高考文科数学专项练习-不等式选讲

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高三数学不等式选讲试题答案及解析

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

高三冲刺高考(文科数学)不等式选讲

对点训练
已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．
考点三与绝对值不等式有关的恒成立问题
——弄清绝对值的几何意义
[例3] 已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围．
对点训练
已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝3.
(1)证明： 1 + 1 + 1 ≥3；
ab bc ac
(2)证明： 2 + 2 + 2 ≥3.
a+ bc b+ ac c+ ab
考点二含绝对值不等式的解法 ——掀起“绝对值”的盖头
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
归纳总结解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式恒不等式f(x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)min>A. 成立问题不等式f(x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)max<B.
在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，等价于在区间D上不等式能 f(x)max>A. 成立问题在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，等价于在区间D上
归纳总结绝对值不等式的常用解法

高三文科数学二轮精品训练题：不等式选讲

1．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解析：(1)a ＝1时，f (x )≥3x ＋2，即|x －1|≥2，解得x ≥3成x ≤－1.故不等式的解集是{}x | x ≥3或x ≤－1.(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧ x ≤a －(x －a )＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式的解集为{x |x ≤－a 2}，由题意得－a 2＝－1，故a ＝2.2．(2019·浉河区校级月考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2.求证：(1)a b ＋b a ≤2；(2)2≤a 2＋b 2<16.证明：(1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴2≥2ab >0，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，∴0<ab ≤1，∴a b ＋b a ＝ab (a ＋b )＝2ab ≤2.(2)∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，∴a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ，∴a 2＋b 2＝16－16ab ＋4ab －2ab ＝2ab －16ab ＋16＝2(ab －8ab ＋16)－16＝2(ab －4)2－16＝2(4－ab )2－16，∵0<ab ≤1，∴3≤4－ab <4，∴9≤(4－ab )2<16，∴2≤2(4－ab )2－16<16，故2≤a 2＋b 2<16.3．(2019·烟台一模)已知函数f (x )＝|2x －1|－m |x ＋2|.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若存在实数m 使得不等式f (x －2)>m 在x ∈[－1,1]恒成立，求m 的取值范围．解析：(1)当m ＝1时，|2x －1|－|x ＋2|≥2，当x ≤－2时，原不等式转化为1－2x ＋x ＋2≥2，解得x ≤－2；当－2<x ≤12时，原不等式转化为1－2x －x －2≥2，解得－2<x ≤－1；当x >12时，原不等式转化为2x －1－x －2≥2，解得x ≥5；综上，不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥5}．(2)由已知得：f (x －2)＝|2x －5|－m |x |>m ，即m <|2x －5||x |＋1.设g (x )＝|2x －5||x |＋1，x ∈[－1,1]，由题意m <g (x )min .当x ∈[0,1]时，g (x )＝－2x ＋5x ＋1＝－2＋7x ＋1为减函数，此时最小值为g (1)＝32；当x ∈[－1,0)时，g (x )＝－2x ＋5－x ＋1＝2－3x －1为增函数，此时最小值为g (－1)＝72. 又32<72，所以g (x )min ＝32.所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <32. 4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |.(1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，求a 的取值范围．解析：(1)因为函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，故f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1－(3－2x )≥1，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤32，2x ＋1－(3－2x )≥1，② 或⎩⎪⎨⎪⎧ x >32，2x ＋1－(2x －3)≥1.③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32.综上可得，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥34. (2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max .∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4，∴f (x )max ＝4.∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|.∴|a ＋1|≥4，解得a ≥3或a ≤－5.故a 的取值范围为{a |a ≥3或a ≤－5}．5．(2019·南昌模拟)设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值．解析：(1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2.综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |.∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解析：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23. 由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

高三数学不等式选讲试题

高三数学不等式选讲试题1.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.2.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此【考点】不等式恒成立4.设,则的最小值为。

【答案】9【解析】由柯西不等式可知。

5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.6.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.7.满足不等式的的取值范围是________.【答案】{或}【解析】不等式等价于，即，故的取值范围是．【考点】解不等式．8.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．∪（1，+∞）【答案】D【解析】原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D9.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形面积，解得，故选D.【考点】1.一元二次不等式的求解.10.下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32【答案】B【解析】选B.因为log32<log33=1,log23>log22=1,所以log32<log23,又因为log23<log25,所以log32<log23<log25.11.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0.所以不论b正或b负均有a+b>0.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小.【答案】z≥y>x【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.14.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.15.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.16.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.17.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.【答案】a+(b*c)=(a+b)*(a+c)【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).18.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.【答案】见解析【解析】【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.19.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-∞,-3]【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].20.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2（2）{m|m≤5}【解析】(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(2－x)＋(x＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x＋3)≥0即当－3≤x≤2时等号成立．所以实数m的取值范围是{m|m≤5}．21.设a、b∈R＋，试比较与的大小．【答案】≥【解析】∵()2－＝≥0，∴≥22.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【答案】【解析】(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为23.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．【答案】M>N【解析】∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.24.已知a>0，求证：－≥a＋－2.【答案】见解析【解析】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．25.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】（1）m＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.26.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.27.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.28.已知a,b,c∈(1,2),求证:++≥6.【答案】见解析【解析】证明：∵≥=,≥=,≥=.∴y=++≥++.又由柯西不等式可得[(a-b+1)+(b-c+1)+(c-a+1)](++)≥18,即++≥=6.∴y=6,当且仅当a=b=c=时取到最小值,min原不等式得证.29.“a<4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为|2x－1|＋|2x＋3|≥a，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点x到点和－的距离之和≥2，所以当a<4时，有<2，所以不等式成立，此时为充分条件要使|2x－1|＋|2x＋3|≥a恒成立，即恒成立，则有≤2，即a≤4综上，“a<4”是“|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的充分不必要条件，故选B.30.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.31.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【答案】2.【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)( bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．∴所求最小值为2.32.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)( a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）≤x≤【解析】(1)f(x)＝图象如图．(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)得≥f(x)．又因为≥＝2.则有2≥f(x)．解不等式2≥|x－1|＋|x－2|得≤x≤. 即x的取值范围为≤x≤33. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．34.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥35.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】，设A为关于的不等式的解集，当A为时，则即；当即时，，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.【考点】新定义、含参数不等式的解法.36.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.37.[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【答案】．【解析】，，又． 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的证明，绝对值不等式的性质。

高考文科数学复习专题19 不等式选讲(学生版)

专题19 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数()211=++-．f x x x（1）画出()=的图像；y f x（2）当[)+f x ax b≤，求a bx+∞∈，，()+的最小值．8．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤。

高考数学专题：不等式选讲

不等式选讲1．(优质试题·江苏卷)已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .证明因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .2．(优质试题·江苏卷)解不等式x ＋|2x －1|<3.解原不等式可化为⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎨⎧ 2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2<x <43. 3．(优质试题·江苏卷)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .4．(优质试题·江苏卷)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518. 5．(优质试题·盐城模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6．(优质试题·苏北四市调研)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 证明法一因为x ，y ，z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥2z ，同理，可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .法二由于x >0，y >0，z >0，要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z ，只要证x 2＋y 2＋z 2xyz ≥yz ＋zx ＋xy xyz，所以只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy .由于x 2＋y 2＋z 2－(yz ＋zx ＋xy )＝12[(x －y )2＋(y －z )2＋(z －x )2]≥0，故x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy 恒成立，所以x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .7．(优质试题·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或1<x <3或x >5. 8．(优质试题·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)已知函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝m －2|x －11|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，实数m 的最大值为t .(1)求实数m 的最大值t ；(2)已知实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值为t 20，求a 的值．解 (1)由题意可得g (x ＋4)＝m －2|x ＋4－11|＝m －2|x －7|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，则2|x ＋3|≥m －2|x －7|，即m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|)．而由绝对值三角不等式可得2(|x ＋3|＋|x －7|)≥2|(x ＋3)－(x －7)|＝20，所以m ≤20，故m 的最大值t ＝20.(2)实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，由柯西不等式可得[(2x )2＋(3y )2＋(6z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·13＋6z ·162，即a ×1≥(x ＋y ＋z )2，所以x ＋y ＋z ≤a .又因为x ＋y ＋z 的最大值是t 20＝1，所以a ＝1，所以a ＝1.。

