第6讲 高斯光束的传输变换

q2
q1 A q1 C
B D
q2
q1 q1 1
F
11 1
q2 q1
F
考虑到： 1
qz
1
Rz
i
2 z
1
q1 1
1 R1 1
i
12 i
q2 R2
2 2
1 2
12
6.3 ABCD法则
把 2 式代入到(1)式中，并且比较实部与虚部得到：
2 1
1 R2
1 R1
1 F
上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同，这与薄透镜 的特性是一致的；
BT DT
A1 A2 A1 C2
C1 C1
B2 D2
B1 A2 B1 C2
D1 D1
B2 D2
A2 C2
B2 D2
A1 C1
B1 D1
其规律同光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。
14
6.4 高斯光束在透镜波导中的传播
光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为 ABCD，那么经过S个周期后，
2 R
z z
1
2 1
4
2
6.1高斯光束的特征参数
3、用q参数表示
高斯光束中和r
2有关的部分为
exp
2q
ik
z
r
2
，对比球面波对应的表达式
exp
ik 2R
r
2
，可以看出，q
z
地位与R相似，则可以被称为复数光束半径。
由q参数的定义： q
1
z
1
Rz
-i
2 z
可知q参数将R( z )和 ( z )联系在一
起了，可以求得：
1
Rz
Re
1
qz
1
2
z
Im
q
1
z
3
6.1高斯光束的特征参数
令q0
q(0)，则：1 q0
1
R0 i 2 0
R0
0 0
q0
i 02
if
通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题 来灵活选择使用哪种参数。
这一规则，则以规则称为高斯光束q参数变换法则，简称ABCD法则。 高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束
ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输入平面上光线参数之间
的关系。 由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的具体特征，而且可以
通过q参数和ABCD法则很方便的描述一个高斯光束在通过光学元件时的传输
16
习题
如图，假设一高斯光束垂直入射到折射率为n的介质块上，试问： 1、在左图情况下，出射光束发散角为多大？
2、若将介质块的位置左移，使其左端面移至z l1处 右图，
若介质块足够长，使光束的光腰位于介质块内，此时束腰 大小和位置是多少？
17
感谢下 载
激光原理与技术
第六讲 高斯光束的传输变换
6.1 高斯光束的特征参数
高斯光束的特征参数
1、由(1)、(2)式可知，只要 确定了束腰的位置和半
2
z
02
1
z o2
2
02
1
z2 z02
1
径0，就可以确定任何
位置的光束半径和等相
Rz
z
1
02 z
2
z
1
z02 z2
R2 为等相位面曲率半径，由球面波球率 曲率半径的变换公式可得：
1 1
11
=
R1
F
i
12
q1
z
F
8
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q( z )的表达形式：
q0 cos
qz
k2 k
z
k k2 sin
k2 k
z
q0
k2 k
sin
k2 k
z
cos
CT
C sin sin
DT
D sin
sin n 1
sin
15
6.4 高斯光束在透镜波导中的传播
高斯光束通过透镜波导的稳定性条件
由光束参数变换法则：
qs1
AT q1 CT q1
BT DT
Asin sin n 1 q1 B sin
C sin q1 D sin sin n 1
7
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
透过薄透镜传播的高斯光束q参数
变换
由薄透镜性质可知，在紧靠薄透镜
的M1 和M2两个面上的光斑大小和 强度分布是一样的，即：
1 2 1
可以证明经过薄透镜变换后在像方继续传输的光束仍为高斯光束。
1 1 1
从q参数表达式以及1式可以得到： q2 z R2 i 22 R2 i 12
4
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
普通球面波波前曲率半径在自由空间中的传播规律
R1 z z1
R2
z
z2
z1
z2 z1
R1 z L
当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率
1 L
0
1
半径满足：
1
11
R2 z R1 z F
R2
z
R1
R1 /F
1
将上面两式与光线矩阵相比较
02
1
02 z
z
02
2
2
在均匀介质中q z q0 z，q2 q(z2 )，
q1 q(z1 )分别为z1 和z2面处的q参数
qq12
