车辆操纵动力学稳定性分析

车辆操纵动力学
摘要：汽车的前轮转角和横摆角速度是衡量汽车稳定性的两个重要指标。

汽车在行驶过程中，由于路况的各种不确定因素，驾驶员可能会采取紧急制动和转向的行为来避免交通事故。

在此过程中汽车的操纵稳定性会起到关键性的作用，因此对于汽车的稳定性的分析必不可少。

本文建立了汽车线性二自由度汽车模型，以前轮转角为输入，运用MATLAB进行时域分析。

对不同车型的在相同行驶速度、相同前轮转角下分析横摆角速度瞬态响应；在相同行驶速度下，在不同前轮转角输入下分析达到相同加速度的横摆角速度瞬态响应；随着车速增加，分析车辆瞬时转向响应与系统特征根之间的关系。

关键词：横摆角速度；前轮转角；特征根
引言
车辆稳定性控制是汽车主动安全领域研究的热点，已有的研究如以车辆横摆角速度、质心侧偏角、轮胎的滑移率、侧向加速度及这些变量联合作为控制变量的控制策略研究。

本文主要考虑车辆横摆角速度和前轮转角对车辆操纵稳定性的影响，进一步利用MATLAB得出状态空间矩阵的特征根变化趋势，了解车辆瞬时响应与其之间的关系。

1建立汽车数学模型
假设汽车的驱动力不大，不考虑地面切向力对轮胎侧偏特性的影响，没有空气动力的作用，忽略左、右车轮轮胎由于载荷的变化而引起轮胎特性的变化以及轮胎回正力矩的作用。

汽车模型即可简化为线性二自由度模型，如图1。

图1 线性二自由度模型
根据假设以及图1模型，二自由汽车收到的外力沿y轴方向的合力与绕质心的力
矩和为：
⎩⎨
⎧-=∑+=∑2
12
1cos cos Y Y Z Y Y Y bF aF M F F F δδ (1) 式中，FY1、FY2为地面对前后轮的侧向反作用力；δ为前轮转角；a 、b 分别为汽车前、后轮至质心的距离。

汽车前、后轮侧偏角与其运动参数有关，如图1所示，汽车前、后轴中点的速度u 1、u 2，侧偏角为α1、α2，质心的侧偏角为β，β=v/u 。

ξ是u 1与x 轴的夹角，其值为：
u
aw
u aw v r r +=+=
βξ (2) 根据坐标系规定，由式（2）得，前、后轮侧偏角为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=-+=--=u bw u bw v u
aw r r r βαδβξδα21)( （3） 考虑到δ角较小，前、后轮所受到的侧向力与相应的侧偏角成线性关系，则FY1、FY2为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⋅-=⋅=⋅-+=⋅=cr
u bw cr a FY cf u
aw cf a F r r Y )(2)(211βδβ （4） 将公式（2）、（3）、（4）以及公式β=v/u 带入（1），消去α1、α2，得二自由度汽车运动微分方程为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+----=---+-=+δδr r r f r f r Z f r r f r aC w u C b C a v u bC aC w I C w u
bC aC v u cr cf uw v m 2
2)( （5） 2 MATLAB 系统仿真
本文采用MATLAB 对汽车的操纵稳定性进行仿真研究。

以1949 Buick 和Ferrari 轿车为例，进行对比分析。

汽车具体参数如表1所示。

通过仿真实验分析不同前轮转角和不同车速下横摆角速度和前轮转角对汽车操纵稳定性的影响，并粗略得出状态矩阵的特征根与车辆瞬时转向响应之间的关系。

表1 车辆相关参数
2.1创建系统状态空间
将牛顿力学运动方程携程状态空间形式为：
⎩⎨
⎧+=+=DU
CX Y BU AX X
（6） 将纵向速度v 与质心角速度wr 作为变量，前轮转角δ作为输入，输出质心角速度wr 。

则由公式（5）可得：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡--
----+-=u C b C a u
bC aC u u bC aC u cr
cf A r f r f r f 2
2，⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡=Z
f f I aC m C B ，[]10=C ，
0=D ，[]r w v X =，r w Y =，δ=u 。