专题27 不等式选讲(文理通用)(解析版)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式选讲目录题型一：含绝对值不等式的解法 .......................................................... 1 题型二：不等式的最值 ......................................................................... 8 题型三：含绝对值不等式的成立问题................................................... 9 题型四：含绝对值函数的图像及其应用 ............................................. 10 题型五：不等式证明 (17)题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =−++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >−，求a 的取值范围．【答案】(1)(][),42,−∞−+∞ ．(2)3,2−+∞．解析：(1)当1a =时，()13f x x x =−++，13x x −++表示数轴上的点到1和3−的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3−的距离之和不小于6，故4x ≤−或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,−∞−+∞ ．(2)依题意()f x a >−，即3a x a x −+>−+恒成立，333x a x x a a x −++−+=≥++，故3a a +>−，所以3a a +>−或3a a +<，解得32a >−．所以a 的取值范围是3,2−+∞．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =−+−+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集； (2)若()4f x …，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x≤或112x≥；(2)(][),13,−∞−+∞ ．解析：(1)当2a =时，()43f x x x =−+−．当3x ≤时，()43724f x x x x =−+−=−≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =−+−=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =−+−=−≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ≤或112x ≥ ．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =−+−+≥−−−+=−+−=−(当且仅当221a x a −≤≤时取等号)，()214a ∴−≥，解得：1a ≤−或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,−∞−+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3−【解析】1224x x x <−−−−≤ 或10224x x x −≤≤ +−≤ 或0224x x x >++≤21x ∴−≤<−或10x −≤≤或203x <≤,所以解集为22,3−4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =−+−−．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈−∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1−∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x −−−.当1x <时，2()2(1)0f x x =−−<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)−∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈−∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x −−−−− 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x −+−−<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x −+−−<；当1x <时，原不等式可化，即()210x −>，显然成立，此时解集为(),1−∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x −+−−<，即()210x −<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1−∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈−∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a −+−−<，即()()10x a x −−>，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a −< =−−<≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x −. 【答案】见解析【解析】当0x <时，原不等式可化为122x x −+−>，解得13x <−；为为当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +−>，即1x <−，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +−>，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <−>或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+−−>．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤−−−+−> 或111221x x x −<< ++−> 或11221x x x ≥ +−+> ，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a −−<−=+−−≤≤ −++>，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A −，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +．由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >．所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ≤−≥−或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可解析：原不等式可化为3232x x <− −−≥ 或32332x x ≥−+≥ ．解得5x ≤−或13x ≥−．综上，原不等式的解集是153x x x ≤−≥−或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++−>(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++−=++−≥++−=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++−=−++<当03a <<时，()3f =165a a−+<，解得a >当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得a >综上所述，a 的取值范围为．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)．【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而所以不等式的解集为()24f x x ax =−++()11g x x x =++−1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1−a 112x x −+−≤≤[]1,1−1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x −+++−−≤x 1x <−11x −≤≤1x >[1,1]x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[1,1]−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()12f −≥()12f ≥11a −≤≤a []1,1−1a =()()f x g x ≥21140x x x x −+++−−<1x <−2340x x −−≤11x −≤≤220x x −−≤11x −≤≤1x >240x x +−≤1x <≤()()f x g x ≥112xx −+−≤≤(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得．所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时，当时，当时， []1,1x ∈−()2g x =()()f x g x ≥[]1,1−[]1,1x ∈−()2f x ≥()f x []1,1−()1f −()1f ()()1212f f −≥ ≥ 11a −≤≤a []1,1−()12f x x x =+−−()1f x ≥()2f x x x m ≥−+m {}1x x ≥5-，4 ∞()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x −<−=+−−=−≤≤ > ()1f x ≥131x <− −≥ 12211x x −≤≤ −≥231x > ≥ 131x <− −≥ ⇒x 1222x x −≤≤ ≥ 12x ⇒≤≤231x >≥ 2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥−+m ()2f x x x m ≥−+()2m f x x x >−+()()2F x f x x x =−+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x −+−<−−+−≤≤ −++>()max m F x > 1x <−()()2211131524F x x x x F=−+−=−−−<−=− 12x −≤≤()223535312424F x x x x F =−+−=−−+≤= 2x >()()2211332124F x x x x F=−++=−−+<=所以所以不等式的解集为空集时，所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设由(1)知当时，，其开口向下，对称轴所以当时，，其开口向下，对称轴为所以当时，，其开口向下，对称轴为所以综上所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a −+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =−,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ){}13x x −≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x −+.()max 3524F x F== ()2f x x x m ≥−+54m >()2f x x x m ≥−+m 5,4−∞x R ∈2()f x x x m −+≥2max [()]f x x x m −+≥2()()g x f x x x =−+2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x −+−≤− =−+−−<< −++≥1x ≤−2()3g x x x =−+−112x =>−()()11135g x g ≤−=−−−=−12x −<<()231g x x x =−+−32x =()399512424g x g ≤=−+−=2x ≥()23g x x x =−++12x =()()24231g x g ≤=−++=()max 54g x =m 5,4−∞解不等式2226x −+≤,得13x −≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x −≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=−++−−+−+=−+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a −+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a −+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a −+≥,解得2a ≥ 所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333xy z==，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．【答案】解析:(1),得,且当, 故,且当,∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．0,0a b >>11a b+33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b 33a b +?a b 33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +=(Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)+的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =−，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a −−<<−，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；(Ⅱ)，再利用柯西不等式的最大值．解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a −−=−=解得3a =-,1b = (Ⅱ≤4=，即1t =时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．解析：(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a x b -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++,所以a b c 4++=． (Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得 ()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c++++≥×××=++=, 即222118497a b c ++?．当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立所以2221149a b c ++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =−+−−．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +−=−< −+>≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x −． (2)()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++−．而|||2||2|≥x a x a ++−+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a −或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,−∞−+∞ ．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+−−．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+−−，即2,1,()2,11,2, 1.x f xx x x −≤− =−<< ≥故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +−−>成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax −<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax −≥；若0a >，|1|1ax −<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =−−．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】(1),33a a(2)2解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x −−<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x −−<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a． (2)2,()23,x a x af x x a x a −+≤ =−>．画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B,所以||=AB a ,所以211||222ABCS AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+−．(1)求不等式()6f x x ≤−的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤+−≤所确定的平面区域的面积．【答案】(1)[2,2]−； (2)8．解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>=+≤≤ −+<，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x > −≤− 或0226x x x ≤≤ +≤− 或0326x x x < −+≤−，解2326x x x >−≤− ，得无解；解0226x x x ≤≤ +≤− ，得02x ≤≤，解0326x x x < −+≤−，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]− (2)作出不等式组()60f x yx y ≤+−≤表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =−++= ，解得(2,8)A −，由26y x x y =+ +=, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =×−=−×−−= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+−−．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】(1)详解解析；(2)7,6 −∞−．【解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x+≥=−−<<−−≤−，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6 −∞−．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+−−． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f >的解集．【答案】 (I )见解析 (II )()()11353−∞+∞，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =−时，得13x =或5x = 故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x −<的解集为153x x x <>或 ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x−−=−−<<− ，≤，，≥ ()1f x >当1x −≤，41x −>，解得5x >或3x <1x −∴≤ 当312x −<<，321x −>，解得1x >或13x <113x −<<∴或312x <<当32x ≥，41x −>，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x>综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353−∞+∞，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++−．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x−<−=+−≤<≥()y f x=的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】(1)()211f x x x =++−3,112,12132x x x x x x >=+−≤≤ −<−，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b −+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a −≥，且30a b −+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b −+−≥恒成立结合3a ≥，可知20b −≥即2b ≥综上可知32a b ≥ ≥ ，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, , 所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥．【答案】(1)见解析 (2)见解析【解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤，即043a c <+≤，所以1143a c ≥+，由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++，当且仅当124a c=，即1a =，12c =时取等号，所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc +++++++ ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=−++1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=−++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<， 1,a b c a bc=−−= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bcbc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=． (1)求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a −≤或1a −≥．【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =−+++++−++++++−2223(1)(1)(1)x y z −++++ …故由已知得232(1)(1)143()x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a −+−+−.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =−+−+−+−−+−−+−−2223(2)(1)()x y z a −+−+− …故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +−+−+−…，当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a −+−+−的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a −≤或1a −≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z −++++++−++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当且仅当511,,333x y z ==−=−时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a −+−+−++≥．当且仅当4122,,333a a a xy z −−−==时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a −+−+−++=−+−+−=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a −≤或1a −≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324×××=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =−+−，2()1681g x x x =−+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．【答案】(1)[0，43]；(2)见解析．解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥−≤ ①，或111x x < −≤ ②．解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14−≤x ≤34，∴N =[14−，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x−−≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]．解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥++ 29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=−+≥． (江苏苏州褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ． (II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥×+×+×++++=++即2223q p r ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+(Ⅱ>是a b c d −<−的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析．解析：(Ⅰ)因为2a b =++，2c d =++a b c d+=+，abcd >，得22>++>(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d −<−，则22()()a b c d −<−．即22()4()4a b ab cd cd +−<+−．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由(Ⅰ)>．(ⅱ)>22>，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a bab −=+−2()4c dcd <+−2()c d =−．因此a b c d −<−，综上，>是a b c d −<−的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法，假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证解析：由ab b a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：解法二：330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ++=+⋅+≥+=5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b ++=+++=+++−33233332()2()4a b a b a b ≥++−=+=解法三：又，所以．当时，等号成立．所以，，即． (2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为，所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为，所以：．又，所以: 。

高考数学复习备战：最新真题解析—不等式选讲

（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
（2）法一：利用基本不等式得到，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵ ，，都为正整数，且．
∴ ，
当且仅当时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得，
当且仅当时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得．
令，
则．
令，则在上单调递增．
∴ ，即．
(1)当时，等价于，
该不等式恒成立，所以；
当时，等价于，
解得，此时不等式无解；
当时，等价于，解得，所以．
综上所述，不等式的解为．
(2)由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以．综上所述，的取值范围是．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数．
当时，，解得，
故不等式的解集为或；
(2)由（1）可知：
当时，，
当时，，
当时，，
故的最小值为3，即，则，即
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为 .
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数 .
(1)求不等式的解集；
(2)设时，的最小值为M.若正实数a，b，满足，求的最小值.

文科数学高考真题分类汇编不等式选讲答案

3 ，解得 a „ −3 或 a …−1 ．
2010-2018 年
− 2, x ≤− 1,
1．【解析】(1)当 a
=1
时，
f
( x)
=|
x
+1|
−
|
x
−1|
，即
f

(x)
=
2
x,
−1
x
1,
2, x ≥1.
故不等式 f (x) 1 的解集为{x | x 1} ． 2
(2)当 x (0,1) 时 | x +1| − | ax −1| x 成立等价于当x (0,1) 时 | ax −1| 1成立．
当 −1≤ x ≤2时，由 f ( x) ≥1得， 2x −1≥1，解得1≤ x ≤2
当 x＞2 时，由 f ( x) ≥1解得 x＞2．
所以 f ( x) ≥1的解集为 x x≥1 ．
（2）由 f (x )≥ x2 − x + m 得m≤ x +1 − x −2 − x2 + x ，而
x +1 − x −2 − x2 + x≤ x +1+ x −2 − x2 + x
当 x 1 时，①式化为 x2 + x − 4 ≤ 0 ，从而1 x ≤ −1+ 17 ． 2
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集为{x | −1 x ≤ −1+ 17} ． 2
（2）当x [−1,1] 时， g(x) = 2 ．
所以 f (x) ≥ g(x) 的解集包含[−1,1] ，等价于当 x [−1,1] 时 f (x) ≥ 2 ．
专题十五不等式选讲
第三十五讲不等式选讲

专题14 不等式选讲解答题30题学生版--高考数学专题训练

专题14不等式选讲解答题30题1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数() 2 1f x x a x =-++，() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象，并求出其值域；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时，求不等式()9f x ≥的解集；(2)若()2f x >，求a 的取值范围.3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知a ，b 均为正数，且2226a b +=，证明：(1)2a b +≤(2)12a b +≥5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时，求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立，求a 的取值范围.9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =，2b =，求不等式()8f x >的解集；(2)若()f x 的最小值为1，求1123a b b++的最小值.10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+．（1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题）已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时，求不等式()10f x 的解集；(2)若()4f x 恒成立，求实数m 的取值范围.13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式217x x -+-；（2）若正实数,a b 满足1a b +=，求2211a b b a +++的最小值．15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数()2R f x x m m =+-∈，，且()0f x <的解集为[3,1]--．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，的最大值.16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时，求不等式()8f x <的解集；(2)当[]1,2x ∈时，()0f x ≥，求a 的取值范围.17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若(),2x ∈-∞时，()0f x <，求m 的取值范围.18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，(1)求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值.20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题）已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集；(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ，若0a >，0b >，20a b m +-=，证明：189a b+≥.22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)若存在[]2,4x ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围.23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数()31f x x =-+．(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集；(2)若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)设,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证：2222222a b c a b c c b a+++++≥．25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数()11f x x x =-++.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数()21,R f x x a a =-+∈，(1)当3a =时，求()f x 的最小值；(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知0,0a b >>，函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3．(1)求a b +的值；(2)求证：3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭．28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数()2f x a x x =-++．(1)当1a =付，求不等式()4f x ≤的解集；(2)若()2f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．(1)求证：115236a b -<；(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数()|21||1|f x x ax =++-．(1)当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若0a >时，存在x ∈R ，使得()12a f x <+成立，求实数a 的取值范围．。

高考数学专练题不等式选讲(试题部分)

