等差数列习题课教案

课题

等差数列习题课

三维目标

1、掌握等差等比数列的性质的应用

2、掌握数列中的一些特殊的解题技巧

3、能够熟练的应用数列的性质解题

重难点 重点是数列性质的灵活应用，做到熟能生巧，融会贯通

难点是数列的综合应用，求和以及证明 课件名称 等差数列习题课 上课时间

教学过程

一、知识梳理 数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.

4.数列的前n 项和与通项的公式

①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n n .

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.

②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.

③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. 等差数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式

⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.

⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=

或d n n na S n )1(2

1

1-+=. 3.等差中项

如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法

⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；

⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质

⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .

⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；

bn an S n +=2(a ,b 是常数)

⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；

⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n S n 是等差数列；

二、典型例题

热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中，

（1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S

变式训练： 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，3

2

7++=n n T S n n ，

则=5

5b a

. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5

935,95

S S a a 则（ ）

4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n

T n =+,则n n

a b =

（ ）

热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=

N n n

S b n

n .求证：数列{}n b 是等差数列. 变式训练：在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20

191817a a a a +++的值为（ ）

热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S .

（1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值；

（2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知

.0,0,1213123<>=S S a

（I ）求公差d 的取值范围；

（II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：数列单调性最值问题

例4、数列

{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得

最小值时，求n 的值。 跟踪训练： . 1.已知n

S 为等差数列

{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值

时，

n

S 取得最大值；

2.数列{}n a 中，1

2832+-=n n a n

，求

n

a 取最小值时n 的值.

3.已知数列{an}的前n 项和S n =12n －n 2

，求数列{|an|}的前n 项和Tn.

热点考向五：求数列通项公式

例5给出前n 项和求通项公式

⑴n n S n 322

+=； ⑵13+=n n S .（3）S n =12n －n 2

跟踪训练：设数列{}n a 满足2*12333()3

n n

a a a a n N +++=∈n-1 (3)

求数列{}n a 的通项公式

三。随堂训练

1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为 （ ）

A 、-600

B 、-120

C 、60

D 、-60

2、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是 （ ）

A 、a

B 、a 10

C 、a 11

D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （） A.公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D. 公差为n 的等差数列

4. 已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11= （ A 、36 B 、30 C 、24 D 、18

5.等差数列3,7,11,

,---的一个通项公式为

（ ）

A. 47n -

B. 47n --

C. 41n +

D. 41n -+

6.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .

7.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,

---中的项，若是，是第几项？

反思