全国优质课一等奖反证法

反证法是一种常用的间接证明方法.
肯定条件p 否定结论 q
导致逻辑矛盾
归缪矛盾：
“﹁q”为假 “q”为真
正确的推理
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
常用的互为否定的表述方式： ≥1 ＜1
3 ＜ 3 至少有一个≥ —— 一个也没有 ≥n ＜n 至多有两个 至少有三个——
例 2
求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2 2
∴ m = 2n
2 2
2
2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
∴n2也是偶数，
这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
球染色问题 将9个球分别染成红色或白色无论怎样 染色，至少有5个球一 定是同色的。正 确吗？
数学中常见实例分析：
1.a 0, b 0, a b 1, 求证：a, b中至少有 1 一个不大于 2 2.a, b, c不全为零，a b c 0, 求证：a, b, c 中至少有一个大于 0
与已知a b 0矛盾
(1)若 a < b a b
与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
• 反证法常常是解决某些“疑难”问题的有 力工具，英国近代数学家哈代这样赞美他： “归谬法（反证法）是数学家最有力的一 件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得 优势的让棋法，他还要高明。象棋对弈者 不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让予对方。”
数学史上有很多经典证明 （如质数有无限多个的证明） 就采用了反证法。
反设
归谬
结论
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线不平行 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
B
C
证明：假设结论不成立，即：
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°, ∠C ___ 60°,
则∠A+∠B+∠C＞180 °.这与 三角形内角和等于 180 ° _____________________相矛盾 . 假设 所以______不成立，所求证的
＜
＜ ＜
试一试:
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图） 求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角 大于或等于60 ° B
C
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c
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a b
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴a∥b
二、应用新知 例1 证明：如果a b 0, 则 a否定要全面 b
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
对所有x, 存在某x， 对任何x， 不成立 成立 不成立
写出下列结论的反面情况：
（1）a∥b； （2）AB=CD；
（3）x是负数；
（4）a>b； （5）∠A是锐角；
写出下列结论的反面情况： （6）三角形的外角中，至少
有两个钝角.
（7）三角形中最多有一个角
是直角.
试一试
求证：在一个三角形中， 至少有一个内角小于或等 于60°. A
≤1 至多有(n-1) ＞1 至少有n个—— 个 最多有一个—— 至少有两个
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于
否定词
不等于 不是
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 存在某x, 成立
推理 合情推理 （归纳、类比） 证明 直接证明 （分析法、综合法） 间接证明 （反证法） 演绎推理 （三段论）
数学—公理化思想
大家议一议！
通过本节内容的学习，你 们觉得哪些题型宜用反证法 ？
我来告诉你（经验之谈）
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形 式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题；
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
小故事
路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦的没法吃。
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又 没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的, 树长在路边,李子早就没了！ 李子现在还那么多,所以啊, 肯定李子是苦的，不好吃!”
先假设结论的反面是正确 的，然后通过逻辑推理，推出 与公理、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾，说明假设不 成立，从而得到原结论正确．
这种证明方法叫做
一、探究定义
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法.
反证法:先假设命题不成立,
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定 义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.这样的证明方法叫做反证法
反思与收获
1、你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾等．
用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A
证明：假设所求的结论不成立，即 ＜ 60 ° ,∠ B__60 ＜ ∠A__ ° ,∠ C ＜ __60 ° 则∠A+∠ B+∠ C＜180 ° 180 °” 这与“三角形的三个内角之和等于 ______________________ 相矛盾 假设 不成立， 所求证的结论成立 所以______