小学六年级数学拔高之巧解圆的周长和面积

第11讲 巧解圆的周长和面积（一）

本节研究圆与各种图形的组合图形。一般的组合图形都是有一些基本图形拼合或重叠而成的。细心观察，识别图形是解这类题的关键。 （1） 常用技巧：确定弧的长度，弧所对的圆心角大小。

（2） 圆心角分别为60°，90°，120°，270°，···的扇形可以看 作是61，41，31，4

3…的圆来计算面积。

例1 如右图，四根直径相同的管子 别一根金属带紧紧的捆在一起，一直阴影部分的面积是0．615平凡米，试问：金属带的长度是多少米？

分析与解 阴影部分的面积是以4个圆心为顶点的正方形的面积减去一个圆的面积。 设管子的直径为d ，则

d 2-π×（2

1

d ）2=d 2 ×（1-4

π）=0.615，d=1

金属带的长度正好是直径的4倍和一个圆的周长总和：

1×4+π×1=4+3.14=7.14（米）

答金属带的长度是7.14米。

做一做1 有7根直径2分泌的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，问：最短需要多少米长的绳子？（打扣用的绳子不计）

例2、用两根都是6.28米长的铁丝，分别为成一个正方形和一个圆形，问：哪一个的面积大，大多少？

分析与解围成的正方形边长是

6.28÷4=1.57（米）

这个正方形的面积为

1.572=2。4649（米）2

围成的圆的半径是

6.28÷（2π）=1米）

这个圆的面积为

π12=3.14（米2）

所以圆的面积比正方形的面积大。

3.14-2.4649=0.6751米2。

做一做、用两根长都是12.56厘米的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆，问：哪一个面积大？大多少？

例3、如右图，三角形S1的面积是是24平方厘米，斜边长10厘米。将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是多少？（π≈3.14）

分析与解 S1=S2，可见

扫过的面积=S2+扇形面积

=24+10×10×3.14

=102.5（厘米2）

答：三角形扫过的面积是102.5厘米2。

做一做、右图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。设A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点（见图），那么，图中阴影部分的面积是多少？

例4、如右图，一个圆心角是45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米。问：阴影部分的面积是多少？

分析与解以AB为轴作出扇形ABCD的对称图形（如图），那么所求

1减去直角三角形ACC＇的阴影部分的面积等于半径为AC的圆面积的

4

面积所得差的一半，即所求阴影部分的面积为

1-（62+62）÷2］÷2=10.62（厘米2）

［3.14×（62+62）×

4

答：阴影部分的面积是10.62厘米2。

做一做、计算右图阴影部分的面积。（单位：厘米）

例5、如图，∠BOA=90°，若以OA 为直接画半圆交OD 于K ，且∠AOD=450，又图中①的面积为1厘米2，求阴影部分的面积。

分析与解：设OA=R 则扇形AOB 的圆心角是90°，半径为R 。 因为S 扇形AOB =41

πR 2=2S 扇形AOD ，S 扇形AOD =8

1πR 2

S 扇形AKO=21错误!未定义书签。π×（2R ）2=8

1πR 2 又因为S 半圆AKO =S

扇形AOD

所以S 阴影=S ①=1（厘米2） 答：阴影部分的面积是1厘米2。

做一做、右图中阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大28平方厘米直径AB 长40厘米，求BC 的长。

例6、草场上有一个长20米，宽10米的关闭着的羊圈，在圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

分析与解 如右上图所示，羊活动的范围可以分为A ，B ，C 三部分，其中A 是半径30米的43个圆，B ，C 分别是半径为20米和10米的4

1个圆。所以羊活动的范围是

π×302×4

3

+202×4

1+π×102×41=π×（302×43+202×41+102×4

1） =3.14×（675+100+25）=2512（米2）

做一做、已知狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见下图），绳子长是4米，求狗所能到的地方的总面积。

例7、下图中的圆是以O 为圆心，半径为10厘米的圆，求阴影部分的面积。

分析与解：解此题的基本思路是：

从这个基本思路可以看出，要想得到阴影部分S 1的面积，就必须想办法求出S 2和S 3的面积。 =21πr 2=2

1πr102=50π（厘米2） S 3的面积又要用下图的基本思路是：

S 5=2

1 r 2×2=r 2=102=100（厘米2）

要想求出S 4的面积，必须求出半径R 。因为S 5的面积也等于2

1 R 2，因此得到2

1 R 2=100，即R 2=200。可见，现在还是无法求出R 。联想扇形的面积公式S 扇=πR 2×360

a

，只要得到R 2即可使用此公式。由此得到 S 4=πR 2×

360a =200π×360

90=50π（厘米2） 现在就可以求出S 3的面积，进而求出阴影部分的面积了。

S3= S4-S5=50π-100（厘米2）

S1= S2- S3=50π-（50π-100）=100（厘米2）

做一做、如图，在以AB为直径的半圆上取一点C,分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC，当C点在什么位置时，图中两个弯月形（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大？

巧练习——温故知新（十一）

1、如右图所示，已知大圆O的半径为20厘米，求a、b、c、d四个小圆的周长之和。

2、如图1、图2所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。