高考数学专练题不等式选讲(试题部分）考点一绝对值不等式1.(2020届云南昆明第二次月考,23)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).(1)设不等式f(x)≤2的解集为A,集合B={x|-2<x<2},若A ⊆B,求实数a 的取值范围; (2)若不等式f(x)+f (1a x +2a )>32对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解析 (1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2, 又∵a>0,∴-1a ≤x ≤3a ,得A=[-1a ,3a ]. ∵B={x|-2<x<2},且A ⊆B, ∴{-1a>-2,3a <2,解得{a >12,a >32,∴a>32.∴a 的取值范围是(32,+∞).(4分)(2)由题意,得|ax-1|+|x+1|>32对一切实数x 恒成立,设h(x)=|ax-1|+|x+1|,因为a>0,所以h(x)={-(a +1)x,x <-1,(1-a)x +2,-1≤x ≤1a ,(a +1)x,x >1a ,(6分)所以h(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(1a ,+∞)上单调递增,(7分)①当0<a ≤1时,h(x)在[-1,1a ]上单调递增,h(x)min =h(-1)=a+1>32,∴12<a ≤1.(8分) ②当a>1时,h(x)在[-1,1a ]上单调递减,h(x)min =h (1a )=1a +1>32,∴1<a<2.(9分) 综上所述,a 的取值范围是(12,2).(10分)2.(2018豫南九校5月联考,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)若关于x 的不等式f(x)<a 有解,求实数a 的取值范围; (2)若关于x 的不等式f(x)<a 的解集为(b,72),求a+b 的值.解析 (1)不等式等价于a>f(x)min , f(x)={2x -2,x >3,4,-1≤x ≤3,2-2x,x <-1,绘制函数f(x)的图象如图所示,观察函数的图象,可得实数a的取值范围是(4,+∞).(2)由题意可得x=72是方程|x+1|+|x-3|=a 的解,所以a=|72+1|+|72-3|=5,求解绝对值不等式|x+1|+|x-3|<5可得-32<x<72.故b=-32,a+b=5-32=72.考点二不等式的证明1.(2020届山西太原五中10月月考,23)设函数f(x)=|x+1|+|x-1|,已知不等式f(x)≤2√3的解集为M. (1)求M;(2)当a,b ∈M 时,证明:√3|a+b|≤|ab+3|. 解析 (1)f(x)=|x+1|+|x-1|={-2x,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x,x >1.当x<-1时,由-2x ≤2√3,得x ≥-√3; 当-1≤x ≤1时, f(x)=2≤2√3; 当x>1时,由2x ≤2√3,得x ≤√3. 所以M=[-√3,√3].(2)证明:当a,b ∈M,即-√3≤a,b ≤√3时, ∵3(a+b)2-(3+ab)2=3(a 2+2ab+b 2)-(9+6ab+a 2b 2) =(a 2-3)(3-b 2)≤0, ∴3(a+b)2≤(3+ab)2, ∴√3|a+b|≤|3+ab|.2.(2019河南郑州二模,23)关于x 的不等式|x-2|<m(m ∈N *)的解集为A,且32∈A,12∉A. (1)求m 的值;(2)若a,b,c 均为正实数,且ab+bc+ca=mabc,求证:a+4b+9c ≥36. 解析 (1)∵32∈A,12∉A, ∴|32-2|<m,|12-2|≥m,∴12<m ≤32,∵m ∈N *,∴m=1.(2)证明:由(1)及已知得1a +1b +1c =1,又a,b,c 均为正实数,∴a+4b+9c=(a+4b+9c)(1a +1b +1c )=14+4b a +a b +9c a +a c +9c b +4bc ≥14+2√4ba ·ab +2√9ca ·ac +2√9cb ·4b c=36,当且仅当a=2b=3c 时等号成立, 故a+4b+9c ≥36.思路分析 (1)根据题意可得|32-2|<m,|12-2|≥m,即可求出m 的值;(2)由(1)及已知条件得1a +1b +1c =1,再利用1的代换构造基本不等式即可证明.炼技法提能力【方法集训】方法1 含绝对值不等式的解法1.(2020届武汉第十六中学开学考试,23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+1|. (1)若a=2,求不等式f(x)>x+2的解集;(2)如果关于x 的不等式f(x)<2的解集不是空集,求实数a 的取值范围.解析 (1)当a=2时, f(x)={-2x +1(x <-1),3(-1≤x <2),2x -1(x ≥2),不等式f(x)>x+2等价于{x <-1,-2x +1>x +2或{-1≤x <2,3>x +2或{x ≥2,2x -1>x +2,解得x<1或x>3. 故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.(2)∵f(x)=|x-a|+|x+1|≥|(x-a)-(x+1)|=|a+1|,当(x-a)(x+1)≤0时取等号, ∴若关于x 的不等式f(x)<2的解集不是空集,只需|a+1|<2, 解得-3<a<1,即实数a 的取值范围是(-3,1).2.(2019安徽合肥第一次教学质量检测,23)设函数f(x)=|x+1|. (1)若f(x)+2x>2,求实数x 的取值范围;(2)设g(x)=f(x)+f(ax)(a>1),若g(x)的最小值为12,求a 的值.解析 (1)f(x)+2x>2即|x+1|>2-2x ⇔{x +1≥0,x +1>2-2x 或{x +1<0,-x -1>2-2x⇔x>13,∴实数x 的取值范围是(13,+∞).(2)∵a>1,∴-1<-1a <0,∴g(x)={ -(a +1)x -2,x ∈(-∞,-1),(1-a)x,x ∈[-1,-1a ],(a +1)x +2,x ∈(-1a,+∞).易知函数g(x)在(-∞,-1a )上单调递减,在(-1a ,+∞)上单调递增,∴g(x)min =g (-1a )=1-1a . ∴1-1a =12,解得a=2.方法2 与绝对值不等式有关的最值问题1.(2020届甘肃顶级名校阶段测试一,23)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c. (1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>3的解集; (2)当f(x)的最小值为3时,求1a +1b +1c 的最小值. 解析 (1)f(x)=|x-1|+|x+1|+1,∴{x ≤-1,1-2x >3或{-1<x <1,3>3或{x ≥1,2x +1>3,解得x<-1或x>1,故原不等式的解集为{x|x<-1或x>1}. (2)f(x)=|x-a|+|x+b|+c ≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c=3,∴1a +1b +1c =13(a+b+c)(1a +1b +1c )=13[3+(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )]≥13×(3+2+2+2)=3,当且仅当a=b=c=1时取等号,故1a +1b +1c 的最小值为3.2.(2019安徽黄山第二次质量检测,12)已知f(x)=|2-x|-|4-x|. (1)关于x 的不等式f(x)≥a 2-3a 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若f(m)+f(n)=4,且m<n,求m+n 的取值范围. 解析 (1)f(x)={2(x ≥4),2x -6(2<x <4),-2(x ≤2),∴f(x)min=-2,(3分)∵f(x)≥a2-3a恒成立,∴a2-3a≤f(x)min=-2,解得1≤a≤2.(5分)(2)由(1)知f(x)max=2,∴f(m)≤2,f(n)≤2,则f(m)+f(n)≤4,(8分)又f(m)+f(n)=4,所以f(m)=f(n)=2,于是n>m≥4,故m+n>8.(10分)【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一绝对值不等式1.(2019课标Ⅱ,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.解析本题考查不等式的基本性质,绝对值不等式的求解,以及含有参数的绝对值不等式恒成立问题.通过对绝对值不等式的分类讨论考查学生的化归与转化的能力,体现了逻辑推理的核心素养.(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1,当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0,所以,a的取值范围是[1,+∞).思路分析(1)当a=1时,求解绝对值不等式只需分类讨论去掉绝对值.(2)首先关注f(a)=0,求得a≥1,这样不需要分类讨论就可以去掉绝对值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)<0,求解即可.2.(2018课标Ⅰ,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)={-2,x≤-1,2x,-1<x<1, 2,x≥1.故不等式f(x)>1的解集为{x|x>12}.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<2a},所以2a≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].方法技巧 1.研究含有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,从而转化为分段函数来解决.2.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值三角不等式解决.3.不等式的恒成立问题可转化为函数的最值问题.注意在x∈D上,当f(x)存在最小值时,f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min,当f(x)存在最大值时,f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max.3.(2018课标Ⅲ,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解析本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)={-3x,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x,x ≥1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时, f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5. 易错警示对“零点分段法”的理解不到位若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区间),在每一区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号. 解后反思绝对值不等式问题常见类型及解题策略(1)直接求解不等式,主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解. (2)已知不等式的解集求参数值,利用绝对值三角不等式或函数求相应最值,再求参数的取值范围. 4.(2017课标Ⅰ,23,10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.解析本题考查含绝对值的不等式的解法,考查学生的运算求解能力以及对数形结合思想的应用能力. (1)解法一(零点分段法):当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1; 当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x ≤-1+√172.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x ≤-1+√172}.解法二(图象法):由已知可得g(x)={2x,x >1,2,-1≤x ≤1,-2x,x <-1,当a=1时, f(x)=-x 2+x+4,两个函数的图象如图所示.易得图中两条曲线的交点坐标为(-1,2)和-1+√172,-1+√17,所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x ≤-1+√172}.(2)解法一(等价转化法):当x ∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x ∈[-1,1]时f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]内的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1].解法二(分类讨论法):当x ∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于x∈[-1,1]时f(x)≥2,即-x2+ax+4≥2,当x=0时,-x2+ax+4≥2成立;当x∈(0,1]时,-x2+ax+4≥2可化为a≥x-2x ,而y=x-2x在(0,1]单调递增,最大值为-1,所以a≥-1;当x∈[-1,0)时,-x2+ax+4≥2可化为a≤x-2x ,而y=x-2x在[-1,0)单调递增,最小值为1,所以a≤1.综上,a的取值范围为[-1,1].思路分析(1)利用零点分段法或图象法解含绝对值的不等式;(2)根据题设可去掉绝对值,进而转化为不等式恒成立问题进行求解.方法总结含绝对值不等式问题的常见解法:(1)含绝对值的不等式求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解.(2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.5.(2016课标Ⅲ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分)(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)方法指导(1)将a=2代入不等式,化简后去绝对值求解;(2)要使f(x)+g(x)≥3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值≥3即可,利用|a|+|b|≥|a±b|可求最值.考点二不等式的证明1.(2019课标Ⅲ,23,10分)设x,y,z ∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a ≤-3或a ≥-1.解析本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用,考查学生推理论证的能力,考查了逻辑推理的核心素养.(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43, 当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明:由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.难点突破 (1)考虑到x+y+z=1,(x-1)+(y+1)+(z+1)=(x+y+z)+1=2,将x-1,y+1,z+1分别看作一个整体,转化为已知三数之和为定值,求它们平方和最小值的问题.和的平方与平方和之间存在等量关系(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc,借助基本不等式可消去乘积,得到(a+b+c)2≤3(a 2+b 2+c 2). (2)只需证明[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]min ≥13, 求[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]min 的方法同第(1)问. 2.(2017课标Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b 5)≥4; (2)a+b ≤2.证明本题考查不等式的证明.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.失分警示运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易因逻辑混乱而失分.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一绝对值不等式1.(2015重庆,16,5分)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.答案-6或42.(2019江苏,21C,10分)设x∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2.解析本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.当x<0时,原不等式可化为-x+1-2x>2,解得x<-13;当0≤x≤12时,原不等式可化为x+1-2x>2,即x<-1,无解;当x>12时,原不等式可化为x+2x-1>2,解得x>1.综上,原不等式的解集为{x|x<-13或x>1}.考点二不等式的证明1.(2016江苏,21D,10分)设a>0,|x-1|<a3,|y-2|<a3,求证:|2x+y-4|<a.证明因为|x-1|<a3,|y-2|<a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×a3+a3=a.2.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=1a +1b=a+bab,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2√ab=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.C组教师专用题组考点一绝对值不等式1.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案A2.(2018课标Ⅱ,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)={2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2, -2x+6,x>2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.3.(2016课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解析 (1)f(x)={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,(3分) y=f(x)的图象如图所示.(5分)(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x <13或x >5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x <13或1<x <3或x >5}.(10分) 4.(2016课标Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.解析 (1)f(x)={-2x,x ≤-12,1,-12<x <12,2x,x ≥12.(2分) 当x ≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)当-12<x<12时, f(x)<2恒成立;(4分)当x ≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.(5分)所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.(10分)5.(2015课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.解析 (1)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为{x |23<x <2}.(5分) (2)由题设可得, f(x)={x -1-2a,x <-1,3x +1-2a,-1≤x ≤a,-x +1+2a,x >a.所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a -13,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2. 所以a 的取值范围为(2,+∞).(10分)解后反思分类讨论解不等式应做到不重不漏,在某个区间上解不等式时一定要注意区间的限制性.6.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|≥2.解析原不等式可化为{x <-32,-x -3≥2或{x ≥-32,3x +3≥2.解得x ≤-5或x ≥-13.综上,原不等式的解集是{x|x ≤-5或x ≥-13}.7.(2013课标Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x ∈[-a 2,12)时, f(x)≤g(x),求a 的取值范围.解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y={ -5x, x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x ∈[-a 2,12)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a ≤x+3.所以x ≥a-2对x ∈[-a 2,12)都成立. 故-a 2≥a-2,即a ≤43.从而a 的取值范围是(-1,43].方法总结 (1)解含有绝对值符号的不等式的关键是去掉绝对值符号,可利用零点分段讨论法把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式,也可设出函数,利用函数图象解决.(2)对于不等式恒成立求参数问题,常分离参数,进而构造函数,转化为求最值问题. 考点二不等式的证明1.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d 为实数,且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明:ac+bd ≤8.证明本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2).因为a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd ≤8.2.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则√a+√b>√c+√d;(2)√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(√a+√b)2=a+b+2√ab,(√c+√d)2=c+d+2√cd,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2.因此√a+√b>√c+√d.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.思路分析(1)证明(√a+√b)2>(√c+√d)2即可.(2)两不等式的两边都为非负数,可通过两边平方来证明.易错警示在证明充要条件时,既要证明充分性,也要证明必要性,否则会扣分.3.(2014课标Ⅱ,24,10分)设函数f(x)=|x+1a|+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)=|x+1a |+|x-a|≥|x+1a-(x-a)|=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=|3+1a |+|3-a|.当a>3时, f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+√212. 当0<a ≤3时, f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+√52<a ≤3. 综上,a 的取值范围是(1+√52,5+√212).本题考查了含绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想.4.(2013课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca ≤13;(2)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.证明 (1)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13.(2)因为a 2b +b ≥2a,b 2c +c ≥2b,c 2a +a ≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c. 所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1. 思路分析 (1)利用a 2+b 2≥2ab 及(a+b+c)2=1证明不等式.(2)a+b+c=1,原不等式可转化为a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c).两两结合,利用基本不等式证明. 【三年模拟】解答题(共80分)1.(2020届四川天府名校第一轮联考,23)关于x 的不等式|x+m|≤n 的解集为[-6,2].(1)求实数m,n 的值;(2)若实数y,z 满足|my+z|<13,|y-nz|<13,求证:|z|<19.解析 (1)由|x+m|≤n,得-n ≤x+m ≤n,即-n-m ≤x ≤n-m,则{-n -m =-6,n -m =2,解得{m =2,n =4.(2)证明:由(1)可知|2y+z|<13,|y-4z|<13,所以9|z|=|(2y+z)-2(y-4z)|≤|2y+z|+2|y-4z|<13+2×13=1, 所以|z|<19. 2.(2020届四川成都外国语学校10月阶段性检测,23)已知a ≥0,b ≥0, f(x)=|x+a|+|2x-b|.(1)若a=0,b=2,求f(x)≤2的解集;(2)若f(x)的最小值为1,求√a +√b 的最大值.解析 (1)f(x)=|x|+|2x-2|={3x -2,x ≥1,2-x,0≤x <1,-3x +2,x <0,∴{x ≥1,3x -2≤2或{0≤x <1,2-x ≤2或{x <0,-3x +2≤2,解得0≤x ≤43. 故f(x)≤2的解集为[0,43].(2)易知f(x)min =f (b 2)=a+b 2=1,∴2a+b=2. ∴(√a +√b )2=(√2a ·√22+√b ·1)2≤(2a+b)(12+1)=3(柯西不等式),当且仅当2a +b =2,√2a √b =√22,即{a =13,b =43时等号成立, ∴√a +√b 的最大值为√3.3.(2020届辽宁沈阳铁路实验中学10月月考,23)已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5},求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,若存在x ∈R 使得f(x)+f(x+5)≤m 成立,求实数m 的取值范围.解析本题考查根据绝对值不等式的解集求解参数值,存在性问题,考查学生的数学运算能力.(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,即-3≤x-a ≤3,解得a-3≤x ≤a+3,又f(x)≤3的解集为{x|-1≤x ≤5},∴{a -3=-1,a +3=5,解得a=2. (2)当a=2时, f(x)=|x-2|,∴f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x ≤2时取等号),∴m ≥5时,存在x ∈R,使得f(x)+f(x+5)≤m,∴m 的取值范围为[5,+∞).4.(2020届云南名校适应性统考,23)已知a,b,c,d 为正数,且满足abcd=1,证明:(1)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16;(2)1ab +1bc +1cd +1ad ≤a 2+b 2+c 2+d 2. 证明本题考查了不等式的证明,重点考查了基本不等式的应用,意在考查等价转化思想和逻辑推理能力.(1)因为a,b,c,d 为正数,所以a+b ≥2√ab ,b+c ≥2√bc ,c+d ≥2√cd ,d+a ≥2√ad (当且仅当a=b=c=d 时等号同时成立), 所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥2√ab ×2√bc ×2√cd ×2√ad =16abcd.又abcd=1,所以(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16(当且仅当a=b=c=d 时等号成立).(2)因为abcd=1,所以1ab +1bc +1cd +1ad =(1ab +1bc +1cd +1ad )abcd=cd+ad+ab+bc.又2(a 2+b 2+c 2+d 2)=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+d 2)+(d 2+a 2)≥2ab+2bc+2cd+2da(当且仅当a=b=c=d 时等号成立), 所以2(a 2+b 2+c 2+d 2)≥2(1ab +1bc +1cd +1ad ),即1ab +1bc +1cd +1ad ≤a 2+b 2+c 2+d 2(当且仅当a=b=c=d 时等号成立).5.(2020届河南洛阳尖子生第一次联考,23)设函数f(x)=x-|x+2|-|x-3|-m,若∀x ∈R,1m -4≥f(x)恒成立. (1)求实数m 的取值范围;(2)求证:log (m+1)(m+2)>log (m+2)(m+3).解析 (1)∵∀x ∈R,1m -4≥f(x)恒成立, ∴m+1m ≥x-|x+2|-|x-3|+4恒成立.令g(x)=x-|x+2|-|x-3|+4={3x +3,x <-2,x -1,-2≤x ≤3,-x +5,x >3.∴函数g(x)在(-∞,3]上是增函数,在(3,+∞)上是减函数.(3分)∴g(x)max =g(3)=2,∴m+1m ≥g(x)max =2,(4分)即m+1m -2≥0⇒m 2-2m+1m =(m -1)2m ≥0,∴m>0,∴实数m 的取值范围是(0,+∞).(5分)(2)证明:由m>0,知m+3>m+2>m+1>1,则lg(m+3)>lg(m+2)>lg(m+1)>lg 1=0.要证log (m+1)(m+2)>log (m+2)(m+3),只需证lg(m+2)lg(m+1)>lg(m+3)lg(m+2),即证lg(m+1)·lg(m+3)<lg 2(m+2),又lg(m+1)·lg(m+3)<[lg(m+1)+lg(m+3)2]2=[lg(m 2+4m+3)]24<[lg(m 2+4m+4)]24=lg 2(m+2),∴log (m+1)(m+2)>log (m+2)(m+3)成立.(10分)6.(2019湖南百所重点名校大联考,23)已知函数f(x)=√x 2-6x +9+√x 2+8x +16.(1)求f(x)≥f(4)的解集;(2)设函数g(x)=k(x-3),k ∈R,若f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)f(x)=√x 2-6x +9+√x 2+8x +16=√(x -3)2+√(x +4)2=|x-3|+|x+4|,∴f(x)≥f(4)即|x-3|+|x+4|≥9,∴①{x ≤-4,3-x -x -4≥9或②{-4<x <3,3-x +x +4≥9或③{x ≥3,x -3+x +4≥9, 解①,得x ≤-5;②无解;解③,得x ≥4.所以f(x)≥f(4)的解集为{x|x ≤-5或x ≥4}.(5分)(2)f(x)>g(x),即f(x)=|x-3|+|x+4|的图象恒在g(x)=k(x-3)图象的上方,作出f(x)=|x-3|+|x+4|={-2x -1,x ≤-4,7,-4<x <3,2x +1,x ≥3的图象, 直线g(x)=k(x-3)恒过点P(3,0),如图,其中k PB =2,∵A(-4,7),∴k PA =-1,由图可知,要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,实数k 的取值范围为-1<k ≤2.(10分)7.(2018河南新乡二模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)≤2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解析(1)由f(x)≤2,得{x≤1,2-2x≤2或{1<x<4,0≤2或{x≥4,2x-8≤2,解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5].(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3={2-2x,x≤1, 0,1<x<4, 2x-8,x≥4,作出函数f(x)的图象,如图所示,易知直线y=kx-2过定点C(0,-2),当此直线经过点B(4,0)时,k=12;当此直线与直线AD平行时,k=-2.故由图可知,k∈(-∞,-2)∪[12,+∞).8.(2019江西临川一中,南昌二中等九校重点中学协作体第一次联考,23)已知函数f(x)=|x-2|+|m+x|的图象的对称轴为x=1.(1)求不等式f(x)≥x+2的解集;(2)若函数f(x)的最小值为M,正数a,b满足a+b=M,求1a +2b的最小值.解析(1)∵函数f(x)图象的对称轴为x=1=2-m2,∴m=0,21 / 22∴f(x)=|x|+|x-2|={-2x+2,x≤0, 2,0<x<2, 2x-2,x≥2.由f(x)≥x+2,得{x≤0,-2x+2≥x+2或{0<x<2,2≥x+2或{x≥2,2x-2≥x+2,解得x≤0或x≥4,故不等式f(x)≥x+2的解集为(-∞,0]∪[4,+∞).(2)由绝对值不等式的性质,可知|x-2|+|x|≥|(x-2)-x|=2,∴f(x)min=M=2,∴a+b=2,∵a,b为正数,∴1a +2b=12(1a+2b)·(a+b)=12(3+ba+2ab)≥12(3+2√ba·2ab)=3+2√22(当且仅当a=2√2-2,b=4-2√2时取等号).22 / 22。

