高数——一元函数积分学

一元函数积分学

【知识要点】

1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

2、熟练掌握不定积分的基本公式。

3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。

4、熟练掌握不定积分的分部积分法。

5、掌握简单有理函数不定积分的计算。

6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件

7、掌握定积分的基本性质

8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

11、.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

1不定积分

定义 函数)(x f 的全体原函数称为函数)(x f 的不定积分，记作

⎰dx x f )(，并称⎰

微积分

号，函数)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。因此

⎰+=C x F dx x f )()(，

其中)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。 基本积分公式（要求熟练记忆） （1）⎰

=C dx 0 （2）)1(1

11

-≠++=+⎰

a C x a dx x a a

. （3）

C x dx x +=⎰ln 1

.

（4）C a a

dx a x x

+=

⎰ln 1 )1,0(≠>a a （5）C e dx e x

x +=⎰

（6）⎰

+-=C x xdx cos sin （7）⎰

+=C x xdx sin cos

（8）C x dx x +=⎰tan cos 1

2.

（9）C x dx x

+-=⎰cot sin 1

2.

（10）

C x dx x

+=-⎰

arcsin 112

.

（11）

C x dx x +=+⎰arctan 11

2.

正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如C x a dx x a a

++=⎰

+1

1

1理解为下面的结构式：

式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如：

正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。

2直接积分法

直接积分法是指用代数或三角恒等变形，并用积分的性质和基本积分公式进行积分的积分方法。

3换元积分法

换元积分法就是对不定积分

⎰dx x f )(作适当的变量代换：

令)(u x ϕ=，或令)(x u ϕ=，把被积表达式变换成对新变量u 的函数，而对u 积分时是可利用基本积分公式的类型。这就

是换元积分法。

换元积分法的依据就是基本积分公式中的x 可以换成任意连续可导函数时，公式依然成立。例如：如：

C x u x du x u +=+⎰)(arctan )()(11

2.

当用任意连续可导函数来替换)(x u 时，公式仍然成立，如)sin(x u =，x u ln =，

x u sin =，)ln(sin x u =，等等，公式均成立：

()1

11.

1d c αααα+=+≠-+⎰

341sin sin sin .

4x d x x c =+⎰

C x x d x +=+⎰)]sin arctan[ln()][ln(sin )][ln(sin 11

2.

换元积分法分第一类换元积分法和第二类换元积分法两种。

1、 第一类换元积分法

第一类换元积分法又称凑微分法，这种积分方法是：求积分

dx x x f )(])(['

ϕϕ⎰时，若

)(x ϕ是x 的可导函数，用一个新的变量u 来代换)(x ϕ，并用du 代换dx x )('ϕ，此时积分

dx x x f )()](['ϕϕ⎰变成了du u f ⎰)(，而它用可以直接用公式积分得到C u F +)(，最后将u

换成)(x ϕ即可。 2、第二类换元积分法

第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，所给的积分

⎰dx x f )(不能直接套公

式计算，而是要将积分变量x 用一个函数)(t ϕ代替（要求)(t x ϕ=严格单调、可导），且

0)('≠t ϕ，并将dx 用dt t )('ϕ代替，使积分变成dt t t f )()](['ϕϕ⎰，这个积分可以套公式积

出为C t F +)(，最后将t 用)(1

x -ϕ作反还原。

4分部积分法

分部积分法也是一种重要的方法，它是由函数之积的微分公式推导出来的。 分部积分公式

设)(),(x v x u 均可导，则udv vdu uv d +=)(， 两边对x 积分得 ⎰⎰

+=udv vdu uv 。 移项得分部积分公式如下：

⎰⎰-=vdu uv udv 或 ⎰⎰-=udv uv vdu 。

说明：在用分部积分法进行积分时，应努力使积分中右端的积分比左端的积分容易，因此应用分部积分法时，恰当选择u 和dv （或v 和du ）是解题的关键。如果选取不当，得到的积分会比原积分更不易求出。对u 和dv 的选择，应当考虑两点： （1）v 要容易求得。

（2）要使⎰vdu 较所给积分⎰

udv 容易计算。