第二讲电场强度计算续高斯定理

K E(r)
解：由对称性分析知，该带电球 的电场是以O为中心的球对称电场.
1.球外电场：作半径r的高斯球面
+
+
+q
R O
+ +
(R ≤ r < ∞)
v∫ ∑ 依高斯定理：
KG E ⋅ dS
S
=
1
ε0
qi
S内
r+++
v∫ ∑ v∫ E cos0dS = 1
S
K E (r)
=
ε0 q
4πε 0 r 2
S内
电力线特点
E = dΦn ds
dΦn ds
◎起始于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远。
◎任何两条电力线不相交。
◎电力线疏密的不同，反映出场强强弱的不同。
11
二、电通量
●通过某一曲面的电力线数，叫通
过这一曲面的电通量。记为“Φe”.
电通量的计算
KG
设电场为非均匀。则
dΦ
K
e
=G E ⋅ dS
∫ Φ e =
rˆ
qi → K
或E
E (r
)
d
S
=
S 4
=
q
πε
1
ε0
0r3
q K r
20
2.球内电场：作半径r的高斯球面
KG
v∫ ∑ E ⋅ dS = S KG
1
ε0
qi
S内
(0 ≤ r < R)
E ⋅ dS = 0 → E = 0
v∫S
q+
+
+
r
+
+
S ++
+
球内、外电场分布：
K
K E
=
⎧0"(0 ≤ r < R)
σ dr
r
RO x
KX P Ep
K E
=
σ 2ε 0
⎛ ⎜1− ⎝
x R2 +
x2
⎞⎟ iˆ ⎠
=
σ 2ε 0
[1 −
1 ]iˆ 1+ (R / x)2
1. R → ∞ E = σ 2ε 0
无限大平板电场
2. x → 0 E = σ 2ε 0
等效于无限大平板电场
4
●电荷均匀分布的两带等量异号电荷的无限大平行 板间的电场为均匀场，而板外电场为零。
E
0
⋅ dS = S1 E1 ⋅ dS1
+ E2S2 + E3S3
+
=
S2 E2 ⋅ dS2 + E S3 3
2 ES 2
=
1
ε0
σS2
⋅ dS3
K E=
σ 2ε0
|
x| iˆ x
25
例4：求无限长，单位长度带电λ的直圆柱带电体的电场。
解：1.对称性分析 —场具有轴对称性
+ +
++ +
++++
++++++ +++++++++
r
θ
x
=
L
λdl 4πε0r 2
cosθ
=
λ cosθ 4πε 0r 2
2π
p dE//
KX dE⊥ dE
K E
=
qx
4πε 0r3
iˆ
λ ⋅ 2π R = q
cosθ = x / r
R
1
K
讨论：1. x = 0, Ep = 0
2. x
Y
>>
R,
K Ep
=
q
4πε0 x2
K E iˆ
=
4πε0
qx (R2 +
22
E 4π
r2
=
1
ε0
⋅
q
(4 / 3)π
R3
⋅
4 π r3
3
E(r)
K E
=
qr
4πε 0 R3
rˆ
(0 ≤ r < R)
R
r
K E (r)
=
⎧
⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
q
4πε 0
qr
4πε 0
r2 R3
rˆ" ( R rˆ" (0
< ≤
r r
< <
∞) R)
23
例3：求无限大带电平面的电场。设电荷面密度为σ.
⎧0 (−∞ < x < 0) +σ
E
=
⎪⎪ σ
⎨ ⎪
ε
0
(0 ≤ x ≤ d)
⎪⎩0 (d < x < ∞)
证明：
d
-σ
+σ+ --σ
+-
+-
X
++-
+O+ - X
d
5
证明：
⎧0 (−∞ < x < 0)
E
=
⎪⎪ σ
⎨ ⎪
ε
0
(0 ≤ x ≤ d)
⎪⎩0 (d < x < ∞)
+σ
-σ
X
d
σ
σ
2ε 0
S
=
1
ε0
(q1
+
q2
+
q3 )
跳过证明
q6 + q4 +
q5
-
q2 +
+
-q3
q1
S
14
K
证明：
E
1.仅有一个点电荷
c点电荷K在S面G 内：
∫ Φe =
=
E ⋅ dS SK G E ⋅ dS =
q
∫Sn
ε0
d点电荷在S面外：
K
Eq
q
+ Sn
S