高中数学专题练习：不等式选讲

高中数学专题练习：不等式选讲[题型分析·高考展望]本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．常考题型精析题型一含绝对值不等式的解法例1已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．点评(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点;②划区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．变式训练1(·重庆改编)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．题型二不等式的证明例2(1)已知x，y均为正数，且x>y.求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.(2)已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<5 18.点评(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差;②分解因式;③与0比较;④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．变式训练2(1)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)已知a，b，c均为正数，a＋b＝1，求证：a2b＋b2c＋c2a≥1.题型三利用算术—几何平均不等式或柯西不等式证明或求最值例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立;(2)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．点评利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．变式训练3(·福建)已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值;(2)求14a2＋19b2＋c2的最小值．高考题型精练1．(·江苏)解不等式x＋|2x＋3|≥2.2．(·陕西)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值;(2)求at＋12＋bt的最大值．3．(·课标全国Ⅰ)若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值;(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．4．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．5．设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤13;(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.6．(·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2;(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．7．(·福建)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值;(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.8．(·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．答案精析不等式选讲常考题型精析例1 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1;当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解;当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5;所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.变式训练1 解设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5;当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52;当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a＋2.解不等式52≥a2＋12a＋2，得－1≤a≤12，故a的取值范围为[－1，12]．例2证明(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1 (x－y)2＝(x－y)＋(x－y)＋1(x－y)2≥33(x－y)21(x－y)2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3，(2)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，从而3|y|<23＋16＝56，所以|y|<5 18.变式训练2证明(1)当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤1 1＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b| 1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.例3 解 (1)方法一因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc ) 23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )13-，所以(1a ＋1b ＋1c )2≥9(abc )23-.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2 ≥3(abc ) 23＋9(abc )23-. 又3(abc ) 23＋9(abc ) 23-≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )23-时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．方法二因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．(2)方法一利用算术—几何平均不等式 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2＝(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋23a ＋1·3b ＋1＋23b ＋1·3c ＋1＋23a ＋1·3c ＋1 ≤(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)＋[(3a ＋1)＋(3b ＋1)]＋[(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＋[(3a ＋1)＋(3c ＋1)]＝3[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]＝18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.方法二利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a ＋1)2＋(3b ＋1)2＋(3c ＋1)2]≥(1·3a ＋1＋1·3b ＋1＋1·3c ＋1)2∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]．又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤18， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时，等号成立．∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)max ＝3 2.变式训练3 解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.高考题型精练1．解原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. 2．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. 3．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.4．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.5．证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.6．(1)证明由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是(1＋52，5＋212)．7．(1)解因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.8．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解;当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1;当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。

2023年高考数学真题分训练不等式选讲(含答案含解析)

