三角形难题B

三角形

重点、难点：

1. 等腰三角形的判定与性质

2. 直角三角形的判定与性质

3. 全等三角形的判定与性质

【典型例题】

例2. 如图所示，△ABC 中，AD 平分

∠>A AB AC ，()，在AB 上任取一点E ，

作EG AD ⊥，交AD 于点H ，交BC 的延长线于点G 。求证：

∠=

∠-∠EGB ACB ABC 1

2()

证明：△ABC 中， EG AD AD A ⊥∠，且平分 ∴∆AEF 为等腰三角形

∴∠=∠=∠∠=∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠∴∠=∠-∠∠=∠-∠AEF AFE GFC

ACB G GFC G AFE

AEF B G

ACB B G

G ACB B EGB ACB ABC 又即21

2

1

2()()

例3. 如图所示，点F 为Rt △ABC 的斜边AB 上的中点，CD=FB ，DF 的延长线与CB 的延长线相

交于点E ，求证：2∠E=∠A 。

证明：∵F 为Rt △ABC 的斜边AB 上的中点

∴容易想到“斜中线定理”

∴连CF

∴AF=CF=FB=CD

∴∠=∠=-∠+∠∠=∠∴∠=-∠∠=-∠∴∠=--∠=∠A A E

A E E 11802323180222901802902°又，°但°°()()

例4. △ABC 中，AD 平分∠A ，AB+BD=AC ，求∠B 与∠C

的度数的比值。

A

E H

F

B D

C G

A D

E B C A

D

E B C A

B D C

解：如图所示， AB BD AC +=

∴可有AC AB BD AB BD AC -=+=或两种解法

若AC AB BD -=

则可在AC 上截取AE=AB ，连结ED

A

B D C

又AD 平分∠A

∴≅∴∠=∠∆∆BAD EAD AED B 但ED EC =

∴∠=

∠=∠∴∠∠+==≅∴∠=∠C AED B B C AB BD AC

AB E AE AC AED ACD C E

1212

2与的度数的比值为若则延长到，使得显然，易证∆∆

又，BE BD ABC E C =∴∠=∠=∠22

注：在证明三角形中，已知线段的和，差关系时，常常可运用“截长补短”方法来证明。 例5. Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，点D 在BC 上，DF AB F DE AC E ⊥⊥于，于；M 为BC 中点，请判断∆M EF 的形状，并说明你的理由。

C

A

C

解：∵Rt △ABC 为等腰直角三角形，且M 为BC 的中点 ∴提示作出底边BC 上的高

∴连结AM ，则AM BC MB MC ⊥=， 又AM 平分∠BAC ，∴∠B=∠EAM ∴≅∆∆BFM AME

∴FM=EM ，∴△MFE 为等腰三角形 但注意到∠FMB=∠AME ∴可证∠FME=90°

∴△MEF 为等腰直角三角形

C

例6. 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，BD =210，求其斜边AB 的长。

解：直角三角形中，求边长或线段长，常常提示运用勾股定理。 如图所示，不妨设Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a

则

Rt ACE AC b CE a

AE ∆中，，，==

=25

∴+=+=+=++=∴+=

⨯∴=+=由勾股定理，得即①

同理，在中，可得②

①②得：斜边b a b a Rt BDC b a a b a b AB a b 2

2

2222222222

4

25

410041605260

5260

25

213

∆()

A

G D

B E C

【模拟试题】

1. 如图所示，已知∠======HFG AB BC CD DE EF FG 90°，，求∠A 的度数。

G E C

A H

B D F

2. 如图所示，已知AD 是△ABC 中BC 边上的高，AE 是∠CAF 的平分线，AE=2AD ，求∠ACB 与∠B 差的度数。

F

A

B E D C

3. Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=22.5°，D 在AC 上，DC=BC ，DE AB ⊥于E ，求证：AE=BE 。

4. △ABC 中，AD 为BC 边上的高，AD=BD ，DE=CD ，延长BE 交AC 于F ，求证：BF 为△ABC 中AC 边上的高。

5. △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，CD ：AB=1：2，若E 为AB 中点，∠B 的平分线交DE 于F ，求证：BF=DF 。

6. Rt △ABC 中，D 为AC 中点，DE AB ⊥于E ，求证：BE BC AE 222

=+。

7. 如图所示，已知BD 平分∠ABF ，AD=CD ，DF BC F ⊥于，求证：∠∠A C 与互补。

B F C

8. 如图所示，△ABC 中，以AB 、AC 为边分别向三角形外作正△ABF 和正△ACE 。BE 、CF 相交于点O ，连结OA ，求证：OA 平分∠EOF 。