几个常用函数的导数

解 (1)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(2)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4；
Fra Baidu bibliotek
(3)y′＝(4 x3)′＝
＝
＝3；
4 4x
(4)y′＝(log3x)′＝xln1 3.
(5)∵y＝(1－
x)(1＋ 1x)＋
x＝1－xx＋
x＝
1， x
∴y′＝
.
(6)∵y＝ ∴y′＝(x3)′＝3x2.
＋1＝x3－1＋1＝x3，
所以sinπ4 ′＝0.若函数 f(x)＝sin x，则
f′π4 ＝
2 2.
想一想：下面的计算过程正确吗？
sinπ4 ′＝cosπ4 ＝
2 2.
提示 不正确．因为 sinπ4 ＝ 22是一个常数，而常数的导数为 0，
所以sinπ4 ′＝0.若函数 f(x)＝sin x，则
f′π4 ＝
2 2.
2．基本初等函数的导数公式
【课标要求】 1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方 法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 【核心扫描】 1．基本初等函数的导数公式．(重点) 2．能运用导数定义推导几个常用的函数的导数公式，应用公式 计算有关导数．(重难点)
自学导引
1．几个常用函数的导数
1．几种常用函数的导数 (1)根据导数定义求导数是最基本的方法．其大致步骤为：首先 计算Δ Δyx，并化简；然后观察当Δx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于哪 个定值；最后，Δ Δyx趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数．
(2)对基本初等函数的导数公式的特别说明 不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公式，只 要求能够利用它们求简单函数的导数即可．在学习中，适量的 练习对于熟悉公式的应用是必要的，但应避免过量的形式化的 运算练习．
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝ nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝ －sin x
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
f(x)＝ln x
f′(x)＝ axln a (a>0，且 a≠1)
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝1x
f′(x)＝－x12
f(x)＝ x
f′(x)＝ 1 2x
想一想：下面的计算过程正确吗？
sinπ4 ′＝cosπ4 ＝
2 2.
提示 不正确．因为 sinπ4 ＝ 22是一个常数，而常数的导数为 0，
课后作业 课本习题.1、2、3
❖ 课后作业 ❖ 课本习题.1、2、3
2．理解和记忆指数函数、对数函数的导数公式 指数函数、对数函数的导数公式的记忆：公式(ln x)′＝1x，(ex)′ ＝ex 很好记，但公式(logax)′＝xln1 a，(ax)′＝axln a 的记忆比较难， 特别是 ln a 的位置易记混．应从以下两个方面加深对公式的理 解和记忆． (1)区分公式的结构特征：一要从纵的方面找(ln x)′与(logax)′、(ex)′ 与(ax)′联系，二要从横的方面找(logax)′与(ax)′的联系，并找出它 们的差异，记忆公式．
规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题 时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择 合适的求导公式．
【变式 2】 求下列函数的导数： (1)y＝x7; (2)y＝x10; (3)y＝x12； (4)y＝3 x. 解 (1)y′＝7x6；(2)y′＝10x9；(3)y＝x－2， ∴y′＝－2x－3；(4)
(2)对公式(logax)′可用(ln x)′和求导法则证明来帮助理解和记忆． (logax)′＝llnn ax′＝ln1a(ln x)′＝ln1a·1x＝xln1 a.
利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝5x；
(2)y＝x13；
(3)y＝4 x3； (4)y＝log3x； (5)y＝(1－ x)(1＋ 1x)＋ x； (6)y＝( ＋1)( －1)＋1. [思路探索] 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形 式，再利用公式求导．
f′(x)＝ ex
f′(x)＝
1 xln a
(a>0，且 a≠1)
f′(x)＝
1 x
想一想：函数 f(x)＝ln x 与 f(x)＝logax 的导数公式之间有什么内 在的联系吗？ 提示 函数 f(x)＝logax 的导数公式为 f′(x)＝(logax)′＝xln1 a，当 a ＝e 时，上述公式就变为(ln x)′＝1x，即 f(x)＝ln x 是 f(x)＝logax 当 a＝e 时的特殊情况．类似地，还有 f(x)＝ax 与 f(x)＝ex.