专题 35 不等式选讲十年大数据x 全景展示年份题号考点考查内容不等式选讲 2011文理 24绝对值不等式的解法不等式选讲 2023 文理 24文理 24绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法多元不等式的证明不等式选讲卷 12023不等式选讲卷 2文理 24卷 1文理 24卷 2文理 24卷 1文理 24卷 2文理 24卷 1 文理 24不等式选讲根本不等式的应用20232023不等式选讲绝对值不等式的解法不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法不等式的证明不等式选讲不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法不等式的证明不等式选讲 2023 卷 2 文理 24卷 3 文理 24 不等式选讲不等式选讲卷 1 文理 23不等式选讲 2023 卷 2 文理 23不等式选讲卷 3文理 23 绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2023卷 1文理 23不等式选讲不等式选讲卷2 文理23卷3 文理23 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法三元条件不等式的证明不等式选讲不等式选讲2023 卷1 文理23卷2 文理23 不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法不等式选讲卷3 文理23不等式选讲卷1 文理23不等式选讲2023 卷2 文理23卷3 文理23 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法三元条件不等式的证明不等式选讲大数据分析x预测高考出现频率考点2023 年预测考点120 绝对值不等式的求解23 次考4 次2023 年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值考点121 含绝对值不等式的恒成立问题23 次考12 次不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点122 不等式的证明23 次考7 次十年真题分类x探求规律考点120绝对值不等式的求解f x 3x 1 2 x 11．(2023 全国Ⅰ文理22)已知函数．y f x(1)画出的图像；(2)求不等式 f x f x 1 的解集．x 1 x 3,1 x 1 ，作出图像，如下图： f x5x 1, （解析）(1)∵ 31 x 3, x3 (2)将函数的图像向左平移1个单位，可得函数f x 1的图像，如下图：f x 7 76x 3 5 x 1 1, x ，∴不等式的解集为．由，解得 62．(2023 江苏 23)设 x R ，解不等式2 | x 1| | x | 4 ．2 32, （答案）（思路导引）依据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．x 1 1 x 0 x 0或（解析）或， 2x 2 x 4 2x 2 x 4 2x 2 x 4222 x 1或 1 x 0或0 x 2, ，∴解集为．33 3．(2023 全国 I 文理)已知函数 f (x ) | x 1| | 2x 3|．(I)在图中画出 y f (x ) 的图像； (II)求不等式| f (x ) | 1的解集．（解析）(1)如下图：4，x ≤ 1 x3 2， f x 1．(2) f x 3x 2， 1 x 3 24 x ，x ≥当 x ≤ 1， x 4 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴x ≤ 1；31 3 1 3 3 2当 1 x ， 3x 2 1，解得 x 1或 x，∴ 1 x 或1 x ； 2 3 3当 x ≥ ， 4 x 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴ ≤x 3或 x 5 ．2 2 11 ，，，．综上， x 或1 x 3 或 x 5 ， f x∴，解集为 1 1 3 5 3 31 4．(2023 全国 II 文理)设函数 f x = x x a (a 0)a(Ⅰ)证明： f x ≥2；(Ⅱ)假设 f 3 5，求a 的取值范围．11 1 （解析）(I)由a 0，有 f (x ) x x a x (x a ) a 2，∴ f (x ) ≥2．a a a1 (Ⅱ) f (3) 3 3 a ．a15 21当时a ＞3 时， f (3) = a ，由 f (3) ＜5 得 3＜＜ a； a 21 1 5当 0＜a ≤3 时， f (3) = 6 a ，由 f (3) ＜5 得＜a ≤3． a 21 5 5 21综上：a 的取值范围是(， )． 2 25．(2011 新课标文理)设函数 f (x ) x a 3x ，其中 f (x ) 3x 2的解集；a 0 ．(Ⅰ)当a 1时，求不等式(Ⅱ)假设不等式 f (x ) 0的解集为 x | x f (x ) 3x 2可化为| x 1| 2，由此可得 x 3 或 x 11，求 a 的值．（解析）(Ⅰ)当a 1时，．故不等式 f (x ) 3x 2的解集为（x | x 3或 x 1）．x a ( Ⅱ) 由 f (x ) 0 得 x a 3x 0 ，此不等式化为不等式组 x aa x 3x 0 或， x a 3x 0x ≥a x ≤ax |x ，由题设可得 a =1，故a 2a 即 a 或 x ≤ 4 a ，因为a 0 ，∴不等式组的解集为． x ≤ 2 2 2 考点 121 含绝对值不等式的恒成立问题6．(2023 全国Ⅱ文理 22)已知函数 f x x 2 x 2a 1 ．a (1)当a 2时，求不等式 f x 4 的解集； (2)假设 f x 4 ，求a 的取值范围．3 2 11 2 x xx ；(2) , 1 3,．（答案）(1) 或（思路导引）(1)分别在x 3、3 x 4和 x 4三种情况下解不等式求得结果；2(2)利用绝对值三角不等式可得到 f x a 1 ，由此构造不等式求得结果． f x x 4 x 3（解析）(1)当a 2时，．3 x 当x 3时， f x 4 x 3 x 7 2x 4 ，解得：，无解；；； 2f x 4 x x 3 1 4当3 x 4时， 112f x x 4 x 3 2x 7 4 当 x 4 时， x ，解得：4的解集为 3 2 112 f xx 或 x x ．综上所述： 2f x x a 2 x 2a 1 x a 2 x 2a 1 a 2 2a 1 a 1 (当且仅当 (2) 2a 1 x a 2 时取等号)， a 1 2，解得：a 1或a 3， a 的取值范围为 , 1 3, ． 47．(2023 全国 II 文理 23)选修 4-5：不等式选讲](10 分) f (x ) | x a | x | x 2 | (x a ). 已知 (1)当a 1时，求不等式 f (x ) 0 的解集； x ( ,1) 时， f (x ) 0a，求的取值范围．(2)假设（解析）(1)当 a=1 时， f (x )=|x 1| x +|x 2|(x 1) ．当 x 1时， f (x ) 2(x 1) 0 ；当 x 1时， f (x ) 0，∴不等式 f (x ) 0的解集为( ,1)．2(2)因为 f (a )=0 ，∴a 1．当a 1， x ( ,1) 时， f (x )=(a x ) x +(2 x )(x a )=2(a x )(x 1)<0 ∴a 的取值范围是1, ) ． 8．(2023 全国Ⅰ文理)已知 f (x ) | x 1| | ax 1|．(1)当a 1时，求不等式 f (x ) 1的解集；(2)假设x (0,1)时不等式 f (x ) xa成立，求的取值范围．2, x ≤ 1,（解析）(1)当a 1时， f (x ) | x 1| | x 1|f (x ) 2x , 1 x 1, ，即2, x ≥1.1 故不等式f (x ) 1的解集为（x | x ）．2(2)当 x (0,1)时| x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x (0,1)时| ax 1| 1成立．假设a ≤0，则当 x (0,1)时| ax 1|≥1；2 2，假设a 0 | ax 1| 1的解集为 (0, 2． 0 x，∴ ≥1，故0 a ≤2． a aa综上，的取值范围为9．(2023 全国Ⅱ文理)设函数 f (x ) 5 | x a | | x 2 |． (1)当a 1时，求不等式 f (x )≥0 的解集； (2)假设 f (x )≤1，求a 的取值范围．2x 4, x ≤ 1,（解析）(1)当a 1时， f (x ) 2, 1 x ≤2,2x 6, x 2.可得 f (x )≥0 的解集为（x | 2≤ x ≤3）． (2) f (x )≤1等价于| x a | | x 2 |≥4．而| x a | | x 2 |≥| a 2 | ，且当 x 2时等号成立．故 f (x )≤1等价于| a 2 |≥4．由| a 2 |≥4可得a ≤ 6或a ≥2，∴a 的取值范围是( , 6] 2, )． 10．(2023 全国Ⅲ文理)设函数 f (x ) | 2x 1| | x 1| ． (1)画出 y f (x ) 的图像；(2)当x 0, )时，f(x)≤ax b，求a b的最小值．13x, x ,21f(x) x 2, ≤x 1,（解析）(1)23x, x≥1.y f(x) 的图像如下图．(2)由(1)知，y f(x) 的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各局部所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2 时，f(x)≤ax b在0, ) 成立，因此a b的最小值为5．211．(2023 江苏)假设x，y，z为实数，且x 2y 2z 6，求x2 y z2 的最小值．（解析）由柯西不等式，得(x 2y 2 z 2 )(1 22 2 2 2)≥(x 2y 2z ) ．2x y z 2 4 4 因为 x 2y 2z =6 ，∴ x2y 2 z 2 ≥4，当且仅当时，不等式取等号，此时 x ，y ，z ，1 2 2 3 3 3∴ x 2 y 2 z 的最小值为 4．2 f (x ) x ax 4 ， g (x ) | x 1| | x 1|．212．(2023 全国Ⅰ文理)已知函数 (1)当a 1时，求不等式 f (x )≥ g (x ) 的解集；(2)假设不等式 f (x )≥ g (x ) 的解集包含 1,1]，求a 的取值范围．（解析）(1)当a 1时，不等式 f (x )≥ g (x ) 等价于 2x x | x 1| | x 1| 4 ≤0 ．①当 x 1时，①式化为2x 3x 4≤0 ，无解；当 1≤x ≤1时，①式化为 x 2x 2≤0，从而 1≤x ≤1；1 17当 x 1时，①式化为 x 2x 4≤0 ，从而1 x ≤，∴ f (x )≥ g (x ) 的解集为 21 17（x | 1 x ≤）． 2(2)当 x 1,1]时， g (x ) 2 ，∴ f (x )≥ g (x ) 的解集包含 1,1]，等价于当 x 1,1]时 f (x )≥2 ．又 f (x ) 在 1,1]的最小值必为 f ( 1)与 f (1)之一，∴ f ( 1)≥2且 f (1)≥2，得 1≤a ≤1，∴a 的取值范围为 1,1]．13．(2023 全国Ⅲ文理)已知函数 f (x ) | x 1| | x 2 |． (1)求不等式 f (x )≥1的解集；f (x )≥x x m 的解集非空，求m 的取值范围．2(2)假设不等式 3, x 1（解析）(1) f (x ) 2x 1, 1≤x ≤2 ，3, x 2当 x 1时， f x ≥1无解；当 1≤x ≤2时，由 f x ≥1得，2x 1≥1，解得1≤ ≤2；x 当 x ＞2时，由 f x ≥1解得＞2． x∴ f x ≥1的解集为 x x ≥1 ．x m 得m ≤ x 1 x 2 x(2)由 f x ≥ x 2 2x ，而23 5 5 x 1 x 2 x 2x ≤ x +1+ x 2 x 2x =- x - + ≤ ，2 4 4355 4且当 x 时， x 1 x 2 x 2x = ，故 m 的取值范围为 - ，． 2 4 14．(2023 全国 III 文理)已知函数 f (x ) | 2x a | a (Ⅰ)当 a=2 时，求不等式 f (x )≤6 的解集；(Ⅱ)设函数 g (x ) | 2x 1| ，当 x R 时， f (x ) g (x )≥3，求 a 的取值范围．（解析）(Ⅰ)当a 2时， f (x ) | 2x 2 | 2．解不等式| 2x 2 | 2 6 ，得 1 x 3，因此 f (x ) 6的解集为（x | 1 x 3）． (Ⅱ)当 x R 时， f (x ) g (x ) | 2x a | a |1 2x |1| 2x a 1 2x | a |1 a | a ，当 x 时等号成立，2∴当 x R 时， f (x ) g (x ) 3等价于|1 a | a 3． ① 当a 1时，①等价于1 a a 3 ，无解．当a 1时，①等价于a 1 a 3 ，解得a 2 ． ∴a 的取值范围是2, ) ．15．(201 5 全国 I 文理)已知函数 f (x ) | x 1| 2 | x a | ，a 0． (Ⅰ)当a 1时，求不等式 f (x ) 1的解集；(Ⅱ)假设 f (x ) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求a 的取值范围．（解析）(Ⅰ)当a 1时，不等式 f (x ) 1化为| x 1| 2 | x 1| 1 0，当 x ≤ 1时，不等式化为 x 4 0，无解；2 当 1 x 1时，不等式化为3x 2 0 ，解得 x 1； 3当 x ≥1时，不等式化为 x 2 0，解得1≤x 2． 2 ∴ f (x ) 1的解集为（x | x 2）．3x 1 2a , x 1 (Ⅱ)有题设可得， f (x ) 3x 1 2a , 1≤ x ≤a ，∴函数 f (x ) 图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别x 1 2a , x a2a 1 2 2 3, 0), B (2a 1, 0),C (a ,a 1) ， (a 1) 6 ，故a 2．∴ 2 为 A ( ABC 的面积为 (a 1) 2 ．有题设得 3 3 a 的取值范围为(2, ) ．1 116．(2023 全国 I 文理)假设a 0,b 0 ，且 ab ．a b a 3 b 3 的最小值；(Ⅰ)求 (Ⅱ)是否存在a ,b ，使得2a 3b 6？并说明理由．1 1 （解析）(I)由 ab a b 2，得ab 2 ，且当a b 2 时取等号．ab 故a ∴a 3 3 b 3 2 a 3 b 3 4 2 ，且当a b 2 时取等号．b 3 的最小值为4 2 ．(II)由(I)知，2a 3b 2 6 ab 4 3 ．由于4 3 6 ，从而不存在a ,b ，使得2a 3b 6 ．f (x ) | 2x 1| | 2x a |g (x ) x 3 ．16．(2023 全国 I 文理)已知函数 = ， = a f (x ) ＜ g (x ) (Ⅰ)当 =-2 时，求不等式的解集；a 1 2 a x ，求的取值范围．f (x ) ≤g (x ) a(Ⅱ)设＞-1，且当 ∈ ， )时， 2 a =f (x ) ＜g (x ) 化为| 2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ，（解析）(Ⅰ)当 2时，不等式 125x , x 1 x 1，设函数 y =| 2x 1| | 2x 2 | x 3 y x 2, ， = 23x 6, x 1x (0, 2) y时，＜0，其图像如下图，从图像可知，当且仅当∴原不等式解集是（x | 0 x 2）． a 1 2x f (x ) =1 a f (x ) ≤ g (x ) 化为1 a ≤x 3， (Ⅱ)当 ∈ ， )时，，不等式 2a 1 a 4 ∴ x ≥a 2 对 ∈ x ， )都成立，故 ≥a 2 ，即a ≤ ， 2 2 2 34 3a 1， ∴ 的取值范围为( ]． 17．(2023 新课标文理)已知函数 f (x ) | x a | | x 2 | ．(Ⅰ)当a 3|时，求不等式 f (x ) 3的解集；(Ⅱ)假设 f (x ) | x 4 | 的解集包含1,2]，求a 的取值范围．（解析）(1)当a 3时， f (x ) 3 x 3 x 2 3 x 2 2 x 3 x 3 x 3 x 2 33或 3 x x 2 3 或 3 x 2 x x 1或 x 4．(2)原命题 f (x ) x 4 在1, 2]上恒成立x a 2 x 4 x 在1, 2]上恒成立2 x a 2 x 在1, 2]上恒成立3 a 0．考点 122 不等式的证明18．(2023 全国Ⅲ文理 23)设a , b , c R , a b c 0 , abc 1．(1)证明：ab bc ca 0 ；(2)用max a , b , c 表示a , b , c 的最大值，证明：max a , b , c 4 ．3 （答案）(1)证明见解析(2)证明见解析．（思路导引）(1)依据题设条件a b c 0,两边平方，再利用均值不等式证明即可；max （a ,b ,c ） a ，由题意得出a 0,b ,c 0 (2)思路一：不妨设，2 b c b 2 c 2 2bc 由a3 a 2 a ，结合根本不等式，即可得出证明． bc bc思路二：假设出a ,b ,c 中最大值，依据反证法与根本不等式推出矛盾，即可得出结论．（解析）(1)证明：0,a b c a b c 2 0. a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2ca 0, 即2ab 2bc 2ca a2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca 0, ab bc ca 0.(2)证法一：不妨设max （a ,b ,c ） a ，由a b c 0,abc 1可知，a 0,b 0,c 0 ，1 2 b c 2bc 2bc 2bc b c 2 2 a b c ,a ， a 3 a 2 a ， 4 bc bc bc bc当且仅当b c 时，取等号， a，即max （a ,b ,c ） 4 ． 3 3 4 11 3 , a b c 3 4, 而证法二：不妨设a b 0 c 4 ，则ab c 3 42 13 214 矛盾，∴命题得证．3 4 a b 2 ab 3 6 4 19．(2023 全国 I 文理 2 3)已知 a ，b ，c 为正数，且满足 abc=1．证明：1 1 1a ab c2 b 2 c 2 (1) (2) ； (a b ) (b c )3 3 (c a ) b 2ab ,b ab bc ca 3 24 ．（解析）(1)因为a 2 2 2 c2 2bc ,c 2 a 2 2ac ，又abc 1， 1 1 1 1 ab bc ca 1 1 故有a 2 b 2 c 2 ，∴ a 2 b c 2 ．2 abc a b c a b c (2)因为a , b , c 为正数且abc 1，故有(a b ) (b c ) (c a ) 3 (a b ) 3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac ) =24．(b c ) (c a ) 24．3 3 3 3 3 (b c ) 3 (a c ) =3(a +b )(b +c )(a +c ) 3 ∴(a b ) 3 3 3x , y , z R ，且 x y z 1．20．(2023 全国 III 文理 23)设 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值； (1)求 (2)假设 1(x 2) 2 (y 1) 2 (z a ) 2 成立，证明：a 3 或a 1 ．3 （解析）(1)由于(x 1) (y 1) (z 1)] 2 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)]2 3 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2， 4 35 1 z 1 故由已知得(x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2 ，当且仅当x= ，y=– ，时等号成立． 3 3 3 4 ∴(x 1) (2)由于(x 2) (y 1) (z a )] (x 2) (y 1) (z a ) 2(x 2)(y 1) (y 1)(z a ) (z a )(x 2)] 2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值为． 322 2 23 (x 2)2 (y 1) 2 (z a ) 2 ， (2 a ) 2 4 a 1 a 2a 2 故由已知(x 2) 2 2 (y 1) 2 (z a ) 2，当且仅当 x y z ，，时等号成 3 3 3 3 (2 a ) 2 立，因此(x 2) (y 1) 2 (z a )2 的最小值为． 3 (2 a ) 2 1 ，解得a 3 或a 1．由题设知 3 321．(2023 全国Ⅱ文理)已知a 0，b 0， a3 b 2 ，证明： 34 ； (1) a b a b(2) a b 2．（解析）(1)(a b )(a 5 524．5 b 5 ) a6 2 ab 5 a 5 b b 6 (a 3 b 3 ) 2 2a 3 b 3 ab (a 4 b 4 ) 4 ab a 2 b 2 3(a b ) 2 3(a b ) 3 (a b ) 3 a 3 3a 2 b 3ab b 3 2 3ab (a b ) 2 (a b ) 2 ， (2)∵ 4 4∴(a b ) 8 ，因此a b 2． 3 22．(2023 江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且 a 2 b2 4 ，c 2 d 16 ，证明ac bd 8． 2（解析）证明：由柯西不等式可得：(ac bd ) 2 ≤(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ，因为a 2 b 2 4,c 2 d 2 16, ∴(ac bd ) 2 ≤64 ，因此 ac bd 8．≤ 1 1 2 x ，M 为不等式 f x 2的解集．23．(2023 全国 II 文理)已知函数 f x x 2 (I)求 M ；(II)证明：当 a ，b M 时， a b 1 ab ． 1 f x x x 2x 1 1 ，假设 1 x 1 （解析）(I)当 x 时，； 2 2 2 21 1 1 1 当 ≤ x ≤ 时， f x x x 12 恒成立；2 2 2 2 1 1 当 x 时， f x 2x ，假设 f x 2， < x 1． 22 综上可得，Mx | 1 x 1．，，时，有 a (Ⅱ)当a b 1 1 2 1 b 2 1 0 ，即a 2 b 2 1 a 2 b ， 2 2 b 2 2ab 1 a 2 2ab b 2 ，则 ab 1 2 a b ，即 a b ab 1 ，证毕． 2则a 24．(2023 全国 II 文理)设a ,b ,c ,d 均为正数，且a b c d ，证明： (Ⅰ)假设ab > cd ，则 a b c d ；(Ⅱ) a b c d 是| a b | | c d | 的充要条件．（解析）(Ⅰ)∵( a b ) 由题设a b c d ，ab cd 得( a b ) (ab ) (cd )2 ，即(a b ) 因为a b c d ，∴ab cd ，由(Ⅰ) 得 a b c d ． ( a b ) ( c d )2 ，即a b 2 ab c d 2 cd ． (a b ) 4ab (c d ) 4cd (c d )2 ． 2 a b 2 ab ，( c d ) ( c d )2 ，因此 a b c d ．4ab (c d ) 4cd ． 2 c d 2 cd ，2 (Ⅱ)(ⅰ)假设| a b | | c d |，则 2 2 2 (ⅱ)假设 a b c d ，则因为a +b =c +d ，∴ab >cd ，于是(a b )因此| a b | | c d |．综上 a b c d 是| a b | | c d |的充要条件．a ,b ,c 2 2 2 2 25．(2023 全国 II 文理)设均为正数，且 a b c 1，证明：1 3ab bc ca (Ⅰ) ； a 2 b 2 c 2 (Ⅱ) 1． b c a（解析）(Ⅰ) a 2 b 2 2ab ,b 2 c 2 2bc ,c 2 a 2 2ca 得a 2 b 2 c ab bc ca ，2 由题设得 a b c2 2 2 2 1，即a bc 2ab 2bc 2ca 1， 1 ∴3 ab bc ca 1，即ab bc ca． 3a 2b 2c 2 a 2 b 2 c 2 (Ⅱ)∵ b 2a , c 2b , a 2c ，∴ (a b c ) 2(a b c ) ， b c a b c aa 2b 2c 2 a 2 b 2 c 2 即 a b c ，∴ 1． b c a b c a。