2.2 不同车型相同前轮转角下的对比
设置汽车初始速度U=40m/s ，在仿真时间开始时给前轮一个阶跃信号，使前轮转角为15°，并保持不变，传动比Ng=45。

此时角阶跃输入下的横摆角速度时域响应如图2所示，系统的Bode 图如3所示。

由图2可知，在同样的转向盘角输入下，法拉利跑车的瞬态响应比别克轿车的稍好一些，主要体现在较短的响应时间，较小的超调量以及更好的阻尼特性等。

由图3可知，对于频域响应在同一行驶车速下，法拉利跑车的响应带宽大于别克轿车的响应带宽，从而也说明了前者具有更好地频率响应特性，对于相频特性，法拉利跑车的系统响应之后要比别克车的少，系统延迟小。

图2 角阶跃输入下的横摆角速度时域响应
图3 角阶跃输入下的横摆角速度频域响应3.3 不同车型相同侧向加速度下的对比
稳态情况下前轮转角与侧向加速度的关系为：
y R
式中Rg U a C a C b L mg K y r
f /),(2=-=
，L 为前、后轮车轴中心的距离。

阶跃转向输入的侧向加速度增益为：
Lg
KU Lg U a steady
y
/1/2
2+=δ
（8） 联立公式（7）、（8），在40m/s 车速下，为了获得0.3g 的稳态侧向加速度，Buick 和Ferrari 的车轮转角分别为0.61°和0.25°，相同侧向加速度的横摆角速度稳态响应曲线如图4所示。

图4 稳态侧向加速度输入下的横摆角速度时域响应
由图4可知，在同样地稳态侧向加速度输入下，可以更清晰的看出法拉利跑车有着较短的响应时间，较小的超调量，以及更好的阻尼特性，其瞬态响应比别克轿车更好。

3.4 系统特征根分析
动态系统的许多重要特性都是由系统的极点（特征根）在复平面上的位置决定的。

对于一个一阶系统
σ
s
+
其脉冲响应为
g tσ-
t
=（10）e
)(1
)(t
如果σ>0,极点位于左（半）复平面，系统是稳定的；
如果σ<0,极点位于右（半）复平面，系统是不稳定的；
复数极点可以通过实部和虚部来描述。

设定汽车的车速为10～60m/s,每隔5m/s取一个数值。

得出不同车速系统轨迹图，如图5所示。

图5 不同车速系统轨迹图
由图5可知，随着车速的增加，两种车型的特征根随车速变化而变化的趋势不同，法拉利有着相对较大的稳定裕度，因此其特征根位置与别克车比更远离虚轴。

