应力状态与应变状态分析

第8章典型习题解析

1. 试画出下图所示简支梁A 点处的原始单元体。

图8.1

解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力:

A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：

z M y I σ= b

I QS z z

*=

τ

由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图(d)。

2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解：（1）求斜截面上的正应力

︒30－σ和切应力︒30－τ

由公式

MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100

5021005030-=︒---︒---++-=

︒-σ

MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100

5030=︒--+︒---=

︒-τ

（2）求主方向及主应力

8

.010050120

22tan -=----=--

=y x x σστα ︒-=66.382α

︒=︒

-=67.7033.1921αα

最大主应力在第一象限中，对应的角度为

070.67α=︒，主应力的大小为

1

5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=

⨯︒--⨯︒=－＋－－＋

由

y x σσσσαα+＝＋2

1

可解出

2

1

(50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=-－

因有一个为零的主应力，因此

)33.19(MPa

0.7133︒--＝第三主方向＝ασ

画出主单元体如图8.2(b)。

（3）主切应力作用面的法线方向

25

.1120100

502tan =---=

'α ︒='34.512α

︒='︒

='67.11567.2521αα

主切应力为

'

2

'

1

MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100

50ααττ-=-=︒-+︒--=

此两截面上的正应力为

MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100

502100501

=︒--︒--++-=

'ασ

MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100

502100502

=︒--︒--++-=

'ασ

主切应力单元体如图所示。

由

y

x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252

1

，可以验证上述结果的正确性。

3.试用图形解析法，重解例2。 解：（1）画应力圆

建立比例尺，画坐标轴τσ、。 对图(a)所示单元体，在τσ

-平面上画出代表x x τσ、的点A(-50,-60)和代表

y y τσ、的点B(100,60)。连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）

为半径，作应力圆如图所示.

(2) 斜截面上的应力

在应力圆上自A 点顺时针转过︒60，到达G 点。G 点在τσ、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点的水平和垂直坐标值：

64.5ασ=-MPa

τ

α

=34.95MPa

(3)主方向、主应力及主单元体

图所示应力圆图上H 点横坐标OH 为第一主应力，即

1121.04MPa OH σ==

K 点的横坐标OK 为第三主应力，即

371.04MPa OK σ==-

由应力圆图上可以看出，由B 点顺时针转过02α为第一主方向，在单元体上则为由y

轴顺时针转

0α，且

00238.66,19.33αα=︒=︒

应力圆图上由A 顺时针转到K 点(︒=∠66.38ACK )，则在单元体上由x 轴顺时针转过︒33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。

（4）主切应力作用面的位置及其上的应力

图所示应力圆上N 、P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。 在应力圆上由B 到N ，逆时针转过︒34.51，单元体上max τ作用面的外法线方向为由y

轴逆时针转过︒67.25，且

MPa 04.96min max ==-=CB ττ

min max ττ和作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c)所示。

4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩m 的作用。在圆筒表面a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45︒方向两个微小线段ab 和ac 的的应变ε45︒＝629.4×10–6

，ε–45︒＝－66.9×10–6

，试求压强P 和外力矩m 。已知薄壁筒的平均直径d ＝200mm ，厚度t ＝10mm ， E ＝200GPa ，泊松比μ＝0.25。

解：（1）a 点为平面应力状态,在a 点取出如图(c)所示的原始单元体，其上应力：

22,,42x y x pd pd m

t t d t σστπ=

==-

（2）求图8.4(c)斜单元体efgh 各面上的正应力：

245245

32283228x y

x x y x pd m

t d t pd m t d t σσστπσσστπ-+=-=

+

+=+=-

（3）利用胡克定律，列出应变ε45︒、ε–45︒表达式