高考文科数学【不等式选讲】规范练

6 【不等式选讲】规范练对应学生用书P1471．(满分10分)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，g (x )＝x 2－x －a .(1)当a ＝5时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[2,3]，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝5时，不等式f (x )≥g (x )等价于|x ＋1|－|x －2|≥x 2－x －5，① 当x ＜－1时，①式化为x 2－x －2≤0，无解；当－1≤x ≤2时，①式化为x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤2；当x ＞2时，①式化为x 2－x －8≤0，得2＜x ≤1＋332.所以f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1＋332.(5分) (2)当x ∈[2,3]时，f (x )＝3，所以f (x )≥g (x )的解集包含[2,3]，等价于x ∈[2,3]时，g (x )≤3，又g (x )＝x 2－x －a 在[2,3]上的最大值为g (3)＝6－a ，所以g (x )≤3，即6－a ≤3，得a ≥3.所以a 的取值范围为[3，＋∞)．(10分)2．(满分10分)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，由f (x )≥4－|x －4|，无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(5分)(2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，当x ≤0或x ≥a 时，显然不成立．当0＜x ＜a 时，由|4x －2a |≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.(10分)3．(满分10分)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )＞8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝2时，由f (x )＞8，得|2x ＋1|＋|x －2|＞8，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，3x －1＞8或⎩⎨⎧ －12＜x ＜2，x ＋3＞8或⎩⎨⎧ x ≤－12，－3x ＋1＞8，得x ＞3或x ∈∅或x ＜－73，所以x ＞3或x ＜－73，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73∪(3，＋∞)．(5分) (2)因为∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，所以f (x )min ≤32.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1－a ，x ≥a ，x ＋a ＋1，－12＜x ＜a ，－3x －1＋a ，x ≤－12，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12＋a ，所以12＋a ≤32，所以a ≤1. 又a ＞0，所以实数a 的取值范围是(0,1]．(10分)4．(满分10分)已知函数f (x )＝|2x ＋b |＋|2x －b |.(1)若b ＝1，解不等式f (x )＞4；(2)若不等式f (a )＞|b ＋1|对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围．解析 (1)当b ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|＞4，即⎩⎨⎧ x ≥12，4x ＞4⇒x ＞1或⎩⎨⎧ x ≤－12，－4x ＞4⇒x ＜－1或⎩⎨⎧ －12＜x ＜12，2＞4⇒x ∈∅，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(5分)(2)f (a )＝|2a ＋b |＋|2a －b |＝|2a ＋b |＋|b －2a |≥|(2a ＋b )＋(b －2a )|＝|2b |，当且仅当(2a ＋b )(b －2a )≥0时，f (a )min ＝|2b |，所以|2b |＞|b ＋1|，所以(2b )2＞(b ＋1)2，即(3b ＋1)(b －1)＞0，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)．(10分) 5．(满分10分)已知函数f (x )＝|2x ＋1|，(1)求不等式f (x )≤8－|x －3|的解集；(2)若正数m ，n 满足m ＋3n ＝mn ，求证：f (m )＋f (－3n )≥24. 解析 (1)此不等式等价于⎩⎨⎧ x ＜－12，－2x －1＋(3－x )≤8，或⎩⎨⎧ －12≤x ≤3，2x ＋1＋(3－x )≤8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3，2x ＋1＋x －3≤8，即不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，103.(5分) (2)证明 ∵m ＞0，n ＞0，m ＋3n ＝mn ，∴m ＋3n ＝13(m ·3n )≤13×(m ＋3n )24，即m ＋3n ≥12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ，m ＋3n ＝mn ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝2时取等号， ∴f (m )＋f (－3n )＝|2m ＋1|＋|－6n ＋1|≥|2m ＋6n |，当且仅当(2m ＋1)(－6n ＋1)≤0，即n ≥16时取等号，又|2m ＋6n |≥24，当且仅当m ＝6，n ＝2时，取等号，∴f (m )＋f (－3n )≥24.(10分)6．(满分10分)已知f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝－2时，由f (x )≤4，得2|x －1|－|x －2|≤4，当x ≤1时，由2(1－x )－(2－x )≤4，得－4≤x ≤1；当1＜x ＜2时，由2(x －1)－(2－x )≤4，得1＜x ＜2；当x ≥2时，由2(x －1)－(x －2)≤4，得2≤x ≤4.综上所述，f (x )≤4的解集为[－4,4]．(5分)(2)由不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |，得|2x ＋a |－|x －2|＋3|x －2|≥3a 2，即为|2x ＋a |＋|4－2x |≥3a 2，即关于x 的不等式|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2恒成立，而|2x ＋a |＋|2x －4|≥|(2x ＋a )－(2x －4)|＝|a ＋4|，当且仅当(2x ＋a )(2x －4)≤0时等号成立，所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2，解得－1≤a ≤43或a ∈∅.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43.(10分)。