附录：
%1949 Buick 汽车参数
mB=2045; % 质量
IzB=5428; % 横摆转动惯量
aB=1.488; %前轴到质心的距离
bB=1.712; %后轴到质心的距离
LB=3.2; % 轴距
CfB=77850; %前轮侧偏刚度
CrB=76510; %后轮侧偏刚度
%Ferrari 汽车参数
mF=1008; % 质量
IzF=1031; % 横摆转动惯量
aF=1.234; %前轴到质心的距离
bF=1.022; %后轴到质心的距离
LF=2.566; % 轴距
CfF=117440; %前轮侧偏刚度
CrF=144930; %后轮侧偏刚度
U=40; %车速40km/h
g=9.8; %重力加速度
%总参数
m=[2045 1008]; %质量(kg)
Iz=[5428 1031]; %横摆转动惯量(kg*m^2)
a=[1.488 1.234]; %前轴到质心距离(m)
b=[1.712 1.022]; %后轴到质心距离(m)
L=[3.200 2.256]; %轴距（m）
Cf=[77850 117440]; %前轮侧偏刚度(N/rad)
Cr=[76510 144930]; %后轮侧偏刚度(N/rad)
A11=-(Cf+Cr)./(m*U);
A12=-(a.*Cf-b.*Cr)./(m*U)-U;
A21=-(a.*Cf-b.*Cr)./(Iz*U);
A22=-(a.^2.*Cf+b.^2.*Cr)./(Iz*U);
%1949 Buick状态矩阵
AB=[-(CfB+CrB)/(mB*U),-(aB*CfB-bB.*CrB)/(mB*U)-U;-(aB*CfB-bB*CrB)/(Iz B*U),-(aB*aB*CfB+bB*bB*CrB)/(IzB*U)];
BB=[CfB/mB;aB*CfB/IzB];
CB=[0,1];
DB=0;
SYSB=ss(AB,BB,CB,DB);
%Ferrari状态矩阵
AF=[-(CfF+CrF)/(mF*U),-(aF*CfF-bF.*CrF)/(mF*U)-U;
-(aF*CfF-bF*CrF)/(IzF*U),-(aF*aF*CfF+bF*bF*CrF)/(IzF*U)];
BF=[CfF/mF;aF*CfF/IzF];
CF=[0,1];
DF=0;
SYSF=ss(AF,BF,CF,DF);
%生成输入向量
t=0:0.01:5;
delta(1)=0;
Ng=45; %传动比45
for k=2:length(t);
delta(k)=15/Ng;
end
%求时域响应
YB=lsim(SYSB,delta,t);
YF=lsim(SYSF,delta,t);
%画时域响应图并说明
figure(1);
plot(t,YB,'g--',t,YF,'b-');
xlabel('Time(sec)'); %对X轴说明
ylabel('Yaw rate(deg/s)'); %对Y轴说明
title('Linear Simulation Results') %加标题
text(2.3,5.1,'Ferrari'); %指定位置添加图形说明
text(2.3,1.9,'1949 Buick');
text(1.5,3.5,'Gear ratio=45,U=40 m/s');
grid on; %开网格
%bode 图
figure(2);
bode(SYSB,SYSF);
legend('1949 Buick','Ferrari');
title('Steer angle to yaw rate frequency response');
grid on; %开网格
%相同加速度下的时域响应曲线，ay=0.3*g
g=9.8; %重力加速
ay=0.3*g; %相同的侧向加速度
U=40;
Ng=45; %传动比45
AB1=[-(CfB+CrB)/(mB*U),-(aB*CfB-bB*CrB)/(mB*U)-U;
-(aB*CfB-bB*CrB)/(IzB*U),-(aB*aB*CfB+bB*bB*CrB)/(IzB*U)]; AF1=[-(CfF+CrF)/(mF*U),-(aF*CfF-bF*CrF)/(mF*U)-U;
-(aF*CfF-bF*CrF)/(IzF*U),-(aF*aF*CfF+bF*bF*CrF)/(IzF*U)]; KB=mB*g/LB*(bB/CfB-aB/CrB); %1949 Buick转向系数
KF=mF*g/LF*(bF/CfF-aF/CrF); %Ferrari转向系数
DCB=(U*U/(LB*g))/(1+KB*U*U/(LB*g));
DCF=(U*U/(LF*g))/(1+KF*U*U/(LF*g));
% deltaB=ay*(LB*g+KB*U*U)/(U*U)*180/pi;
% deltaF=ay*(LF*g+KF*U*U)/(U*U);
deltaB=ay/DCB;
deltaF=ay/DCF;
t=0:0.01:5;
deltaB(1)=0;
deltaF(1)=0;
SYSB1=ss(AB1,BB,CB,DB);
SYSF1=ss(AF1,BF,CF,DF);
for k=2:length(t);
deltaB(k)=0.61*180/pi/Ng;
end
for k=2:length(t);
deltaF(k)=0.25*180/pi/Ng;
end
YB1=lsim(SYSB1,deltaB,t);
YF1=lsim(SYSF1,deltaF,t);
figure(3);
plot(t,YB1,'b',t,YF1,'g');
legend('1949 Buick','Ferrari');
grid on;
%随着车速增加系统特征根值变化
u=10:5:60;
for j=1:length(u);
A=[A11(1)*U/u(j) (A12(1)+U)*U/u(j)-u(j);A21(1)*U/u(j) A22(1)*U/u(j)]; figure(4)
plot(real(eig(A)),imag(eig(A)),'ro');
hold on;
end
for j=1:length(u);
A=[A11(2)*U/u(j) (A12(2)+U)*U/u(j)-u(j);A21(2)*U/u(j) A22(2)*U/u(j)]; figure(4)
plot(real(eig(A)),imag(eig(A)),'bx');
hold on;
end
title('Root locus of the yaw rate')。