KG
+
∫ Φe =
E ⋅ dS = 0
S
S
15
2.S面内有 q1,q2, "qn ,共n个电荷；S面外有
4πε 0 R 2
dS
S
K
dS
q
K E
+
S
=
q
4πε 0 R 2
⋅ 4πR 2
=
q
ε0
13
三、高斯定理
●穿出任一闭合曲面的电通量Φe等于该曲面所包围
∫ ∑ 无的关所。有电荷Φ的e代=数S和EK 除⋅ d以SG ε=0，ε1而0 S与面内闭q合i 面外的电荷
v∫ 例：如右图 K G
Φe =
E ⋅ dS
+++ S下
+++
28
圆柱体内、外电场分布：
K E(r)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪
λr 2πε 0 R 2
λ rˆ
rˆ
⎪⎩ 2πε0r
(0 ≤ r < R) (R ≤ r < ∞)
E(r)
r
R
29
例3：电荷q 均匀地分布在半径为R的圆环上，求圆环
{ 中心轴线上距离环心为x的任一点 p 的场强。
解：分割带电体，取dl : dq = λdl
λ
dE
=
dq
4πε0r 2
=
λdl 4πε0r 2
dE// = dE cosθ
dE⊥ = dE sinθ
=q
2π R
E⊥ = 0
Y dl
R
O Z
∫ E = E//
的所有电荷的代数和除以ε0，而与闭合面外的电荷
无关。
∫ ∑ Φe =
K E
S
G ⋅ dS
=
1
ε0
qi
S面内
17
讨论： ●高斯定理的数学表达式中E是S面内外所有
电荷在S面上所产生的总场强。
∫ ∑ ●
ΣΦqie仅=指SSEK面⋅内dSG的=所ε有10 电S面荷内q的i 代数和。
q
+
S
S面内、外所有电荷在 S面上产生的场强
直线电场之和，即
P x
E= σ − λ
X
2ε 0 2πε 0 x
++
++
λ =σa
+
= σ (1 − a )
2ε 0
πx
7
扩展：若上题中，无限大的带电平板中间有一半径 为R的圆洞。求X轴上一点P处的电场强度。
提示：用补偿法
+
σ
++
++
-
+ +
P x
E = E板 − E孔
= ""
X
++
+
8
例：设电荷q均匀分布在半径为a，圆心角为θ
解：对称性分析:
结论：是以带电面为对称的场，与带电面等距离的两
平行平面处场强值相等。
+σ
+
++
+
+
+
+
+
++
+
+ +
24
作垂直于带电面的高斯圆柱面
S3
S3
+σ
+ +
O+ +
S2 X
S1 S2
S1 + +
∫ ∑ K G
K
依高斯定理
K
KK
KG E ⋅ dS
S
K
+
=1
εK0
S内
qi
v∫ ∫ ∫ ∫ S
=
v∫ v∫ ∑ 处相同或分K 区域G 相同，则：
E ⋅ dS = E cosθ dS
S
S
=
1
ε0
qi
S面内
S是一个简单易求的曲面面积：
1
∑ E =
ε0
qi
S内
cosθ dS
v∫ S
●通常是具有某种对称性的电场—轴对称、球对称、 均匀场等。
19
例1：求半径为R 均匀带电q 的球 壳在空间各点产生的电场。
的圆
0
弧上，求圆心O处的电场强度。
解：dq = λdl = q adθ = q dθ
aθ0
θ0
dE
=
1
4πε
dq a2
=
1
4πε
q
a2θ0
dθ
+
+ + + dq
θ+
a θ0
O
x
dE dE′
根据对称性，O处的电场方向向下。 d E + d E′
∫ Ex = dEx = 0
y
∫ ∫ Ey =
dEy =
θ0
E ⋅ dS
S
通过封闭曲面的电通量
KG
K
∫ Φe =
E ⋅ dS
S
E
规定面积正法线由曲面指向外
E = dΦn
ds
K dS
K E
q
+
S
12
例：球面内有一点电荷q，求通过此球面的电通量。
E
=
q
4πε 0 R 2
●E是球面上的电场强度.
Φe
=
v∫S
K E
⋅
G dS
=
v∫S
q
4πε 0
R
2
dS
v∫ = q
S面内电荷代数和
●高斯定理是说明静电场基本性质的方程 —静电场是有源场
当S面内只有正电荷,Φe > 0, 从S面内发出正通量; 当S面内只有负电荷,Φe < 0, 有通量进入S面内.
