式，就可以写为：

Fs－fs=E

－E0

t

再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：

W

=△E

F

（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量它的物理意义是：外力对物体对所做的总功W

F

＞0时，△E＞0，机械能增加；当

△E。（当W

F

W

＜0时，△E＜0，机械能减少。

F

(请读者注意：“功能原理”中的W F与“动能定理”中的W是不相同的！我们将在后面的“指点迷津”中进行说明。)

在上面所推导出的关于“功能原理”的各数学表达式中，虽以W F=△E最为简练，但在实用解题中以⑾、⑿两式最方便，在后讲述的“学海导航”和“智能显示”栏目中将会看到。

【指点迷津】

下面我们推导“重力对物体做功”与“物体重力势能的变化”的数量关系：

由此可知：重力对物体的所做的功等于物体重力势能的变化。

上面推导出的这个结论是否只适用于竖直下落问题呢？不是的，它适用于重力对物体做功的各种情况，我们在后面的“学海导航”中还将通过例题说明其它情况。

3.“动能定理”和“功能原理”有什么联系和区别？在运用它们解题时需要注意什么？

研究“外力对物体做功”和“物体机械能变化”的关系是力学中的重要问题之一。“动能定理”和“功能原理”都是表达这种关系的规律，只是表达的形式不同，但它们的本质是相同的。

在“动能定理”中只提动能而不提势能；在“功能原理”中既提动能也提势能。

在“动能定理”中包含重力所做的功；在“功能原理”中不包含重力所做的功。

在“动能原理”中所包含的重力对物体所做的功与在“功能原理”中所提到的物体重力势能的变化是对同一物理现象的不同表述。

某些力学问题，既可以用“动能定理”求解，也可以用“功能原理”求解。具体如何选择，往往要根据题意而定。选择恰当，不仅解题便捷，而且不易失误。（注：目前的高三物理课本只讲“动能定理”，但有关功能原理的思想也分布在课文之中了。如果学生的基础不太好，若为减轻负担，也可只学习和应用“动能定理”。）

在运用“动能定理”解题时应当注意：在公式W=△E K中不含势能的变化

(△E P),但是在W中包含着重力做功W G。

在运用“功能原理”解题时应当注意：在公式W F=△E中既含动能的变化也含势能的变化，即

△E=△E K+△E P，但是在W F中不包含重力做功W G。（注：也不包括重力分解出的下滑分力做功！）总之必须明确：W与W F的区别；△E K与△E的区别。

二.学海导航

【思维基础】

例题1.如图5－10所示：质量为m的物体沿着光滑的斜面由A处滑到B处。物体通过A 处时的速度为v A、高度为h A;物体通过B处时的速度为v B、高度为h B。则在此过程中重力对物体所做的功W G

为：

思维基础：这是一个检查学生对概念规律的理解和应用能力的选择题，需掌握下列知识：

1.功的定义及其计算式。

2.“重力对物体做功”与“物体重力势能变化”的关系。

3.“动能定理”的物理意义及其应用。

4.建议：请学生阅读前面“教法建议”的内容后，参考其推理方法，先不看本题后面的解题思路和答案，自己进行解答，然后再进行核对，将会有较大的收获。

解题思路：在本题中物体只受重力和斜面的支持力(弹力)，又因斜面的支持力与物体的位移垂直而不做功，所以与解答本题无直接关系（因而在图中也未画出），因此只考虑重力做功与物体机械能的变化就可以了。

根据功的定义及其计算式，在本题中F=mg，代入可得：

根据数学中的三角函数知识，可知在本题中，代入可得：

(附：若将mg分解出下滑分力, 然后据，亦可得出同样结果。而重力的另一正压分力因与位移垂直不做功，只是与斜面支持力平衡，使物体在垂直于斜

面方向保持)

根据“重力对物体做功等于物体重力势能的变化”(当重力对物体做正功时，物体的重力势能减少)，可以写出下式：

答案：[A、B、C、D]

解题后的思考：

1.你想到了本题的四个答案都是正确的吗？这四个答案之间有什么联系？

2.你能够运用功的计算式、匀变速运动公式及数学中的三角函数知识等推导出(C)、(D)两个答案吗？

3.如果在本题中斜面是不光滑的（物体与斜面间存在着摩擦力f），那么(A)、(B)、(C)、(D)四个答案中哪些是正确的？哪些答案是不正确的？

【学法指要】

例题2.原来以7米/秒速度在水平轨道上直线行驶着的火车，在关闭气门停止动力后，滑行100米，车速减为5米/秒。问：继续滑行100米，车速将减为多少？（火车在滑行过程中阻力始终保持不变。）

启发性问题：

1.火车在滑行过程中处于何种做功状态？

2.你打算用什么物理规律解答本题？

3.你会用图示法分析物理问题吗？

分析与说明：

1.在本题中，火车滑行时已停止了动力作用，所以只存在运动着的火车克服阻力做功火车将减速运动。

2.解答本题可有几种不同方法，但是对于学过“动能定理”的学生，往往想到使用这个规律。