高考数学真题不等式选讲

专练1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．3．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：|13a ＋16b |＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．5．设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；7．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．8．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，证明：(1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2；≥252.9．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1，1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)证明：|1＋b|≤M；(2)证明：M≥12.10．已知a，b，c为非零实数，且a2＋b2＋c2＋1－m＝0，1a2＋4b2＋9c2＋1－2m＝0.(1)求证：1a2＋4b2＋9c2≥36a2＋b2＋c2；(2)求实数m的取值范围．11．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1. 12．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．13．设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．14．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.15．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：|13a＋16b|＜14(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．16．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|，g(x)＝a－|x－2|.(1)若关于x的不等式f(x)<g(x)有解，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)<g(x)a＋b的值．17．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若对x∈[0,4]不等式f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a＝2时，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．18．已知x，y∈R，m＋n＝7，f(x)＝|x－1|－|x＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }，a ≥b ，，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．19．已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310；(2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.20．已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.21．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .22．已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f 的解集；(2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．23．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．高考押题专练1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，由f (x )≤3，可得|2x －1|＋|x －2|≤3，＜12，－2x ＋2－x ≤3x ＜2，－1＋2－x ≤3≥2，x －1＋x －2≤3.解①得0≤x ＜12，解②得12≤x ＜2，解③得x ＝2.综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0，2]．(2)∵当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ，故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4在x ∈[1，2]上的最大值为6－4＝2，4－x 的最小值为4－2＝2，∴2a ＝2，∴a ＝1，即a 的取值范围为{1}．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】(1)原不等式等价于>32，2x ＋1）＋（2x －3）≤6－12≤x ≤32，2x ＋1）－（2x －3）≤6或<－12，2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|a －1|>4，∴a <－3或a >5，∴实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．3．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．【解析】(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；当－3<x<2时，有2x＋1≥3，解得1≤x<2.综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得，||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.所以a的取值范围是[－1，9]．4．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：|13a＋16b|＜14；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|，x≤－2，2x－1，－2＜x＜1，3，x≥1.由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12，则M－12，所以|13a＋16b|≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a2＜14，b2＜14.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.5．设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x<－1－2x，－1≤x≤3，4，x>3，故由不等式f(x)<－1可得，x>3－2x<－1，1≤x≤3.解得x>32.(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．6．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；【解析】证明：(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＋1ab＝1a＋1b＋a＋bab＝＝4≥4ba ·ab＋4＝8(当且仅当a＝b＝12时，等号成立)，∴1a＋1b＋1ab≥8.(2)＝1a＋1b＋1ab＋1，由(1)知1a＋1b＋1ab≥8.7．已知关于x的不等式m－|x－2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m的值；(2)若a，b均为正实数，且满足a＋b＝m，求a2＋b2的最小值．【解析】(1)不等式m－|x－2|≥1可化为|x－2|≤m－1，∴1－m≤x－2≤m－1，即3－m≤x≤m＋1.∵其解集为[0，4]－m＝0，＋1＝4，∴m＝3.(2)由(1)知a＋b＝3，∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a×1＋b×1)2＝(a＋b)2＝9，∴a2＋b2≥92，∴a2＋b2的最小值为92.8．已知a，b均为正数，且a＋b＝1，证明：(1)(ax＋by)2≤ax2＋by2；≥252.【解析】证明：(1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy，因为a＋b＝1，所以a－1＝－b，b－1＝－a.又a ，b 均为正数，所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.＝4＋a 2＋b 24＋a 2＋b 2＋（a ＋b ）2a 2＋（a ＋b ）2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2b a ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋＋（a ＋b ）22＋2＋4＋2＝252.当且仅当a ＝b 时等号成立．9．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1，1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)证明：|1＋b |≤M ；(2)证明：M ≥12.【解析】证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|.又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |.∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.10．已知a ，b ，c 为非零实数，且a 2＋b 2＋c 2＋1－m ＝0，1a 2＋4b 2＋9c 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2＋9c 2≥36a 2＋b 2＋c2；(2)求实数m 的取值范围．【解析】(1)证明：由柯西不等式得2(a 2＋b 2＋c 2a ＋2b ·b ＋3c·，2(a2＋b2＋c2)≥36.∴1a2＋4b2＋9c2≥36a2＋b2＋c2.(2)由已知得a2＋b2＋c2＝m－1，1a2＋4b2＋9c2＝2m－1，∴(m－1)(2m－1)≥36，即2m2－3m－35≥0，解得m≤－72或m≥5.又a2＋b2＋c2＝m－1>0，1a2＋4b2＋9c2＝2m－1>0，∴m≥5.即实数m的取值范围是[5，＋∞)．11．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.【解析】(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意．若m≥1，①当x<0时，得x≥1－m2，则1－m2≤x<0；②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；③当x>1时，得x≤m＋12，则1<x≤m＋12.综上可知，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为1－m2，m＋12.由题意知，原不等式的解集为[0，1]，0，1，解得m＝1.(2)证明：∵x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，三式相加，得x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2≥2ax＋2by＋2cz.由题设及(1)，知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m＝1，∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，即ax ＋by ＋cz ≤1，得证．12．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝2x ＋6，x ≤2，，2<x <4，x ＋6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4.解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x －1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )2a ，x ≤0，x －2a ，0<x <a ，a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．1，2，∴a ＝3.13．设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解析】(1)证明：由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －x －a |＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 14．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.【解析】(1)f (x )x －3，x ∈[1，＋∞ ，－x ，x ∈－∞，1 .当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝{x |－14≤x ≤324}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－≤14.15．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：|13a ＋16b |＜14(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|，x ≤－12x －1，－1＜x ＜13，x ≥1由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M －12，所以|13a ＋16b |≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.16．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，g (x )＝a －|x －2|.(1)若关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<g (x )a ＋b 的值．【解析】(1)当x ＝2时，g (x )＝a －|x －2|取得最大值a ，∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|≥4，当且仅当－1≤x ≤3，f (x )取得最小值4，又∵关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，∴a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)．(2)当x ＝72时，f (x )＝5，则＝－72＋a ＋2＝5，解得a ＝132，∴当x <2时，g (x )＝x ＋92，令g (x )＝x ＋92＝4，得x ＝－12∈(－1,3)，∴b ＝－12，则a ＋b ＝6.17．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若对x ∈[0,4]不等式f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝2时，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3，∴不等式f (x )≤3的解集M ＝[a －3，a ＋3]，根据题意知[0,4]⊆M －3≤0，＋3≥4，∴1≤a ≤3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，∴g (x )的最小值为5，因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]．18．已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }，a ≥b ，，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．【解析】(1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.19．已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310；(2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.【证明】(1)∵|5x |＝|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|≤|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|<2×12＋3×16＝32，∴|x |<310.(2)∵x 4＋16y 4－(2x 3y ＋8xy 3)＝x 3(x －2y )－8y 3(x －2y )＝(x －2y )(x 3－8y 3)＝(x －2y )2(x 2＋2xy ＋4y 2)＝(x －2y )2[(x 2＋2xy ＋y 2)＋3y 2]≥0，∴x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.20．已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.【证明】(1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2＋n 4b 2＋a 2＋b 2＋c 2)a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.21．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)【解析】令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x－2，x ≥1，3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)【证明】|x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc＝3abc ＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .22．已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f 的解集；(2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．【解析】(1)f 4－|x ＋32|－|x －32|≥0，根据绝对值的几何意义，得|x ＋32|＋|x －32|表示点(x,0)到－32，B 接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，|x ＋32|＋|x －32|≤4，即f 的解集为[－2,2]．(2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得a 21＋a 22＋a 23)a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·＋12q ＋p ＋2q ＋r )≥9，∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94.上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号．∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.23．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12，①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解；②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0；③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为－14，＋(2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2∵当a ∈0，12时单调递增，a ∈12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1，∴b的取值范围为(－∞，1]．。

高考文科数学专题演练十三(不等式选讲)

