数学选择性必修第二册 第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质

(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
解 由等比中项，化简条件得 a26＋2a6a8＋a28＝49， 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0， ∴a6＋a8＝7.
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10.
出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精 __1_－__1a__8_2_－__1a_ _升.
解析 由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以 1 为首项，1－1a为公比 的等比数列， 即：第一次取出的纯酒精为 1 升，第二次取出的为 1－1a(升)，第三次取出 的为1－1a2 升，…， 第 n 次取出的纯酒精为1－1an－1 升，
反思 感悟
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数 列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
则第九次和第十次共取出纯酒精数量为Hale Waihona Puke Baidu
a9＋a10＝1－1a8＋1－1a9＝1－1a82－1a(升).
二、等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列. (1)等比数列{an}满足 a2a4＝12，求 a1a23a5；
解 在等比数列{an}中， ∵a2a4＝12， ∴a23＝a1a5＝a2a4＝12， ∴a1a23a5＝14.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
反思 感悟
等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问 题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
跟踪训练1 有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取
3.某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加
8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加
A.24%
√ B.32% C.1.083－1
D.1.084－1
解析 设2018年储蓄量为a ，根据等比数列通项公式得
2019年储蓄量为a(1＋0.08)＝1.08a，
2020年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.082a，
解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，
a2a4a6a8a10＝64，则aa21aa43aa65aa87aa190＝q5＝32，则 q＝2.
2 题型探究
PART TWO
一、数列的实际应用
例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的 速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
第四章 4.3.1 等比数列的概念
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法. 2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 3.理解等比数列的常用性质. 4.掌握等比数列的判断及证明方法.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或 qk2)的
等比数列.
(数4)列若，{a且n}是公等比比分数别列是，q公，比1q，为q2q，. 则数列{λan}(λ≠0)，a1n，{a2n}都是等比
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 p
2021年储蓄量为a(1＋0.08)(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.083a，
所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了
1.083a－a a
＝1.083－1.
4.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，
则其公比是
3 A.2
B. 2
√C.2
D.2 2
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁殖成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256.
知识梳理
知识点一 实际应用题常见的数列模型
1.储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本 利和y＝a(1＋r)n. 2.总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y ＝N(1＋p)n.
知识点二 等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an . (2)若m，p，n成等差数列，则 am，ap，an 成等比数列.
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.
2.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
√C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
解析 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列， 比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列. 两个等比数列的积一定是等比数列.