分数巧算之裂项法

第二讲
分数裂项巧求和
学习中这样一个有趣的现象：
如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数
的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写
成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的
两个自然数。（这种方法称为“裂项法” ）
如：
1 1 1 1 1 1 ; ; 1 2 1 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 ; ;...... 3 4 3 4 4 5 4 5
1 1 1 通过拆分，我们将例2转化成了 n(n 1) n n 1
的形式，因此
1 1 1 1 1 原式 5 ( ) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 5 6 25 6
【举一反三】计算：
8 8 8 8 8 (1) 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28
3 (
1 1 1 1 1 ) 20 30 42 56 72
分母写成两个 相邻的数的乘积
1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 1 1 3 ( ) 4 9 5 5 3 36 12
(1) 1 1 1 1 1 ...... 2 6 12 20 90
( 2)
1 1 1 1 1 20 30 42 56 72
例3、计算
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72
分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前
面知识，将原式中的分数进行拆分，如：
【举一反三】 计算：
3 3 3 3 3 (1) 6 12 20 30 42
7 7 7 7 7 (2) 42 56 72 90 110
3 1 3 1 3 1 3 ; 3 ; 3 ....... 20 20 30 30 42 42
将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型：
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 20 30 42 56 72
1 1 1 将每一个分数分裂成两分数的差，即 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 ...... 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ...... ( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
原来可以 这样拆分啊
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自
然数乘积的形式。
1 1 1 1 ...... 6 12 20 2450
我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的 题目简单化。
例1.计算：
1 1 1 1 1 ...... 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
分析与解：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母
是两个正整数的乘积，பைடு நூலகம்分子是这两个正整数的差，所以我们可以
【举一反三】 计算：
1 1 1 1 1 (1) ...... 1 2 2 3 3 4 18 19 19 20
( 2)
1 1 1 1 1 ...... 11 12 12 13 13 14 2008 2009 2009 2010
这道题目与例1相 比有什么不同？
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...... 2 2 3 3 4 4 48 49 49 50
1 1 50
49 50
（去掉括号）
（中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0）
小结：
通过以上的介绍可以看到在分数计 算中，有的计算如果运用通分等思想， 由于题目过于复杂，不容易计算，而使 用裂项法就使解题变得十分的简单。
( 2)
2 2 2 2 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
例3、计算 1 1 1 1 ...... 6 12 20 2450
分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母 并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法， 我们应该先通分，再求和。
例2、计算
5 5 5 5 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
分子不是1，而是5。
我们可以这样想：
5 1 5 1 5 1 5 ; 5 ; 5 ; 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 5 1 5 1 5 ; 5 45 4 5 5 6 5 6

1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 49 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 5 49 50 1 1 2 50 24 12 50 25
【举一反三】 计算：