中考数学专题51新定义及阅读理解型问题含解析.doc

2019-2020 年中考数学专题51新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿
于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现
新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。

在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻
辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直
觉思维。

因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加
工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专
题对规律探究型问题进行命题。

本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。

1.阅读下面的材料：
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
a
b＞0 ；
b
定义运算“※”为： a※ b 求1※ 2 的值 .
a
b＜0 .
b
1
小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1， b=-2 ，又 b＜ 0，所以 1※（ -2 ）= 2 ．
请你参考小明的解题思路，回答下列问题：
（ 1）计算： 2※ 3= ；
5
（ 2）若 5※ m=6，则 m= ．
（ 3）函数 y=2※ x（x≠0）的图象大致是（）
y y y y
2
【答案】解：（） 3
O x
O
x O x
O 1 x （ 2）± 6
（ 3） D
【解析】
考点：规律探索应用，反比例函数的图像
2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题（ 2）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AB=c， AC=b， BC=a，且 b>a，若 Rt △ ABC是奇异三角形，求
? a： b：c；
（ 3）如图， AB 是⊙ O的直径， C 是⊙ O 上一点（不与点 A， B 重合）， D 是半圆ADB的中点， C， D 在直径AB的两侧，若在⊙ O内存在点 E，使 AE=AD， CB=CE．
①求证：△ ACE是奇异三角形；
②当△ ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
【答案】（1）真命题．（ 2） a： b： c=1：2
：
3
．（3）①见解析②60°或120°．
【解析】
2
： 1 ．然后分两种情况讨论 .
试题解析：解：（ 1）真命题．（ 2 分）
（ 3）在 Rt ABC中， a2+b2=c2，
①证明：∵ AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=∠ ADB=90°，
在 Rt
2 2 2 ACB中， AC+BC=AB；
在 Rt
2 2 2 ADB中， AD+BD=AB．
∵ D 是半圆ADB的中点，∴AD BD ，∴ AD=BD，（ 6 分），
2 2 2 2
（ 7 分）
∴ AB =AD+BD=2AD，
2 2 2
又∵ CB=CE． AE=AD，∴ AC+ CE=2AE．∴ ACE是奇异三角形．（ 8 分）
考点： 1. 命题； 2. 勾股定理； 3. 圆周角定理及推论；
4. 直角三角形的性质 .
3. 阅读理解：对于任意正实数
a 、 ，∵ ( a
－ b ) 2 ≥ 0，∴
a － 2 a
b ＋ ≥ 0，∴ ＋ ≥ 2 ab ，只有当
a
b
b a b
＝ b 时，等号成 立 .
结论：在 a ＋ b ≥2 ab
（ a 、b 均为正实数）中，若
ab 为定值 p ，则 a+b ≥2
p
，只有当 a ＝ b 时， a ＋ b 有
最小值 2 p
.
根据上述内容，回答下列问题：
（ 1）若 m ＞ 0，只有当 m ＝
时， m ＋ m 有最小值
；
若 ＞ 0，只有当 ＝
时， 2 ＋ m 有最小值.
m m
m
1
（ 2）如图，已知直线 L 1： y ＝ 2 x ＋ 1 与 x 轴交于点 A ，过点 A 的另一直 线 L 2 与双曲线 y ＝ x
（ x >0）相交于点 B （2， m ），求直线 L 2 的解析式 .
（ 3）在（ 2）的条件下，若点
C 为双曲线上任意一点，作∥
y 轴交直线
L
1 于点 ，试
CD
D
求当线段
最短时，点 、 、 、 D 围成的四边形面积 .
CD A B C
m
1
8
【答案】（1）当
m m
有最小值为 2；当
m 2
时，
2m
1
时，
m
有最小值为 8
（ 2）
yx
2
（ 3） 23
∴A（ -2 ，0）
y 8
(x 0)
又点 B（ 2， m）在x 上，
∴ m
4, B(2, 4)
设直线L
2的解析式为：
y kx b ，
则有，解得：
2k b0 2k b 4
k 1
b 2
∴直线L
2的解析式为：
y x 2
；
1 6 4 1
(5 6) 2
2 2 12 11
23
4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译
的“钥匙”。

目前，已破译出“正做数学”的真实意思是“祝你成功”。

若“正”所处的位置为（x， y），你找到的密码钥匙是，破译的“今天考试”真实意思是。

【答案】对应文字横坐标减1，纵坐标减 2；努力发挥。

【考点】探索规律题（图形的变化类），坐标的变换。

5.对于实数x，我们规定x 表示不大于x 的最大整数，如 4 4, 3 1, 2.5 3 ，现对82进行
如下操作： 82 第 1次82 第 2次9 第 3次3
，这样对 82 只需进行 3 次操作后变为 1，82
9 3 1
3 3
类似地，①对121 只需进行次操作后变为1；②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的是
.
【答案】① 3；② 255。

【考点】新定义，无理数的大小比较，解一元一次不等式组。

6.初三年级某班有54 名学生，所在教室有 6 行9 列座位，用(m, n) 表示第 m 行第n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m, n) ，如果调整后的座位为(i, j) ，则称该生作了平移a, b m i, n j , 并称a+ b 为该生的位置数。

若当m n 36 时， m n 取得最小值，则该生位置数的最大值为
▲。

【答案】 10。

【考点】坐标与图形的平移变化，坐标确定位置。

7.阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。

例如：（ 1）am an bm bn am bm an bn m(a b) n(a b) (a b) m n ，（ 2）x2y22y 1 x2y22y 1 x2y 12x y1x y1 。

试用上述方法分解因式4x 22x y2y。

【答案】2x y 2x y 1 。

【考点】分组分解法因式分解。

【分析】 4x 22x y 2y 4x 2y 22x y2x y 2x y2x y2x y 2x y 1 。

8. 设 a、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为 [a ，b] ．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当 m≤x≤n时，有 m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m， n] 上的“闭函数”．
2014
（1）反比例函数y是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；x
（2）若一次函数yx b 是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（ 3）若二次函数y x2 4x 7 是闭区间 [a ， b] 上的“闭函数”，求实数a，b 的值．
【答案】解：（ 1）反比例函数y 2014
是闭区间 [1 ， 20 14] 上的“闭函数”。

理由如下：x
∵反比例函数y 2014
在第一象限， y 随 x 的增大而减小，且x
当 x=1 时， y=2014；当 x=2014 时， y=1，
∴当 1≤x≤201 4 时，有 1≤y≤201 4，符合闭函数的定义，故反比例函数y 2014 是闭
x
区间 [1 ， 2014] 上的“闭函数”。

（ 3）∵y x 24x 7x 2 211，
∴该二次函数的图象开口方向向上，
最小值是 11，且 当 x ＜2 时，y 随 x 的增大而减小 ；
当 x ＞ 2 时， y 随 x 的增大而增大。

①当 b ≤2时，此二次函数
y 随 x 的增大 而减小，则根据“闭函数”的定义得，
a 2 4a
7 b
b 2
，两式相减，
4b
7 a
得 a 2
b 2
4a 4b b a a b a b 3 a b 0
a b a b 3 0
∵ a b 0 ，∴ a b 3 0 b 3 a 。

∴ a 2 4a 7 3 a a 2 3a 10 0 解得，
a 5
a
2
b
或
（均不合题意，舍去） 。

2b 5
②当 a ＜ 2＜ b 时，此时二次函数
2
11=a
y x 4x 7 的最小值是
，根据“闭函数”的定
义得
【考点】 新定义，反比例函数、一次函数和二次函数的性质，解二元方程组，分类思想的应用。