1-4收敛数列的性质解析

不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上,{xn }是有界的, 但却发散.
3. 子列极限一致性
定义： 在数列 { xn } 中任意抽取无限多项并保持 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一 个数列称为原数列 { xn } 的子数列，简称子列.
{ xnk }
定理3 如果数列 { xn } 收敛于 a ，那么它的任 一子数列也收敛于 a
上式仅当a b时才能成立.
故收敛数列极限唯一.
2. 有界性
定义: 对数列{ xn }, 若存在正数 M , 使得一切
自然数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列{ xn}有
界, 否则, 称为无界.
例如, 数列 { n }; n1
有界
数列{2n}. 无界
数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [ M , M ]上.
3o 设{an }为无穷小,{cn }为有界数列, 那么{cnan }为无穷小;
4o 设0 an bn , n N * ,如果{bn }为无穷小,
那么 {an }也是无穷小;
5o
lim
n
an
a的充要条件是{an
a}为无穷小.
例4 :
已知
lim
n
an
a, 求证
lim a1
n
a2
n
... an
推论 无界数列必定发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
例1 证明数列xn (1)n1是发散的.
证
设 lim n
xn
a,
由定义, 对于 1 , 2
则N ,使得当n N时,有
即当n
N时,
xn
(a
1 2
,
xn a a 1),
2
1 成立, 2 区间长度为1.
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
2005／09／10
§1.4 收敛数列的性质
一、 收敛数列的性质
1. 唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b,
由定义, 0,N1 , N2 .使得
当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N maxN1 , N2, 则当n N时有
a b (xn b) (xn a) xn b xn a 2.
lim
n
5n2
4n
1
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
3
4
lim 2
n
lim 5
n
lim
n
lim
n
n 4
n
lim
n
lim
n
n2 1
n2
2 5
例3: 设 | q | 1, 计算极限 lim(1 q q2 ... qn1 ) n
lim(1 q q2 ... qn1 )
n
1 qn lim
比如：数列xn (1)n1 是发散的.
数列{sin n}是发散的
4. 不等式性质
定理4：
1o
设
lim
n
an
a,
, 满足
a
, 那么当
n充分大时有an ; an ;
2o
设
lim
n
a
n
a,
lim
n
bn
b, 且a
b, 那么当
n充分大时有 an bn;
3o
设
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
b,
且当n充分大时
n
| 1
2
N
n
|
(n
N n
)
2
| 1
2
N
n
|
2
lim n
1 2 N
n
0, N1
N
* ,使n
N
时
1
| 1
2
N
n
|
2
1 2 n
n
22
四、 夹逼准则 (两边夹法则)
定理 7 如果数列{ xn }, { yn }及{zn }满足条件:
n 1 q
1
qn
lim lim
n 1 q n 1 q
1 1 limqn 1 q 1 q n
1. 1q
三、 无穷小
定义: 如果收敛数列{an }的极限为0,那么这个数列 称为无穷小列, 简称无穷小.
定理6 : 1o{an }为无穷小的充要条件是{| an |}为无穷小;
2o 两个无穷小之和(或差)仍是无穷小;
有 an bn , 那么有a b.
证明见 P20
二、 极限的四则运算
定理5
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b, 则
(1)
lim[a
n
n
bn
]
a
b;
(2)
lim[a
n
n
bn
]
a
b;
(3) lim an a , 其中b 0. n bn b
证(1) 绝对值的三角形不等式;
(2) 收敛数列的有界性, 添加项, 绝对值的三角形不等式;
n
N 2时,
有
|
bn
b
|
b2 2
.
因此当n max{ N1 , N 2 }时, 便有
|
1 bn
1 b
|
2 b2
|
bn
b
|
.
即证得, lim 1 1 . 再由(2)易见结论成立.
b n n
b
说明：
有+无=无，
无+无=不定
有 无 不定 无 无 不定 推广到有限项
例2:
2n2 3n 4
(3) 先证b 0时, lim 1 1
b n n
b
对于
|b| 2
0,
N 1 ,
s.t
当n
N1时,
且此
时|
bn
|
|
b 2
|
0.
所以当n N1时,
|
bn
b
|
|
b 2
|
| 1 1 | | bn b | bn b | bnb |
2 b2
| bn
b|.
由于
lim
n
bn
b, 对
0, N2 , s.t 当
证 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
lim
n
xn
a,
故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 n N 时，| xn a |
成立。
取 K N , 则当 k K时 ，nk nK nN N .
于是｜xnk a | ,
证得
lim
n
xnk
a.
通常利用此定理来证明数列是发散的，
相应的, 可以给出有上界和有下界的定义
定理2 收敛的数列必定有界.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义,
取 1,
则N ,使得当n N时恒有 xn a 1,
即有 a 1 xn a 1. 记 M max{ x1 ,, xN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有 xn M , 故xn有界.
则
lim 1
n
2
n
n
0
证明： a1 a2 an a n
①
(a1 a) (a2 a) (an a) 0
n
转化为
若 limn 0 (n an a) 则 n
lim 1
n
2
n
n
0
② 由 limn 0 n
N N * , n N时，n 2
a1 a2 aN an
a.
分析： a1 a2 an a n
(a1 a) (a2 a) (an a) n
lim a1 a2 ... an a
n
n
lim (a1 a) (a2 a) (an a) 0
n
n
liman a lim(an a) 0
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n
n
令 n an a
若 limn 0 n