正电荷称为源头,负电荷称为负源头（尾闾）
18
四、利用高斯定理计算具有对称性的电场
若某个电场可以找到这样的高斯面，面上的场强处
2
−θ0
2
dE cosθ
=
q
4πε a2
sin(θ0 / 2) θ0 / 2
9
例：一带电细棒被弯成半圆型，上半部均匀带+Q电 荷，下半部均匀带-Q电荷，半径为R,求圆心O处的
电场强度的大小和方向。
分析：利用上一例的结果，先分别求 +Q、-Q 产生
的电场强度，再矢量迭加
E+
=
E−
=
Q
4πε R2
sin(π / 4) (π / 4)
⎪
⎨q
⎪⎩ 4πε 0r2
rˆ " ( R
≤
r
<
∞)
E(r) R
r
◎球外电场等效于电量集中于球心的点电荷的场。
21
例2：求半径为R、均匀带电q的球体的电场分布。 解：将球体分成许多薄球壳. ◎球内外场为球对称分布
1.球外电场：等同于均匀带电球壳的球外电场
v∫ 由高斯定理得 E d S
K E (r)
=
S
q
4πε 0 r 2
rˆ
= q /ε0
(R ≤ r <
2.球内电场：作半径为r的球面 ( 0 ≤
∞) r<
+ +
+ +R+
+ +
+
R ) +q+ + +
v∫E
dS
S
=
1
ε0
ρ
⋅Vr
=
1
ε0
ρ
⋅
4 π r3
3
→
E
⋅ 4π r2
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=
1
ε0
q
(4 / 3)π
R3
⋅
4 π r3
3
+++q++SR+++r+++ +
S
K KS上
S下
S侧
∫= E ⋅dS = E ⋅ S侧 = E ⋅ 2π rl S侧
+ + + S上
∑ = 1
ε0
qi
S内
= 1 λl ε0
l
K E=
λ
rˆ
(R ≤ r < ∞)
2πε 0 r
+ + +r
+++ +++
◎柱外电场等效于轴线处的无限长带电直线的场。
S侧 S下
27
3.在圆柱内作半径为r的圆柱形高斯面S
S En+2 ⋅ dS +"+ E ⋅ Sn+K n+k
K dS
∑ = q1
ε0
+ q2
ε0
+"+ qn
ε0
+ 0 +"+ 0
=1
ε0
n
qi
i =1
16
3.连续带电体
带电体是点电荷的集 合。同样可证明高斯 定理的结论。
定理证毕！
+++++++++
+++Q+++1+++++++
S
●穿出任一闭合曲面的电通量Φe等于该曲面所包围
+σ
+
2ε 0
+
+
+
+
- -σ -
-
σ
-
σ
2ε 0
d 2ε0
X
σ /ε0
+σ+ --σ
++++++-X
d
板外
E =0
6
例：如图所示，一无限大的带电平板，电荷面密度为
σ，但中间有一宽为a的细长线。求X轴上一点P处的
电场强度。 解：用补偿法
P 点电场为带+σ 的无限大均匀带电
+ +
+
σ
++
+ O
+
平板电场与带-σ 的无限长均匀带电
v∫ ∫ ∫ ∫ K G
KK
KK
KK
E ⋅ dS = E ⋅ dS + E ⋅dS + E ⋅dS
S
K KS上
S下
S侧
∫= E ⋅dS = E ⋅ 2π rl S侧
+ + + S上
∑ =
1
ε0
qi
S内
=
1
ε0
⋅ λ π r2l π R2
+ +r+
l
S侧
K E
=
λr 2πε 0 R 2
rˆ
(0 ≤ r < R)
qn+1,qnK+2, "K qn+k k个电荷
∫ Φe =
E ⋅ dS
KS K
KK
∫=
S
(E1 K
+
E2 K
+
"+ K
En+k
)
⋅
dS
q1 +
-
GK
q+4
+ q2
q3
q5-
S
=
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ +
S S
E1 ⋅
K En+1
dS +
K ⋅ dS +
S E2 ⋅ dS + " +
K
Sn
En
⋅ dS G
=
4πε 0
dqx (r2 +
x2
)3/ 2
= σ 2π rxdr = σ rxdr 4πε0 (r 2 + x2 )3/ 2 2ε0 (r 2 + x2 )3/ 2
3
dE
=
2ε 0
σ rxdr
(r2 + x2
)3/ 2
∫ ∫ E =
dE = σ x 2ε 0
R d(r2 + x2) 0 2(r 2 + x2 )3/ 2
+ ++++ + + ++ + +++ + +++++ + ++++
++ +++
+++
++ +++
+++
+ ++ ++ + ++
+
+++ +++
+++ +++
26
2.以轴线为中心，作半径为r的圆柱形高斯面S
v∫ ∫ ∫ ∫ K G
KK
KK
KK
E ⋅ dS = E ⋅ dS + E ⋅dS + E ⋅dS
x2 )3/2 iˆ
P
r
G
R
θ pE
O
x
X
圆环中心电场为零 足够远处可
Z
视为点电荷！
+ ++ ++ R+
x
X
2
例4：求面电荷密度为σ，半径为R的簿带电圆盘中心
轴线上 x 处的电场强度。 解：将圆盘分割成许多带电
σ dr
细圆环
dq = σ ds = σ 2π rdr
细圆环电场
r
RO
x
KX P Ep
dE
E
=
2E+
cos
π
4
=
π
Q
2ε R2
方向沿y 轴负方向
+ +y +
+R
O
x
- E− -
E+
-
E
-
10
§17-3 电力线、电通量、高斯定理
一、电力线（电场强度的图示法）
●曲线上每一点切线方向表示该点电场强度的方向. ●通过垂直于电场方向的单位面积上的电力线数目 （电力线数密度）等于该点的电场强度值：