高考文科数学专题演练十三（不等式选讲）1．(2016·保定调研)已知函数f(x)＝|x ＋6|－|m －x|(m∈R )．(1)当m ＝3时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若不等式f(x)≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解析 (1)当m ＝3时，f (x)≥5，即为|x ＋6|－|3－x|≥5，①当x<－6时，得－9≥5，所以x∈∅；②当－6≤x≤3时，得x ＋6＋x －3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3；③当x>3时，得9≥5，所以x>3.(4分)故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≥1}．(5分)(2)因为|x ＋6|－|m －x|≤|x＋6＋m －x|＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m＋6≤7，(8分)解得－13≤m≤1，故m 的取值范围是[－13，1]．(10分)2．(2016·开封模拟)已知函数f(x)＝|x －4|＋|x －a|(a∈R )的最小值为a.(1)求实数a 的值；(2)解不等式f(x)≤5.解析 (1)f(x)＝|x －4|＋|x －a|≥|a－4|＝a ，从而解得a ＝2.(5分)(2)由(1)知，f(x)＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6（x≤2），2（2<x≤4），2x －6（x>4）.结合y ＝f(x)的图像知，不等式f(x)≤5的解集为{x|12≤x ≤112}．(10分) 3．(2016·安徽统测)设函数f(x)＝|kx －1|(k∈R )．(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|－13≤x ≤1}，求k 的值； (2)若f(1)＋f(2)<5，求k 的取值范围．解析 (1)由|kx －1|≤2，得－2≤kx－1≤2，∴－1≤kx≤3，∴－13≤k 3x ≤1. 由已知，得k 3＝1，∴k ＝3.(5分) (2)由已知，得|k －1|＋|2k －1|<5.当k≤12时，－(k －1)－(2k －1)<5，得k>－1，此时－1<k≤12；当12<k ≤1时，－(k －1)＋(2k －1)<5，得k<5，此时12<k ≤1；当k>1时，(k －1)＋(2k －1)<5，得k<73，此时1<k<73. 综上，k 的取值范围是(－1，73)．(10分) 4．(2016·沈阳检测)设函数f(x)＝x －2＋11－x 的最大值为M.(1)求实数M 的值；(2)求关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集．解析 (1)f(x)＝x －2＋11－x ≤2（x －2）＋（11－x ）2＝32，当且仅当x ＝132时等号成立．故函数f(x)的最大值M ＝3 2.(5分)(2)由(1)知M ＝3 2.由绝对值三角不等式可得|x －2|＋|x ＋22|≥|(x －2)－(x ＋22)|＝3 2. 所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤32的解集就是方程|x －2|＋|x ＋22|＝32的解．由绝对值的几何意义得，当且仅当－22≤x ≤2时，|x －2|＋|x ＋22|＝32，所以不等式|x －2|＋|x ＋22|≤M 的解集为{x|－22≤x ≤2}．5．(2016·福州五校)已知函数f(x)＝|x －a|＋|12x ＋1|的最小值为2. (1)求实数a 的值；(2)若a>0，求不等式f(x)≤4的解集．解析 (1)当a≥－2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋1－a ，x>a ，－12x ＋1＋a ，－2≤x≤a，－32x ＋a －1，x<－2.∴f(x)min ＝1＋a 2＝2，a ＝2.(2分)当a<－2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋1－a ，x>－2，12x －a －1，a<x ≤－2，－32x ＋a －1，x ≤a.∴f(x)min ＝－a 2－1＝2，a ＝－6.(4分) 综上可知a ＝2或a ＝－6.(5分)(2)由(1)知，当a>0时a ＝2.不等式f(x)≤4，即|x －2|＋12|x ＋2|≤4.(6分) 由(1)知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧32x －1，x>2，－12x ＋3，－2≤x≤2，－32x ＋1，x<－2.当x>2时，f (x)≤4得32x －1≤4，解得x≤103，∴2<x ≤103. 当－2≤x≤2时，f (x)≤4得－12x ＋3≤4解得x≥－2，∴－2≤x≤2. 当x<－2时，f (x)≤4得－32x ＋1≤4解得x≥－2.∴无解．综上得f(x)≤4的解集为[－2，103]．(10分) 6．(2016·广州模拟)已知函数f(x)＝|x ＋a|(a∈R )．(1)若a ＝1，解不等式f(x)＋|x －3|≤2x；(2)若不等式f(x)＋|x －1|≥3在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)依题意，|x ＋1|＋|x －3|≤2x.当x<－1时，原不等式化为－1－x ＋3－x≤2x，解得x≥12，故无解；当－1≤x≤3时，原不等式化为x ＋1＋3－x≤2x，解得x≥2，故2≤x≤3；当x>3时，原不等式化为x ＋1＋x －3≤2x，即－2≤0恒成立．综上所述，不等式f(x)＋|x －3|≤2x 的解集为[2，＋∞)．(5分)(2)f(x)＋|x －1|≥3⇔|x ＋a|＋|x －1|≥3恒成立，由|x ＋a|＋|x －1|≥|a＋1|可知，只需|a ＋1|≥3即可，故a≥2或a≤－4，即实数a 的取值范围为{a|a≥2或a≤－4}．7．(2016·衡水调研)已知函数f(x)＝|x ＋1|.(1)求不等式f(x)<|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．解析 (1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x<－1；(2分)②当－1<x<－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x<－1，此时原不等式无解；(3分) ③当x≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x>1.(4分) 综上，M ＝{x|x<－1或x>1}．(2)因为f(a)－f(－b)＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b|，(7分) 所以，要证f(ab)>f(a)－f(－b)，只需证|ab ＋1|>|a ＋b|，即证|ab ＋1|2>|a ＋b|2，(8分)即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0.(9分)因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立．(10分)8．(2016·长春质检)已知函数f(x)＝|x ＋1|，g(x)＝2|x|＋a.(1)当a ＝－1时，解不等式f(x)≤g(x)；(2)若存在x 0∈R ，使得f(x 0)≥12g(x 0)，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝－1时，不等式f(x)≤g(x)，即|x ＋1|≤2|x|－1，(2分)从而⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－x －1≤－2x －1即x≤－1，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x≤0，x ＋1≤－2x －1即－1<x≤－23，或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x ＋1≤2x－1即x≥2. 从而不等式f(x)≤g(x)的解集为{x|x≤－23或x≥2}．(5分) (2)存在x 0∈R ，使得f(x 0)≥12g(x 0)，即存在x 0∈R ，使得|x 0＋1|≥|x 0|＋a 2，即存在x 0∈R ，使得a 2≤|x 0＋1|－|x 0|. 设h(x)＝|x ＋1|－|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1<x≤0，1，x>0则h(x)的最大值为1，因而a 2≤1，即a≤2.(10分)9．(2015·贵州联考)已知函数f(x)＝|2x －a|＋|x －1|.(1)当a ＝3时，求不等式f(x)≥2的解集；(2)若f(x)≥5－x 对∀x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝3时，即求解|2x －3|＋|x －1|≥2，①当x≥32时，2x －3＋x －1≥2，∴x ≥2； ②当1<x<32时，3－2x ＋x －1≥2，2－x≥2，x ≤0，无解； ③当x≤1时，3－2x ＋1－x≥2，∴3x ≤2，∴x ≤23. 综上，解集为{x|x≤23或x≥2}．(5分) (2)f(x)≥5－x 恒成立，即|2x －a|≥5－x －|x －1|恒成立，令g(x)＝5－x －|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ，x ≥1，4，x<1，则函数图像如图． ∴a 2≥3，∴a ≥6.(10分) 10．(2016·贵阳检测)设函数f(x)＝|x ＋2|＋|x －a|(a∈R )．(1)若不等式f(x)＋a≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若不等式f(x)≥32x 恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a≥0时，f(x)＋a≥0恒成立，当a<0时，要保证f(x)≥－a 恒成立，即f(x)的最小值|a ＋2|≥－a ，解得－1≤a<0，故a≥－1.(5分)(2)由题意可知，函数y ＝f(x)的图像恒在直线y ＝32x 的上方，画出两个函数图像可知，当a≤－2时，符合题意，当a>－2时，只需满足点(a ，a ＋2)不在点(a ，32a)的下方即可，所以a ＋2≥32a ，即－2<a≤4. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]．(10分)11．(2016·河北七校)设函数f(x)＝|x －a|，a<0.(1)证明：f(x)＋f(－1x)≥2； (2)若不等式f(x)＋f(2x)<12的解集非空，求a 的取值范围．解析 (1)函数f(x)＝|x －a|，a<0，则f(x)＋f(－1x )＝|x －a|＋|－1x－a|＝|x －a|＋|1x＋a| ≥|(x －a)＋(1x＋a)| ＝|x ＋1x| ＝|x|＋1|x|≥2|x|·1|x|＝2(当且仅当|x|＝1时取等号)．(5分)(2)f(x)＋f(2x)＝|x －a|＋|2x －a|，a<0.当x≤a 时，f(x)＋f(2x)＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ，则f(x)＋f(2x)≥－a ；当a<x<a 2时，f(x)＋f(2x)＝x －a ＋a －2x ＝－x ，则－a 2<f(x)＋f(2x)<－a ；当x≥a 2时，f(x)＋f(2x)＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ，则f(x)＋f(2x)≥－a 2，则f(x)＋f(2x)的值域为[－a 2，＋∞)，不等式f(x)＋f(2x)<12的解集非空，即为12>－a 2，解得，a>－1，由于a<0，则a 的取值范围是(－1，0)．(10分)12．(2016·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x|≤a≤|x ＋1|＋|2－x|都成立．(1)求a 的值；(2)设m>n>0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n2≥2n ＋a. 解析 (1)设f(x)＝|x ＋1|－|2－x|，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x ≥2，∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x|≤a 都成立，即f(x)≤a，∴a ≥3.设h(x)＝|x ＋1|＋|2－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x，|x＋1|＋|2－x|≥a都成立，即h(x)≥a，∴a≤3，∴a＝3.(5分)(2)由(1)知a＝3.∵2m＋1m2－2mn＋n2－2n＝(m－n)＋(m－n)＋1（m－n）2，且m>n>0，∴(m－n)＋(m－n)＋1（m－n）2≥33（m－n）（m－n）1（m－n）2＝3.∴2m＋1m2－2mn＋n2≥2n＋a.(10分)。

2020高考文科数学专用专题能力训练：不等式选讲(选修4—5)含解析

(方法一:利用基本不等式)
∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥29,当且仅当
a=b=3时取等号,
2
∴a2+b2 的最小值为29.
(方法二:消元法求二次函数的最值)
∵a+b=3,
∴b=3-a,
4/6
∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(��-
3
7.已知函数 f(x)=|x-3|-|x-a|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≤-12; (2)若存在实数 a,使得不等式 f(x)≥a 成立,求实数 a 的取值范围.
8.(20xx 全国Ⅲ,文 23)设 x,y,z∈R,且 x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥1成立,证明:a≤-3 或 a≥-1.
2�� + 2,�� ≥ 2, ∴f(x)<8⇔{��2��-≤2��-2<, 8 或 {-62<<8�� < 2, 或 {��2��≥+22, < 8. ∴不等式的解集为{x|-3<x<3}.
(2)证明 ∵a>0,b>0,c>0,
∴f(x)=|a-x|+|x+b|+c≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c,

高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》经典测试题附解析

新《不等式选讲》专题一、141．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.2．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.3．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（）A ．3B ．13C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =．故选D ．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．4．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可．【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1．则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1，又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ．【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设n *∈N） A>BC=D ．不能确定【答案】B 【解析】【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．6．若存在x,∈R,使2x a23x1-+-≤成立,则实数a的取值范围是（）A．[]75--，B．()57，C．[]57，D．][()57∞∞-⋃+，，【答案】C【解析】【分析】先利用绝对值三角不等式求223x a x-+-的最小值，即得实数a的取值范围.【详解】由题得223=262|6|x a x x a x a-+--+-≥-，所以|6|1,161,57a a a-≤∴-≤-≤∴≤≤.故选C【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．设,x y∈R，且0xy≠，则222241x yy x⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A．9-B．9 C．10 D．0【答案】B【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值．【详解】（x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy= 时取等号．故选：B ．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．8．设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由31x <可得1x <，由1122x -<可得01x <<，据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B . 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.10．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}．故选：B ．【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．11．若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（） A ．5或8 B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或8【答案】D 【解析】试题分析：由题意，①当12a->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x af x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.12．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈…，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。

2020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳和训练

2020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1设函数f(x)=|x-l|+|x-2|(1)解不等式f⑴>3.(2)若f(x)>a对xcR恒成立，求实数。

的取值范围.【答案】(1)(—oo,0)(3,+oo);(2)实数a的取值范围是(-8,1)3-2x,x<l,【解析】(1)因为/(x)=|x-l|+|x-2|=-1,1<x<2,2x-3,x>2.所以当时，3—2Q3,解得x〈0；当1GM2时，/(x)>3无解；当x〉2时，*3>3,解得x〉3.所以不等式/'(x)>3的解集为(一qo,0)d(3,+co).3-2x,x<1,(2)因为/'(X)=<1,1<2,所以/(X)min=l.2x-3,x>2.因为f(x)>a T旦成立，所以aVl,即实数a的取值范围是(一co,l).【易错点】注意定义域取值范围.【思维点拨】试题以考查不等式的性质为目标，以绝对值不等式求解与证明问题为背景，所涉及到的知识均为考生熟悉的，易于入手，可从不同角度思考分析,使得不同基础和能力的考生都有所收获.题型二解绝对值三角不等式例1已知函数/(x)=|.x-l|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a一仞2|a|y(x)对a?0,a、beR恒成立，求实数X的范围.【答案】(x|i<x<|-}【解析】Si\a+k\+\a-t\>\c^f(x)且"0得血+七”")>川).\a\又因为M±M)>fe±^M=2,则有2>/(x).14〔a解不等式I—1|+|—2区2得:C〈：.【易错点】注意等号成立的条件【思维点拨】1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.含有两个绝对值符号的不等式，如|x-a|+|x—Z j|>c^D|x—a|+|x-Z?|<c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于X前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.题型三利用绝对值不等式求参数范围例1设函数/(x)=|2x+l|+|2x-a|+a,x e R.(1)当。

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专题12 不等式选讲解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ． (2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x=++-．(1)画出()y f x=的图像；(2)当[0,)x∈+∞时，()f x ax b+≤，求a b+的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． D ．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．5．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -<≤．所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．6．已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤． 7．已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+．故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤.9．已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2) ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤．当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，．10．已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．11．已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+，得13x-.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +等价于|1|3a a-+. ①当1a时，①等价于13a a -+，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+，解得2a.所以a 的取值范围是[2,)+∞.。