z z
q0 q0
z2 z1
则通过长度为L z2 - z1的均匀介质后的q参数变化为：
q2 z q0 z2 =q0 z1 z2 z1 q1 z L
可以得到球面波的传播规律：
1 0
1
1
F
R2
zFra Baidu bibliotek
AR1 CR1
z z
B D
5
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
也可以用另一种方式推导出来上述公式
A ri B
r0
Ari
r0 Cri
Bri
r0
Dri r0
Ari Cri
Bri Dri
r0 r0
C
ri ri
D
ri
ri Ri ri
q2
q1 A1 q1 C1
B1 D1
经过第二个光学元件后：
B2 D2
，入射高斯光束
q3
q2 A2 B2 q2C2 D2
A1 A2 C1 B2 q1 B1 A2 D1 B2 A1 C2 C1 D2 q1 B1 C2 D1 D2
q1 AT BT q1 CT DT
其中： CATT
要使得上式中qs1为有限值，即光束约束在透镜波导内传播，就要求 为
实数，即 cos 1，此可得到光束稳定性条件：0 1 d d d 2 1
F1 F2 2F1 F2
如果 为虚数，不妨设 i，则sin i s = 1 es es 会随着S的增加而 2i 增加，qs1没有确定值，不稳定。
11 1 R1 R2 F
由这两个公式我们可以看出高斯光束参数q( z )与球面波曲率半径R( z )之间的 相似性。通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，可以看
到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的变换，高斯光束的q参数 都起着和普通球面波的曲率半径R相同的作用，因此有时将q参数称作高斯 光束的复曲率半径，其表达式为：
R2
z
AR1 CR1
z z
B D
6
6.2 高斯光束通过薄透镜的传输
高斯光束q参数的变换规律
高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变的球面波，
也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参数：
1
1
qz
Rz
i
2
z
其中
通过整理q的表达式可以得到：
Rz
2 z
z 1
k2 k
z
将上式同前面得到的光线矩阵比较：
A
C
B D
cos
k2 k0
z
k2 k0
sin
k2 k0
z
k0 k2
sin
k2 k0
z
cos
k2 k0
z
q z Aq0 B
Cq0 D
9
6.3 ABCD法则
我们比较一下下面两个公式：
11 1
q1 q2 F
第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满足成像公式，即球面中 心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面波成像的规律是一致的。
13
6.4 高斯光束在透镜波导中的传播
经过两个光学元件的高斯光束
设两个光学元件的光线矩阵为
A1 C1
B1 D1
， CA22
参数为q1 ，经过第一个光学元件后有：
2
位面半径等参数； 由(1)、(2)式可求出，
z
arctg
z
02
arctg
z z0
3
z 2 z z0 R z
2、当确定了某一确定位置
z处的 ( z )和R( z )后，也
可以通过(1)、(2)式求出 束腰位置及大小；
z0
02
z
0
R
z
1
Rz 2 z
2
z
1
11 q R i 02
当 0时，上式可以得出q R而此时我们讨论的对象已经从波动光学
过渡到了几何光学。
10
6.3 ABCD法则
高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用光线矩阵表示出来：
q2
Aq1 Cq1
B D
该式表示了通过空间、薄透镜变换以及在类透镜介质中传播的高斯光束的
传输变换规则，可以证明，高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循
联系S＋1面和第1面的光线矩阵是：
At CT
BT DT
A C
B S
D
A 1
d f1
d
B d2
f1
用数学归纳 法可以证明
C
1 f1
1 f2
d f1 f2
d d d
D
f2
1
f1
1
f2
Asin sin n 1
AT
sin
BT
B sin sin
规律，因此我们将主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。
需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述，但是
高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法。
11
6.3 ABCD法则
例：以焦距为F的薄透镜为例
薄透镜的光线矩阵为:
A C
B D
1 1 F
0
1
则由ABCD法则可以得到